泛函分析(第6版) YOSIDA 9787506226110 世界图书出版社 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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YOSIDA 著

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• 泛函分析
• 数学
• 高等教育
• YOSIDA
• 世界图书出版社
• 第6版
• 9787506226110
• 理论数学
• 数学教材
• 分析学

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出版社： 世界图书出版社

ISBN：9787506226110

商品编码：28186512566

出版时间：2010-05-01

书名	泛函分析(D16版)
定价	75.00
ISBN	9787506226110
出版社	世界图书出版社
作者	YOSIDA
编号	10830126
出版日期	2010-05-01
印刷日期	2008-11-01
版次	无
字数	无
页数	无

Contents 0.Preliminaries 1.SetTheory 2.TopologicalSpaces 3.MeasureSpaces 4.LinearSpaces I.Semi-nonns 1.Semi-nonnsandLocallyConvexLinearTopologicalSpaces 2.NonnsandQuasi-nonns 3.ExamplesofNormedLinearSpaces 4.ExamplesofQuasi-nonnedLinearSpaces 5.Pre-HilbertSpaces 6.ContinuityofLinearOperators 7.BoundedSetsandBomologicSpaces 8.GeneralizedFunctionsandGeneralizedDerivatives 9.B-spacesandF-spaces 10.TbeCompletion 11.FactorSpacesofaB-space 12.ThePartitionofUnity 13.GeneralizedFunctionswithCompactSupport 14.TheDirectProductofGeneralizedFunctions II.ApplicationsoftheBaire-HausdorffTheorem 1.TheUnifonnBoundednessTheoremandtheResonanceTheorem 2.TheVitali-Hahn-SaksTheorem 3.TheTermwiseDifferentiabilityofaSequenceofGeneralizedFunctions 4.ThePrincipleottheCondensationofSingularities 5.TheOpenMappingTheorem 6.TheClosedGraphTheorem 7.AnApplicationoftheClosedGraphTheorem(Hormander'sTheorem) III.TheOrthogonalProjectionandF.RieszRepresentationTheo-rem 1.TheOrthogonalProjection 2.'NearlyOrthogonal'Elements …… IV.TheHahn-BanachTheorems V.StrongConvergenceandWeakConvergence VI.FourierTransformandDifferentialEquations VII.DualOperators VIII.ResolventandSpectrum IX.AnalyticalTheoryofSemi-groups XCompactOperators XI.NonnedRingsandSpectralRepresentation XII.OtherRepresentationTheoremsinLinearSpaces XIIT.ErgodicTheoryandDiffusionTheory XIVTheIntegrationoftheEquationofEvolution SupplementaryNotes Bibliography Index NotationofSpaces

hepresentbookisbasedonlecturesgivenbytheauthorattheUniversityofTokyoduringthepasttenyears.ItisintendedasatextbooktobestudiedbystudentsontheirownortobeusedinacourseonFunctionalAnalysis,i.e.,thegeneraltheoryoflinearoperatorsinfunctionspacestogetherwithsalientfeaturesofitsapplicationtodiversefieldsofmodemandclassicalanalysis.Necessaryprerequisitesforthereadingofthisbookaresummarized,withorwithoutproof,inChapter0undertitles:SetTheory,TopologicalSpaces,MeasureSpacesandLinearSpaces.Then,startingwiththechapteronSemi-norms,ageneraltheoryofBanachandHilbertspacesispresentedinconnectionwiththetheoryofgeneralizedfunctionsofS.L.SOBOLEVandL.SCHWARTZ.Whilethebookisprimarilyaddressedtograduatestudents,itishopeditmightproveusefultoresearchmathematicians,bothpureandapplied.Thereadermaypass,e.g.,fromChapterIX(AnalyticalTheory.ofSemi-groups)directlytoChapterXIII(ErgodicTheoryandDiffusionTheory)andtoChapterXIV(IntegrationoftheEquationofEvolution).Suchmaterialsas'WeakTopologiesandDualityinLocallyConvexSpaces'and'NuclearSpaces'arepresentedintheformoftheappendicestoChapterVandChapterX,respectively.Thesemightbeskippedforthefirstreadingbythosewhoareinterestedratherintheapplicationoflinearoperators.

数学的深邃领域：探索抽象的结构与变化 本书并非一本普通的数学读物，它将引领读者深入一个引人入胜的数学分支——泛函分析。在这个领域，我们不再局限于熟悉的实数和复数，而是将目光投向了更加广阔和抽象的空间，即函数空间。在这里，函数本身成为了我们研究的对象，它们被赋予了“点”的地位，而我们则在这些由函数构成的“空间”中，探索其内在的结构、性质以及它们之间发生的各种“变化”。 泛函分析的核心思想在于将代数和几何的直觉推广到无限维空间。传统的欧几里得空间（如二维平面或三维空间）有着清晰的几何概念，如距离、角度、线性组合等。泛函分析则将这些概念抽象化，并将其应用于由函数组成的集合。想象一下，如果我们将每一个函数视为一个“点”，那么这些“点”如何构成一个“空间”？这个空间又有哪些“距离”和“结构”？泛函分析就是回答这些问题的学科。 赋范线性空间：构造抽象的度量 故事的开端，我们首先会遇到“赋范线性空间”。这是一个基础而重要的概念，它为函数的抽象集合赋予了“度量”的意义。在线性空间中，我们可以进行向量的加法和标量乘法，这使得我们可以像处理数字一样处理函数。而“范数”则是在此基础上引入的，它为每个函数定义了一个“长度”或“大小”。这个范数必须满足一系列严格的性质：非负性、零向量范数为零、齐次性（常数乘以向量的范数等于常数的绝对值乘以向量的范数）以及三角不等式（两个向量之和的范数小于等于它们各自范数之和）。 范数的引入，使得我们可以在函数空间中谈论“距离”。两个函数之间的距离，就可以通过它们之差的范数来衡量。这为我们提供了研究函数“接近程度”的可能性，也为极限、连续性等概念的推广奠定了基础。常见的赋范线性空间例子包括： Lp空间： 这是泛函分析中最为重要的函数空间之一。对于一个定义在某个度量空间上的复值或实值函数 $f$，我们定义其Lp范数为 $||f||_p = (int |f(x)|^p dx)^{1/p}$ （对于 $p geq 1$）。当 $p=2$ 时，我们得到L2空间，也称为平方可积函数空间。L2空间拥有一个内积，这使得它成为了希尔伯特空间，拥有了丰富的几何性质。 C(K)空间： 这是定义在紧致空间K上的连续复值或实值函数空间。其范数通常定义为函数在K上的最大绝对值，即 $||f||_infty = sup_{x in K} |f(x)|$。C(K)空间在逼近论和微分方程的研究中扮演着重要角色。 巴拿赫空间：完备性的重要性 赋范线性空间虽然赋予了函数“大小”的概念，但它在某些情况下可能“不完整”。想象一下，在一组数的序列中，我们可能想要找到一个极限值，但这个极限值可能并不存在于这组数之中。在函数空间中，同样存在这样的“缺失”。“完备性”正是为了解决这个问题而引入的。 一个完备的赋范线性空间被称为“巴拿赫空间”。完备性意味着，任何在该空间中的柯西序列（即距离越来越小的序列）都有一个在该空间内的极限。这对于数学分析中的许多重要定理的证明至关重要，例如收敛定理、不动点定理等。巴拿赫空间为我们提供了一个更加“可靠”的分析工具，使得我们能够在这个抽象的空间中进行更深入的探索。 希尔伯特空间：内积带来的几何之美 如果一个赋范线性空间不仅拥有范数，还拥有一个“内积”，那么它就成为了一个“希尔伯特空间”。内积不仅定义了范数（通过 $||x|| = sqrt{}$），还赋予了空间丰富的几何结构，比如角度和正交性。我们熟悉的向量点乘就是一种内积。 在希尔伯特空间中，我们可以谈论向量之间的“夹角”（尽管在无限维空间中，这个概念可能与我们直观的几何概念有所不同），更重要的是，我们可以讨论“正交性”。正交性在很多领域都起着核心作用，例如傅里叶级数就是希尔伯特空间中一组正交函数的展开。希尔伯特空间因其强大的几何性质，在量子力学、信号处理等领域有着广泛的应用。 有界线性算子：函数空间的“变换” 在掌握了函数空间的结构之后，我们自然会想研究在这些空间之间进行的“变换”。这些变换就是“算子”。在泛函分析中，我们主要关注“线性算子”。一个算子 $T$ 是线性的，如果对于空间中的任意两个函数 $f, g$ 和任意复数 $a$，都有 $T(f+g) = T(f) + T(g)$ 和 $T(af) = aT(f)$。 然而，并非所有的线性算子都“表现良好”。在泛函分析中，我们特别关注“有界线性算子”。一个线性算子 $T$ 是有界的，如果存在一个常数 $M geq 0$，使得对于空间中的任意函数 $f$，都有 $||T(f)|| leq M||f||$。这个常数 $M$ 被称为算子的范数。 有界线性算子是泛函分析研究的重点，因为它们通常具有良好的性质，并且可以通过范数来衡量其“强度”。它们在微分方程、积分方程以及各种数学模型中扮演着至关重要的角色。例如，微分算子（如求导算子）和积分算子（如积分变换）都可以被看作是作用在函数空间上的有界线性算子。 谱理论：算子的高维“本征值” 就像矩阵拥有特征值和特征向量一样，有界线性算子也有其“谱”。谱理论是泛函分析中一个非常深刻和迷人的领域，它研究的是算子的“本征值”以及更一般化的“谱”。 对于一个线性算子 $A$，如果存在一个非零向量 $v$ 和一个常数 $lambda$，使得 $Av = lambda v$，那么 $lambda$ 就是 $A$ 的一个本征值，$v$ 就是对应的本征向量。本征值和本征向量揭示了算子作用下哪些方向不会改变，只是被拉伸或压缩。 在无限维的巴拿赫空间和希尔伯特空间中，谱理论变得更加复杂和丰富。谱不一定是一组离散的本征值，而可能是一个连续的集合，称为“连续谱”。谱理论可以帮助我们理解算子的性质，解决算子方程，甚至揭示系统的长期行为。它在量子力学中尤为重要，因为量子系统的能量本征值就是其哈密顿算子的谱。 应用与展望：泛函分析的力量 泛函分析并非仅仅是抽象的数学理论，它拥有极其广泛而重要的应用。 偏微分方程： 许多偏微分方程的求解，特别是边界值问题，都可以通过泛函分析中的各种方法（如能量方法、变分法）来处理。希尔伯特空间和巴拿赫空间为分析微分算子和方程提供了严谨的框架。 量子力学： 量子力学中的波函数就存在于一个希尔伯特空间中，物理量对应于算子，系统的演化方程（如薛定谔方程）也与算子理论密切相关。谱理论在确定量子系统的能量能级方面起着核心作用。 信号处理与图像分析： 傅里叶分析、小波分析等都与希尔伯特空间和算子理论紧密相连，它们是分析和处理信号、图像的关键工具。 数值分析： 许多数值算法的设计和分析，例如有限元方法，都依赖于对函数空间和算子的理解。 优化理论： 最优化问题，尤其是在无穷维空间中的优化，常常需要利用泛函分析的工具来分析目标函数和约束条件。 本书的探索将带领读者一步步建立起对这些抽象概念的理解，并逐步揭示它们在解决实际问题中所展现出的强大力量。通过对这些基本概念的深入学习，读者将能够更好地理解现代数学的语言，并为进一步探索更高级的数学领域打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

总的来说，这本教材的深度和广度，使得它在同类书籍中显得尤为突出。它不仅仅是一本教科书，更像是一部艺术品，每一章的安排都经过了深思熟虑。它要求读者投入时间、耐心和思考，但回报是巨大的——你将获得对现代数学分析领域最核心概念的深刻洞察力。它的严谨性毋庸置疑，但更难得的是，它始终保持着一种对数学美感的追求。阅读它，就像攀登一座设计精妙的山峰，虽然过程艰辛，但每到达一个平台，视野都会变得更加开阔。对于任何致力于从事纯数学研究、理论物理，或者需要精深数学背景的工程领域的人士来说，这本书都应该被置于书架最显眼的位置，因为它提供的远不止是知识点，更是一种面对复杂问题的解决思路和坚韧的学术精神。

评分☆☆☆☆☆

要说这本书的精髓，恐怕要数它对算子理论那部分的深入剖析了。很多教材在讲到紧算子、谱理论时，往往只是蜻蜓点水，或者把证明过程写得过于简洁，留给读者的自我消化空间太小。但在这本书里，作者似乎深知初学者的困境，每一个关键的定理，比如谱定理的推导，都展现了极其清晰的逻辑链条和详尽的步骤。我特别欣赏它在处理自伴随算子时的那种冷静而深刻的分析，它没有急于跳跃到复杂的无穷维情形，而是先在有限维空间中建立直觉，再巧妙地过渡到无限维空间，这种“由浅入深”的教学策略，极大地降低了理解难度。读完这部分，我对诸如勒贝格积分与$L^p$空间的联系有了前所未有的清晰认识。而且，书中的习题设计也十分巧妙，它们不是简单的重复练习，而是对核心概念的变式和深化，逼迫读者真正去思考定理的适用范围和局限性。这本书，无疑是想培养出能够真正理解泛函分析“骨架”的数学家，而不是只会套用公式的计算员。

评分☆☆☆☆☆

对于那些对测度论和概率论有一定基础的读者来说，这本书后续探讨的马尔可夫过程与随机过程的泛函分析视角，简直是打开了一扇新的大门。它将抽象的分析工具，成功地嫁接到了处理不确定性问题的场景中，展现了数学语言的强大统一性。我尤其喜欢作者在引入鞅论时的那种优雅过渡，将那些复杂的随机变量序列，通过函数空间的范数收敛和弱收敛的概念重新审视，顿时豁然开朗。这种跨学科的视角，让原本枯燥的纯数学理论焕发出了勃勃生机。它没有将概率论视为一个孤立的领域，而是将其置于更宏大的分析框架下进行考察。读完这部分，你会深刻体会到，泛函分析不仅仅是研究“函数空间”的工具，它更是研究“变化”和“极限”的通用语言，能够描述自然界和信息科学中各种复杂的动态系统。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧和纸张质量也值得一提，作为一本经典教材，它的耐用性是考量的重点。世界图书出版社的这个版本，触感非常扎实，油墨印制清晰，即便是经常需要对照着查阅和在页边空白处做大量笔记的读者，也不用担心字迹模糊或纸张容易破损。在长时间的案头工作后，这本书的稳定感给人一种可靠的依靠。相较于一些追求轻薄的现代教材，这种略显“厚重”的实体书，反而更能体现其内容的沉甸甸的分量。我习惯在阅读数学著作时，经常在不同的章节之间来回跳转，这本书的目录设计得也很合理，索引清晰，方便快速定位。这种对细节的关注，虽然不直接关乎数学内容的深度，但对于提升阅读体验、保证学习的连续性而言，是至关重要的加分项。手捧着它，仿佛能感受到前辈学者们对知识传承的敬畏之心。

评分☆☆☆☆☆

这套书简直是数学殿堂里的瑰宝，尤其是对于那些想在抽象代数和拓扑学之间架起坚实桥梁的求知者来说。它不像市面上很多教材那样，上来就抛出一堆艰涩的定义和定理，让人望而却步。这本书的叙述方式非常讲究，仿佛一位经验老到的导师，循循善诱，让你在不知不觉中领悟到那些深层次的结构。它对向量空间、线性变换的讨论，细致入微，为后续的泛函分析打下了极其牢固的基础。我记得初次接触到希尔伯特空间时，感觉像是在迷雾中找到了灯塔，而这本书的讲解，恰到好处地把握了直觉与严谨的平衡点。更让人称道的是，它在引入新概念时，总是能结合一些经典的、有代表性的例子，使得那些原本抽象的数学对象立刻变得“可触摸”起来。即便是那些初次接触高等数学的同学，只要肯花时间啃下来，也能从中汲取到丰富的养分，远非那些只注重形式推导的教材可比。它不仅仅是知识的堆砌，更是一种数学思维的塑造过程，让人在阅读的过程中，不断地反思和构建自己的数学世界观。