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内容简介

　　在数学、应用科学和实际应用的许多领域中的影响日益增长，现在许多大学正讲授它，而且被不同领域的研究人员应用。由于凸分析数学基础，深入的凸分析知识可帮助学生和研究人员更有效地利用其中的工具。《凸分析及应用捷径》的主要目的是提供一个容易进入到凸分析及其的最基础部分。变分分析的现代技术被用来阐明和简化凸分析中的一些基本证明，并且在有限维空间中建立凸函数和凸集的广义微分理论。我们还给出凸分析在选址问题以及许多令人感兴趣的几何问题，如Fermat一Torricelli问题、Heron问题、Sylvester问题及其推广中的新应用。当然，莫尔杜霍维奇、阮茂南不期望触及凸分析的每个方面，但是对这个学科的初级教程来说《凸分析及应用捷径》包含足够的素材。
　　《凸分析及应用捷径》可作为高年级本科生及研究生凸分析及其应用课程的教科书，也可供相关专业科研人员参考。

内页插图

目录

译者序
前言
符号表

第1章 凸集和凸函数
1．1 预备知识
1．2 凸集
1．3 凸函数
1．4 凸集的相对内部
1．5 距离函数
1．6 练习

第2章 次微分的运算
2．1 凸分离
2．2 凸集的法向量
2．3 凸函数的Lipschitz连续性
2．4 凸函数的次梯度
2．5 基本运算法则
2．6 最优值函数的次梯度
2．7 支撑函数的次梯度
2．8 Fenchel共轭
2．9 方向导数
2．10 上确界函数的次梯度
2．11 练习

第3章 基于凸性的有名结果
3．1 可微性的刻画
3．2 Carath60dory定理和Farkns引理
3．3 Radon定理和Helly定理
3．4 凸集的切锥
3．5 中值定理
3．6 地平锥
3．7 极小时间函数和Minkowski度规
3．8 极小时间函数的次梯度
3．9 Nash均衡
3．10 练习

第4章 在最优化和选址问题中的应用
4．1 下半连续性和极小值点的存在性
4．2 最优性条件
4．3 凸最优化中的次梯度方法
4．4 Fermat-Torricelli问题
4．5 一个广义的Termat-Torricelli问题
4．6 广义Sylvestel问题
4．7 练习
部分练习答案和提示
参考文献
索引

前言/序言

　　凸集和凸函数的一些几何性质在20世纪60年代之前已被许多杰出的数学家所研究（其中对凸函数的研究程度相对低一些），其中首推Hermann Minkowski和WernerFenchel。20世纪60年代初，R.Tyrrell Rockafellar和Jean-Jacques Moreau的工作使得凸分析得到了很大的发展，他们奠基了这个新领域的系统研究，凸分析是变分分析的基础部分，其中广义微分理论可用于研究初始数据不加任何可微假设的大量数学模型，凸分析在许多应用中的重要性至今已经得到了公认，这些应用领域中首先包括凸zui优化。凸性的存在不仅使全面地定性研究zui优解以及导出zui优性的必要和充分条件成为可能，也有助于发展解凸zui优化问题的行之有效的数值算法，即使对不可微数据也如此。凸分析和zui优化理论正在对数学的许多方面及其应用发挥着日益增长的影响，这些应用特别包括控制系统、评估与信号处理、通信与网络、电路设计、数据分析与建模、统计、经济与金融等。
　　现在已经有致力于凸分析与zui优化的不同方面的基础书籍，这里我们特别指出Rockafellar的《凸分析》，Hiriart-Urruty与Lemarechal的《凸分析与zui小化算法》（两卷）及其精简版本，Borwein与Lewis的《凸分析与非线性zui优化》，Nesterov的《凸zui优化入门讲义》和Boyd与Vandenberghe的《凸zui优化》，以及书末参考文献中的其他书籍。
　　在凸分析与zui优化这个大的框架下，对刚刚开始利用凸分析接触该领域更深的课题的学生和研究人员来说，本书可以充当一个桥梁，书中陈述的大多结果都给出了详细的证明，并包括了许多图表和练习，以便好地理解这些素材，本书采用了现代变分分析中建立的强有力的几何方法，这种方法在凸的情形得到了简化，以此给读者提供了一个进入有限维空间中凸结构的广义微分理论的捷径，因此本书也可作为感兴趣的读者继续研究非凸变分分析与应用的一个起点。从此角度来说，它对凸分析和变分分析方面的专家也可能是有意义的。zui后，本书的应用部分不仅涉及了与zui优性条件和次梯度算法有关的凸zui优化的经典课题，而且给出了一些近期的一类重要的选址问题的易于理解的定性和数值结果。
　　本书包括四章，安排如下：在第1章中我们研究凸集和凸函数的基本性质，其中特别关注在zui优化中起着重要作用的凸函数类。第2章主要致力于建立凸集的法锥和凸函数次梯度的基本运算法则，它们是凸理论的主流。第3章包含了凸分析的其他一些课题，它们在应用中有广泛的用途，第4章则完全把注意力放在应用问题上，从定性和数值两个角度讨论了凸分析的基本结果在凸zui优化问题和选址问题的某些选题中的应用，zui后，书末给出了某些练习的答案和提示。
　　每章的zui后都有练习题，而图表和例子则贯穿全书。参考文献包含一些书籍和选取的论文，它们密切关联于本书所讨论的课题，也可以帮助读者进一步学习更深的凸分析理论及其应用与扩展。
　　本书只需要线性代数和基础微积分的基本知识，因此可用作本科生和研究生层次的凸分析及其应用课程的教科书。事实上，作者已经应用这些讲义在他们的大学以及作为访问学者在其他一些学校讲授过这样的课程，我们希望本书能使本科生和研究生、不同学科的研究人员以及从业者等广泛群体更易于理解和进入凸分析这个领域。
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