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林成森 著

图书标签:

• 数值计算
• 数值分析
• 科学计算
• 算法
• 高等数学
• 工科
• 理工科
• 数学软件
• 计算方法
• 数值方法

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030143891

版次：2

商品编码：11748281

包装：平装

丛书名： 21世纪高等院校教材

开本：16开

出版时间：2005-01-01

用纸：胶版纸

页数：271

字数：333000

正文语种：中文

内容简介

　　《数值计算方法 上册（第二版）》详细地介绍了计算机中常用的数值计算方法，主要内容包括：误差分析、解非线性方程的数值方法、解线性方程组的直接方法、插值法、数值积分.《数值计算方法 上册（第二版）》每章末均附有丰富、实用的习题。
　　《数值计算方法 上册（第二版）》可作为高校数学系、计算机系教材，也可供工程技术人员参考。

内页插图

目录

第1章 算术运算中的误差分析初步
1．1 数值方法
1．2 误差来源
1．3 绝对误差和相对误差
1．4 舍入误差与有效数字
1．5 数据误差在算术运算中的传播
1．6 机器误差
1．6．1 计算机中数的表示
1．6．2 浮点运算和舍入误差
习题1

第2章 解非线性方程的数值方法
2．1 迭代法的一般概念
2．2 区间分半法
2．3 不动点迭代和加速迭代收敛
2．3．1 不动点迭代法
2．3．2 加速迭代收敛方法
2．4 Newton-Raphson方法
2．5 割线法
2．6 多项式求根
习题2

第3章 解线性方程组的直接方法
3．1 解线性方程组的Gauss消去法
3．1．1 Gauss消去法
3．1．2 Gauss列主元消去法
3．1．3 Gauss按比例列主元消去法
3．1．4 Guass-Jordan消去法
3．1．5 矩阵方程的解法
3．1．6 Gauss消去法的矩阵表示形式
3．2 直接三角分解法
3．2．1 矩阵三角分解
3．2．2 Crout方法
3．2．3 Cholesky分解
3．2．4 LDLT分解
3．2．5 对称正定带状矩阵的对称分解
3．2．6 解三对角线性方程组的三对角算法（追赶法）
3．3 行列式和逆矩阵的计算
3．3．1 行列式的计算
3．3．2 逆矩阵的计算
3．4 向量和矩阵的范数
3．4．1 向量范数
3．4．2 矩阵范数
3．4．3 向量和矩阵序列的极限
3．4．4 条件数和摄动理论初步
3．5 Gauss消去法的浮点舍入误差分析
习题3

第4章 插值法
4．1 引言
4．2 Lagrange插值公式
4．2．1 Lagrange插值多项式
4．2．2 线性插值
4．2．3 二次（抛物线）插值
4．2．4 插值公式的余项
4．3 均差与Newton插值公式
4．3．1 均差
4．3．2 Newton均差插值多项式
4．4 有限差与等距点的插值公式
4．4．1 有限差
4．4．2 Newton前差和后差插值公式
4．5 Hermite插值公式
4．6 样条插值方法
4．6．1 多段多项式插值
4．6．2 三次样条插值
4．6．3 基样条
习题4

第5章 数值积分
5．1 Newton-Cotes型数值积分公式
5．1．1 Newton-Cotes型求积公式
5．1．2 梯形公式和Simpson公式
5．1．3 误差、收敛性和数值稳定性
5．2 复合求积公式
5．2．1 复合梯形公式
5．2．2 复合Simpson公式
5．3 区间逐次分半法
5．4 Euler-Maclaurin公式
5．5 Romberg积分法
5．6 自适应Simpson积分法
5．7 直交多项式
5．8 Gauss型数值求积公式
5．8．1 Gauss型求积公式
5．8．2 几种Gauss型求积公式
5．9 重积分计算
习题5
部分习题答案
参考文献

前言/序言

　　本书自1998年出版以来，已被国内许多高校作为专业基础课教材或考研参考书.为使本书适应新世纪的要求，我们对本书进行修改.随着计算机技术的迅速发展，计算机语言多样化及数学软件的普及，具体的算法编程已有现成数学软件，如集成化软件包Matlab等，方便了读者使用.因此，我们对一些比较复杂的数值方法不给出算法.本书仍强调数值方法的基本原理和理论分析.
　　这次修改删去了一些内容，如逐次线性插值法；增加一些实际应用中较为重要的内容，如Steffensen迭代法等.我们对本书的习题也作了适当的调整，并给出习题答案.书中习题的证明题涉及数学分析和高等代数等方面知识较广，我们接受一些教师和读者建议，对绝大多数证明题都给予提示.
　　何炳生、吴新元、黄卫华等教授对原书提出了许多宝贵意见，在此表示衷心感谢.我们仍敬请使用本书的各位老师和读者批评指正.
　　林成森
　　2004年8月

数值计算方法 上册（第二版）—— 探索数字世界的精确之道 “数值计算方法”并非一本枯燥的算法汇编，而是一扇通往理解和驾驭复杂科学与工程问题的窗口。它深入浅出地剖析了现实世界中许多无法通过解析方法直接求解的问题，并提供了一系列系统、严谨的数值技术，以期在可接受的误差范围内获得可靠的近似解。本书上册（第二版）作为系列著作的开篇，侧重于数值计算的基础理论、核心算法以及其在实际问题中的初步应用，旨在为读者打下坚实的理论基础和实践技能。 为何需要数值计算方法？ 在科学探索和工程实践的广阔领域中，我们常常会遭遇那些“硬骨头”——即便是数学家们也无法找到精确、封闭形式的解析解。例如，复杂的微分方程组，其解可能随着时间或空间的变化而呈现出极其复杂的行为，无法用简单的数学表达式描述；高维度的积分，在多变量函数作用下，其精确计算量级呈指数级增长，变得遥不可及；优化问题，尤其是在存在非线性约束或目标函数时，往往需要迭代搜索才能逼近最优解。 面对这些挑战，数值计算方法应运而生。它以离散化的思想，将连续的问题转化为一系列离散的数值运算，并利用计算机强大的计算能力，在有限的时间内，通过一系列精巧的算法，一步步地逼近问题的真实解。这种方法不仅为解决解析无解的问题提供了可能，也为工程设计、数据分析、科学模拟等领域带来了革命性的进步。 本书上册的核心内容：基石与构建 本书上册（第二版）系统地梳理了数值计算方法中至关重要的基础概念和核心算法，其内容编排循序渐进，力求让读者在理解理论的同时，也能掌握实际的编程应用。 第一部分：误差分析与近似计算 任何数值计算都不可避免地伴随着误差。理解误差的来源、性质以及如何控制误差，是进行有效数值计算的首要前提。本部分将深入探讨： 浮点数的表示与运算： 计算机内部如何存储和处理实数，以及在此过程中可能产生的舍入误差（round-off error）。我们将分析不同类型浮点数表示的优劣，以及常见的浮点运算会如何累积误差。 误差的分类与量化： 介绍截断误差（truncation error）、模型误差（model error）等不同误差的来源，并学习如何使用绝对误差、相对误差、百分误差等指标来量化误差的大小。 误差传播与估计： 分析误差在连续的数值运算中是如何传播和累积的，以及如何根据初始误差来估计最终结果的误差范围。这对于判断数值结果的可靠性至关重要。 病态问题与良态问题： 理解某些问题对输入数据的微小扰动非常敏感（病态问题），而另一些问题则相对稳定（良态问题）。我们将探讨如何识别病态问题，并讨论一些缓解病态现象的策略。 第二部分：函数逼近与插值 插值是数值计算中的一个基本工具，它允许我们在已知若干数据点的基础上，构造一个函数来近似描述这些数据点所代表的规律。本部分将重点讲解： 多项式插值： 拉格朗日插值： 介绍构造拉格朗日插值多项式的原理和方法，分析其优缺点，以及在实际应用中可能遇到的龙格现象（Runge's phenomenon）。 牛顿插值： 讲解牛顿插值多项式的递推构造方法，及其与拉格朗日插值在计算效率上的比较。 Hermite插值： 拓展插值概念，允许在插值点上同时匹配函数值和导数值，实现更精确的函数逼近。 样条插值： 三次样条： 详细介绍三次样条插值，它通过分段低次多项式组合而成，并保证了连续性和光滑性，是工程和图形学中常用的插值方法。我们将探讨各种边界条件对样条函数的影响。 函数逼近： 介绍在不要求完全通过数据点的情况下，寻找最优逼近函数的方法，如最小二乘逼近，为平滑数据和提取趋势提供有力工具。 第三部分：非线性方程的求根 求解非线性方程 $f(x) = 0$ 是科学计算中的一个普遍问题。解析方法往往难以胜任，本书将介绍一系列迭代式的数值求根算法： 开区间法： 二分法（Bisection Method）： 讲解基于介值定理的二分法，分析其简单性、可靠性和收敛性，以及其相对较慢的收敛速度。 不动点迭代法（Fixed-Point Iteration）： 将方程转化为 $x = g(x)$ 的形式，通过迭代 $x_{k+1} = g(x_k)$ 来逼近根。我们将深入讨论收敛的条件以及选择合适的 $g(x)$ 函数的重要性。 闭区间法： 割线法（Secant Method）： 利用割线代替切线来逼近函数，是一种不需要计算导数的迭代方法，收敛速度介于二分法和牛顿法之间。 假位法（False Position Method）： 结合了二分法的区间收敛性和割线法的迭代思想，具有良好的收敛性质。 切线法（Newton-Raphson Method）： 牛顿法： 讲解基于泰勒展开的牛顿法，它利用函数值和导数值进行迭代，具有平方收敛速度，是应用最广泛的求根方法之一。我们将讨论其收敛条件、初始值的选择以及在实际应用中可能遇到的问题（如导数为零）。 多根方程的求根： 介绍如何处理方程存在多个根的情况，以及一些识别和分离根的初步方法。 第四部分：线性方程组的求解 线性方程组是许多科学和工程问题的基础模型。当方程组规模增大时，直接通过消元法（如高斯消元法）的计算量会急剧增加，且容易受病态问题影响。本部分将侧重于高效的数值求解方法： 直接法（Direct Methods）： 高斯消元法（Gaussian Elimination）： 回顾高斯消元法的基本思想、操作步骤以及其在矩阵运算中的表现。 LU分解： 介绍将系数矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的方法，以及如何利用LU分解高效地求解线性方程组和计算行列式。 Cholesky分解： 针对对称正定矩阵，介绍更高效的Cholesky分解方法。 迭代法（Iterative Methods）： 雅可比迭代法（Jacobi Iteration）： 讲解基于方程组对角占优思想的雅可比迭代法，分析其收敛条件。 高斯-赛德尔迭代法（Gauss-Seidel Iteration）： 介绍比雅可比迭代法更快的收敛速度的高斯-赛德尔迭代法，并讨论其收敛性。 松弛法（Successive Over-Relaxation, SOR）： 引入松弛因子，进一步加速高斯-赛德尔迭代法的收敛速度。 收敛性分析： 深入探讨各种迭代法的收敛条件（如对角占优），以及如何通过矩阵范数等工具来分析收敛速度。 第五部分：数值积分与微分 在无法获得解析解的情况下，我们同样需要对函数进行数值积分（求面积）和数值微分（求斜率）。本部分将介绍： 数值积分： 矩形法（Trapezoidal Rule）： 讲解基于梯形公式将积分区间分割成若干小梯形求和的思想。 辛普森法（Simpson's Rule）： 介绍基于抛物线段逼近的辛普森法，其精度比梯形法更高。 高斯积分（Gaussian Quadrature）： 讲解选择最优的积分节点和权重，以在给定节点数下达到最高代数精度的高斯积分方法。 数值微分： 有限差分法： 介绍利用函数值差分来近似导数的方法，包括前向差分、后向差分和中心差分，并分析它们的精度。 学习本书的价值与应用 学习“数值计算方法 上册（第二版）”，将使您： 掌握核心算法： 熟练掌握插值、求根、解线性方程组、数值积分等一系列基础而重要的数值计算算法。 理解误差原理： 深刻理解数值计算中的误差来源和传播机制，并学会如何评估和控制误差，确保结果的可靠性。 培养计算思维： 锻炼将实际问题转化为数学模型，并运用数值方法求解的能力，培养严谨的科学计算思维。 为深入学习奠基： 为后续学习更高级的数值分析、科学计算、数据科学、机器学习等领域打下坚实的基础。 赋能实践应用： 无论是在物理、工程、经济、金融、生物还是计算机科学领域，掌握数值计算方法都将是解决实际问题的强大工具。 本书的每一个章节都配有清晰的数学推导和丰富的算例，并且鼓励读者动手实践，将算法转化为代码，在实际问题中检验和应用所学知识。我们相信，通过本书的学习，您将能够自信地运用数值计算方法，探索和解决数字世界中纷繁复杂的问题，从而在您的学术或职业生涯中迈上新的台阶。

评分☆☆☆☆☆

这本书我是在大学本科阶段初次接触到的，当时我还在迷迷糊糊地探索数学与计算机科学的交叉领域，对各种抽象的概念既好奇又畏惧。拿到《数值计算方法 上册（第二版）》时，它厚重的篇幅和严谨的封面就让我感到一丝压力，但翻开第一页，作者并没有直接抛出复杂的公式，而是从一些非常贴近实际应用的问题入手，比如如何更精确地求解一个方程，如何在有限的计算资源下近似一个复杂的函数。这种“从问题出发”的学习方式，一下子就拉近了我与书本的距离。我记得当时对“插值”这一章节印象特别深刻，书里详细讲解了多项式插值、样条插值等方法，并且配以图示，生动地展示了不同插值方法在拟合曲线时产生的不同效果。我甚至花了几个晚上，用当时刚刚入门的C语言，尝试着去实现书中的插值算法，虽然代码写得磕磕绊绊，但当屏幕上真的出现了一条由离散点构成的平滑曲线时，那种成就感是无与伦比的。这本书不仅仅是理论的堆砌，它更像是一位经验丰富的老师，循序渐进地引导着我理解那些看似遥不可及的数值计算思想，并且教会我如何将这些思想转化为可执行的程序，去解决实际的数学问题。这种实践与理论相结合的学习体验，对于培养我的工程思维和解决问题的能力，起到了至关重要的作用，让我对后续更深入的学习充满了信心。

评分☆☆☆☆☆

不得不说，这本书对于我这个多年未曾碰触数学专业书籍的“半路出家”的开发者来说，无疑是一场思维的“洗礼”。我当初选择它，纯粹是出于工作中遇到了需要处理大量高精度浮点数计算的瓶颈，传统的高级语言在某些场景下的效率和精度都让我头疼不已。当我看到《数值计算方法 上册（第二版）》时，我最先关注的是它对“误差分析”的讲解。书里将误差分为了截断误差和舍入误差，并且详细阐述了它们产生的根源以及如何量化和控制。这让我恍然大悟，很多时候我们以为计算结果不准确，并非是算法本身的问题，而是我们在过程中累积的误差在作祟。书中的例题，比如求解微分方程的欧拉法和改进欧拉法，通过对比不同方法的误差量，清晰地展示了提高精度的几种有效途径。我尝试着将书中的一些误差分析方法应用到我的代码中，比如采用更小的步长，或者选择更鲁棒的数值算法，显著改善了计算结果的可靠性。而且，书中对于矩阵运算的讲解也非常细致，特别是关于线性方程组的求解，迭代法和直接法的优劣势分析，以及各种方法的收敛性条件，都给了我很大的启发。我甚至开始反思自己过去在处理线性系统时的一些“粗暴”做法，认识到理论指导下的算法选择，对于性能和精度都有着事半功倍的效果。

评分☆☆☆☆☆

当我第一次拿到《数值计算方法 上册（第二版）》时，我的背景是在物理学领域，对各种偏微分方程的数值求解非常感兴趣。我的研究课题常常需要模拟复杂的物理现象，而这些现象往往无法通过解析方法得到精确解，数值计算就成了我们不可或缺的工具。这本书在上册就深入讲解了方程组的迭代解法，比如雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代。书中的公式推导严谨，并且对迭代法的收敛性给出了清晰的证明，让我对这些方法的原理有了深刻的理解。更让我惊喜的是，书里还提到了关于“预条件”的思想，这对于加速迭代的收敛速度至关重要，我在实际研究中尝试使用了一些书里提到的预条件技术，确实在模拟效率上有了显著的提升。此外，书中关于“特征值与特征向量”的求解方法，如幂法和反幂法，也为我提供了分析系统稳定性的重要手段。我还记得，为了更好地理解这些概念，我曾尝试用Fortran语言去实现书中的算法，虽然当时学习Fortran也是一个挑战，但能将书中的理论转化为实际的计算程序，并观察到它在模拟我的物理模型时产生的合理结果，那种感觉是无比充实的。这本书不仅仅是提供了算法，它更是在潜移默化中塑造了我严谨的科学研究态度。

评分☆☆☆☆☆

实话实说，当初拿起《数值计算方法 上册（第二版）》纯粹是因为课程要求，我对数值计算的兴趣并没有那么浓厚，总觉得这些方法离实际应用有些遥远。然而，随着学习的深入，我逐渐被书中严谨的逻辑和精妙的算法所吸引。书中关于“函数逼近”的部分，特别是最小二乘逼近，给我的印象尤为深刻。在生活中，我们常常需要从大量带有噪声的数据中提取出规律，而最小二乘法就像一把瑞士军刀，能够帮助我们找到最“贴合”这些数据的函数模型。书里不仅给出了理论推导，还配以了大量的图例，展示了不同阶数的逼近多项式在拟合同一组数据时的差异。我曾经花了一个周末，用Python实现了书中的最小二乘法，并将其应用到了一组我收集到的实验数据上，结果非常令人满意。这让我第一次真切地感受到，数学理论是可以如此直接且有效地解决实际问题的。此外，书中关于“数值积分”的讲解，如梯形公式、辛普森公式等，也让我明白了如何在积分无法解析求解时，通过离散化和近似来获得准确的结果。这种对“不可能”问题的“可能”解答，让我对数值计算方法产生了浓厚的兴趣，也为我今后的学习和工作打下了坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

作为一个多年从事工程软件开发的工程师，我经常面临优化算法和提高计算效率的挑战。在一次偶然的机会中，我接触到了《数值计算方法 上册（第二版）》，并立刻被其内容深深吸引。这本书最让我称赞的一点是，它并没有仅仅停留在理论层面，而是非常注重算法的实用性和效率。比如，在介绍线性方程组的求解时，书中不仅讲解了高斯消元法等直接法，更详细阐述了迭代法在处理大规模稀疏矩阵时的优势，并给出了具体的收敛性判据和加速技巧。我曾经将书中的一些迭代方法应用到我负责的一个工程仿真项目中，通过调整参数和选择合适的预条件子，最终将原先耗时数小时的计算缩短到几十分钟，这在实际的工程应用中具有巨大的价值。此外，书中关于“求解非线性方程”的章节，比如牛顿法及其变种，讲解得非常透彻。我尝试用牛顿法来求解我项目中遇到的一个复杂的非线性优化问题，相较于之前的试探性方法，牛顿法的收敛速度和鲁棒性都大大提高。这本书为我提供了许多解决实际工程问题的“利器”，也让我对数值计算的深度和广度有了更深刻的认识。

评分☆☆☆☆☆

在本科期间，我曾为了理解“数值稳定性”这个问题而苦恼不已。很多看似简单的数值算法，在实际计算中却可能因为微小的扰动而导致结果的巨大偏差，甚至完全失效。《数值计算方法 上册（第二版）》在这方面给予了我非常清晰的指导。书中对“病态问题”的定义和分析，以及不同算法在处理病态问题时的表现，都让我豁然开朗。我记得书中以求解某个线性方程组为例，展示了当系数矩阵的条件数很大时，即使使用看似精确的直接法，也可能产生不可接受的误差。这本书让我明白，选择合适的数值算法，不仅仅是效率的问题，更是结果可靠性的关键。同时，书中对于“误差传播”的分析，也让我认识到，即使每个计算步骤的误差都很小，但如果误差不断累积，最终也可能导致灾难性的后果。我尝试着在自己的程序中加入对条件数和误差的监控，这极大地提高了我的程序在复杂计算场景下的鲁棒性。这本书不仅仅是传授算法，它更教会了我如何“审慎”地对待数值计算，如何在追求效率的同时，确保结果的准确性和可靠性。

评分☆☆☆☆☆

当我翻开《数值计算方法 上册（第二版）》时，我的背景是概率统计，对如何处理随机性数据和建立统计模型有着天然的需求。这本书中最吸引我的部分是关于“曲线拟合”和“插值”的章节。在统计建模中，我们常常需要用连续函数去逼近离散的观测数据，而这本书提供了多种行之有效的方法。书中对多项式插值、样条插值以及最小二乘拟合的详细讲解，让我能够根据数据的特点选择最合适的拟合方式。我记得我曾用书中的最小二乘法来拟合一组实验数据，并比较了不同阶数多项式拟合的效果。通过书中给出的残差分析方法，我能够客观地评估拟合模型的优劣，并最终选择了最能体现数据内在规律的那个模型。此外，书中对“数值积分”的讲解，对于从连续分布中计算概率密度函数下的面积（即概率）也提供了重要的计算工具。我曾尝试用书中介绍的辛普森公式来计算某个概率密度函数的累积分布函数值，相较于粗略的求和方法，数值积分的精度得到了显著提升。这本书为我提供了一个强大的数学工具箱，让我能够更有效地处理统计数据，并构建更可靠的统计模型。

评分☆☆☆☆☆

在学习《数值计算方法 上册（第二版）》之前，我对“数值微分”这个概念是模糊不清的，总觉得对一个函数求导，只要找到它的解析表达式就行了。然而，当我在研究中遇到一些无法获得解析导数的复杂函数时，我才意识到数值微分的重要性。这本书对数值微分的多种方法，如差分法，都做了非常详尽的介绍。它不仅给出了公式，还分析了不同差分格式的精度和适用范围，以及它们对误差的敏感性。我记得书中有一个例子，是通过不同阶的差分来近似求解一个微分方程的解，通过对比不同方法的计算结果，我清晰地看到了数值微分的精度是如何随着差分阶数和步长的变化而变化的。这让我意识到，即使是简单的求导，在数值计算中也蕴含着深刻的学问。此外，书中对“求解微分方程”的章节，也为我后续的研究提供了重要的指导。对于许多物理和工程问题，其核心往往在于求解微分方程，而这本书提供的各种数值求解方法，如欧拉法、龙格-库塔法等，都成为了我解决实际问题的得力助手。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我当初拿起《数值计算方法 上册（第二版）》主要是为了应对一次重要的学术报告，我需要用严谨的数学方法来解释和验证我的实验结果。这本书给我最大的惊喜在于其对“矩阵理论”的深入讲解，尤其是关于“矩阵分解”的部分。书中对LU分解、QR分解、SVD分解等方法的原理、算法和应用场景都做了非常详尽的阐述。我记得我曾用LU分解来求解一个大规模的线性方程组，相较于直接的高斯消元法，LU分解的效率和稳定性都得到了明显的提升。而且，书中还解释了如何利用这些矩阵分解来求解最小二乘问题，这对于我的数据拟合工作至关重要。此外，书中对“条件数”的讲解，也让我深刻理解了矩阵的病态性对数值计算结果的影响，并学会了如何通过正交变换等手段来改善矩阵的条件数。这本书不仅为我提供了强大的计算工具，更教会了我如何从更深层次理解和分析数学问题，这对于我撰写高水平的学术论文起到了关键性的作用。

评分☆☆☆☆☆

当我还是一个懵懂的计算机科学专业的学生时，《数值计算方法 上册（第二版）》对我而言，就像打开了一扇通往“算法艺术”的大门。之前我只知道如何编写程序，但对程序背后所依赖的数学原理知之甚少。这本书的章节安排非常合理，从基础的方程求根，到复杂的积分逼近，再到线性代数的数值解法，都循序渐进地展开。我最深刻的印象是关于“不动点迭代”的讲解，书中不仅给出了迭代公式，还详细分析了其收敛的充要条件。我尝试着去寻找不动点方程的“良性”形式，以确保我的算法能够快速有效地收敛。这种对算法“内在规律”的探索，让我对编程不再仅仅是机械的指令输入，而是充满了对数学美感的追求。此外，书中关于“收敛性”的讨论，无论是对迭代法还是对数值积分，都让我明白了“快”不一定意味着“好”，而“稳定”和“准确”才是评价一个数值方法的核心标准。这本书不仅仅是一本教材，它更像是一位导师，引导我从一个“代码工人”成长为一个能够理解并运用数学原理来设计更优秀算法的“工程师”。