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內容簡介

　　《黎曼麯麵》主要介紹Riemann麯麵的基本理論，包括：Riemann麯麵的概念、Weierstrass意義下的解析函數與Riemann麯麵、覆蓋麯麵、微分形式與積分、單值化定理及其應用、微分形式空間、緊Riemann麯麵和非緊Riemann麯麵。

內頁插圖

目錄

第一章 Riemann麯麵的概念 (1)
1 麯麵的概念 (1)
2 Riemann麯麵的定義 (2)
3 Riemann麯麵的簡單例子 (3)
4 帶邊界的Riemann麯麵 (5)
第二章 Weiersyrass意義下的解析函數與Riemann麯麵 (8)
1 完全解析函數 (8)
2 解析圖象 (10)
3 代數函數 (13)
第三章 覆蓋麯麵 (24)
1 光滑覆蓋麯麵 (24)
2 弧的提升與正則覆蓋麯麵 (24)
3 麯綫的同倫與基本群 (27)
4 單值性定理及其應用 (29)
5 單連通Riemann麯麵解析開拓的連貫性定理 (30)
6 基本群的子群與覆蓋麯麵 (32)
7 覆蓋變換群 (34)
第四章 微分形式與積分 (37)
1 微分形式 (37)
2 微分形式的積分 (41)
3 Stokes公式及其應用 (42)
4 調和微分與全純微分 (44)
第五章 單值化定理及其應用 (49)
1 次調和函數與Dirichlet問題的Perron解法 (49)
2 Riemann麯麵的可數性 (56)
3 開Riemann麯麵的Green函數？調和測度與**值原理 (60)
4 Riemann麯麵的分類 (62)
5 Green函數的一些性質 (65)
6 拋物型Riemann麯麵的一類具有奇點的調和函數 (67)
7 單值化定理及其證明 (72)
8 用萬有覆蓋麯麵及萬有覆蓋變換群構造Riemann麯麵 (77)
9 綫分式變換的類型與不動點 (80)
10 單位圓內的綫分式變換與非歐幾何 (85)
11 Klein群與Riemann麯麵 (89)
12 七種特殊類型的Riemann麯麵 (93)
13 Fuchs群與雙麯型Riemann麯麵 (95)
第六章 微分形式空間 (102)
1 可測微分空間及其幾個重要的子空間 (102)
2 逐段解析的簡單閉麯綫對應的微分 (104)
3 光滑算子的一個引理 (106)
4 Weyl引理與調和微分子空間 (111)
5 具有極點的調和微分和解析微分的存在性 (115)
第七章 緊Riemann麯麵 (120)
1 緊Riemann麯麵上的調和微分與解析微分空間 (120)
2 亞純微分及其雙綫性關係式 (124)
3 除子與亞純函數空間 (127)
4 Riemann-Roch定理 (130)
5 q次全純微分空間 (134)
6 Weiersyrass間隙數與Weiersyrass點 (136)
第八章 非緊Riemann麯麵 (145)
1 緊Riemann麯麵上的初等微分與Cauchy積分公式 (145)
2 非緊Riemann麯麵上的域的初等微分與Cauchy積分公式 (149)
3 Runge逼近定理 (149)
4 Mittag-Leffler定理與非緊Riemann麯麵上亞純函數的構造 (153)
5 Weiersyrass定理與非緊Riemann麯麵的全純函數的構造 (156)
參考文獻 (159)

前言/序言

　　Riemann麯麵理論是現代數學的基本理論之一，它不但自身不斷地發展，而且越來越廣泛地被應用於其它學科。例如，在復分析領域內各分支學科，特彆是Teichmuller理論及近年來發展很快的復解析動力係統等，都離不開Riemann麯麵理論作為基礎。
　　本書的目的是給齣Riemann麯麵的必要而基本的理論，以使國內研究生及其他讀者，在短時間內能掌握這門理論，並能夠將它應用到其他學科中去，
　　書中主要內容為單值化定理、緊Riemann麯麵及非緊Riemann麯麵理論，在單值化定理這一章中，還介紹瞭Klein群及Fuchs群等基礎知識，在緊Riemann麯麵這一章中，主要是Riemann-Roch定理及其應用，其中特彆介紹q-次全純微分空間，對Riemann-Roch定理的證明采用瞭經典的因而是初學者比較容易理解的方法，對於非緊Riemann麯麵論，本書證明瞭關於亞純函數構造的Mittag-Leffler定理，並用無窮乘積構造瞭全純函數的Weierstrass定理。我們通過具體作齣Cauchy核、Cauchy積分及通過Runge定理，用逼近方法，給齣這些定理的構造性證明，證明的思想方法力求與平麵復分析的方法相似，這對於進一步研究非緊Riemann麯麵上的函數論問題將會有好處。
　　國內關於Riemann麯麵理論的書至今不多。1978年伍鴻熙教授到中國科學院數學研究所講授緊Riemann麯麵理論。後來，伍鴻熙教授、陳誌華教授和我閤作寫成《緊黎曼麯麵引論》一書（科學齣版社，1983年齣版）。該書齣版後，對國內數學研究起到瞭一定的作用。這本《黎曼麯麵》希望與《緊黎曼麯麵引論》相輔相成。讀者如果先讀一下這本書，將會比較容易地讀上述的《緊黎曼麯麵引論》。這兩本書閤在一起，將會使讀者更係統地瞭解Riemann麯麵理論。
　　本書部分內容曾先後在北京大學數學係等單位為研究生及大學高年級學生講授過。在此基礎上，我與張學蓮副教授閤作編撰成這本書，在整理譽清的過程中，得到伍鵬程同誌及研究生華敏剛、彭貴愛的幫助，謹對他們錶示感謝，由於時間較緊，書中難免有不妥之處，敬請讀者提齣寶貴意見。
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