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王明新 著

图书标签:

• 数学
• 泛函分析
• 偏微分方程
• 索伯列夫空间
• 函数空间
• 数学分析
• 实分析
• PDE
• 数值分析
• 应用数学

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040370379

版次：1

商品编码：11234777

包装：平装

丛书名： 现代数学基础

开本：16开

出版时间：2013-05-01

用纸：胶版纸

页数：237

字数：240000

正文语种：中文

内容简介

　　《现代数学基础：索伯列夫空间》作为一本研究生教材或参考书，较系统地介绍了各向同性的整指数（整数阶）索伯列夫（Sobolev）空间，实指数（分数阶）Sobolev空间，关于x与t异性的Sobolev空间，Morrey空间、Campanato空间和BMO空间。书中内容深入浅出，文字通俗易懂，并配有适量难易兼顾的习题。《现代数学基础：索伯列夫空间》可作为微分方程、动力系统、泛函分析、计算数学与相关理工科专业研究生的教材和教学参考书，亦可作为数学、工程等领域的青年教师和科研人员的参考书。

内页插图

目录

前言
第一章 预备知识
1.1 若干记号
1.2 几个初等不等式
1.3 空间Lρ（Ω）
1.3.1 几个常用不等式
1.3.2 完备性，Lρ（Ω）与L∞（Ω）之间的关系
1.3.3 整体连续性
1.3.4 可分性、一致凸性与自反性
1.4 H61der空间
1.5 磨光
1.6 空间Lρ（Ω）的紧性
1.7 截断与分解
1.8 弱导数
习题
第二章 各向同性的整指数S0bolev空间
2.1 定义和初等性质
2.2 逼近
2.2.1 用光滑函数局部逼近
2.2.2 用光滑函数整体逼近
2.2.3 用整体光滑函数逼近
2.3 延拓
2.4 边界迹和迹定理
2.5 空间W1ρ（Ω）的基本性质
2.5.1 复合函数的性质
2.5.2 水平函数的性质
2.5.3 差商和空间W1ρ（Ω）
2.5.4 Lipschitz函数和空间W1∞（Ω）
2.6 sobolev不等式和Morrey不等式
2.6.1 Sobolev不等式
2.6.2 Morrey不等式
2.6.3 Morrey空间，Riesz位势与H61del，连续函数
2.7 空间Wkp（Ω）中的嵌入定理
2.8 空间Wkp（Ω）中的紧嵌入定理
2.9 Poincar6不等式
2.10 迹定理（续）
2.11 内插不等式，Wkp（Ω）中的等价范数
2.12 空间H-1（Ω）的刻画
2.13 嵌人定理的补充和反例
2.13.1 集合的光滑性
2.13.2 一般开集情形的嵌入定理
2.13.3 反例
2.14 作为Banactl代数的空间□
2.15 关于嵌入常数的补充
习题
……
第三章 各向同性的实指数S0bolev空间
第四章 Morrey空间，Campanat0空间和BM0空间
第五章 关于z与t异性的S0bolev空间
附录 实变函数与泛函分析中的一些基本结论
参考文献
索引

前言/序言

　　作为一本研究生教材或教学参考书，本书较系统地介绍了各向同性的整指数（整数阶）索伯列夫（Sobolev）空间，实指数（分数阶）Sobolev空间，关于x与t异性的Sobolev空间，Morrey空间、Campanato空间和BMO空间。
　　Sobolev空间是由多个实变量弱可微函数组成的一些特殊可积空间的统称，它们都是Banach空间，虽然这些空间的原型早已出现，但对其进行系统研究并使之成为一套理论，是20世纪30年代初由苏联数学家S.L.Sobolev完成的。Sobolev空间理论不但是一个非常有趣的数学分支，其重要性是它在其他数学分支中的应用。它不仅是偏微分方程近代理论的基础，也是与分析学相关的其他数学分支的重要基础和必备工具，是与分析学相关的各研究方向的研究生必修课，
　　所谓Sobolev空间理论，就是研究这些函数空间的基本性质：自反性、可分性、稠密性（逼近）、延拓、嵌入定理、内插不等式和边界迹（迹定理），而嵌入定理则是其核心内容，
　　本书的定位是为研究生和青年学者提供一本Sobolev空间理论的基础教材和参考书，力求用较短的篇幅，集中介绍那些业已证明的最常用而又最重要的内容。由于偏微分方程是推动Sobolev空间理论发展的主要动力，本书的选材侧重于在偏微分方程的研究中应用较多的内容。Sobolev空间有许多重要的推广，除了第四章的Morrey空间、Campanato空间和BMO空间之外，本书没有涉及Sobolev空间的其他推广，如Lions的迹空间、Besov空间、Orlicz空间、Orlicz-Sobolev空间、BV空间、Lorentz空间等。有兴趣的读者可以参见R。A。Adams的专著及R.A.Adams和J.J.F.Fournier的专著。
　　本书的第一章是预备知识。首先介绍若干记号和几个重要的初等不等式。由于Lp空间和Holder空间是两个最简单和最基本的Sobolev空间，也是建立其他类型的Sobolev空间的基础，所以在1.3节和1.4节，我们复述这两个空间的基本性质。Sobolev空间中许多重要性质（估计，不等式等）的推导，大多都是先针对“陛质较好”的函数（光滑函数），而后利用逼近（稠密性）过渡到原来的函数，因而逼近是Sobolev空间研究中的一个常用方法，把一个函数磨光，是用光滑函数逼近一般可积函数的有效途径，本章的1.5节介绍磨光函数及其性质。截断方法是把问题局部化的一个重要手段，它既能有效地保留原问题的局部性质，又能避免邻域外各种因素的影响，把问题局部化以后，往往还需要把局部结果整合以得到整体结果，而单位分解就是整合局部到整体的一个重要方法。在第1.7节，我们介绍截断与单位分解。Sobolev空间中出现的导数几乎都是弱导数，这是一种介于古典导数与广义导数之间的一种导数，也是古典导数的推广。在本章的最后一节，我们介绍弱导数及其基本性质。
　　第二章是各向同性的整指数（整数阶）Sobolev空间，这是Sobolev空间理论的最基本部分，学完本章，读者就可以了解该理论的基本思想和方法。为了便于讲授和学习，在不影响其基本思想的前提下，我们只对“适当好”的开集的情况（边界有适当的光滑性，有时还要求是有界的，甚至要求是有界区域），给出每个定理的严格证明。对于一般情况以及嵌入定理的反例，单独作为一节，只列出主要结果而省略了证明过程。

现代数学基础：索伯列夫空间 导言：一个新时代的数学基石 在现代数学的宏伟殿堂中，泛函分析占据着至关重要的地位。它不仅为偏微分方程（PDEs）的研究提供了严谨的理论框架，更深刻地影响了调和分析、概率论乃至理论物理学的诸多分支。而在这片广袤的理论海洋中，索伯列夫空间（Sobolev Spaces）无疑是最为核心、最具革命性的概念之一。 本书《现代数学基础：索伯列夫空间》旨在为读者构建一个全面、深入且富有洞察力的索伯列夫空间理论体系。我们不满足于仅仅介绍定义和基本性质，而是致力于揭示其深层次的数学结构、内在联系以及在解决实际问题中的强大威力。本书面向的是已经具备扎实实分析基础（包括勒贝格积分理论、泛函分析初步知识）的研究生、高级本科生以及希望深入理解现代偏微分方程理论的科研人员。 --- 第一部分：泛函分析与测度论的巩固 在正式踏入索伯列夫空间的世界之前，我们首先需要回顾并强化构建其理论的两个核心支柱：勒贝格积分理论和基础泛函分析。 第1章：勒贝格积分的再审视与$L^p$空间 本章首先对测度论的若干关键概念进行回顾，特别是对$sigma$-代数、测度和可测函数的定义进行精确化处理。我们将重点关注$L^p(Omega)$空间的完备性，即证明它们是巴拿赫空间。这不仅是索伯列夫空间构造的先决条件，也是理解“弱导数”概念所必需的函数类基础。我们详细探讨了闵可夫斯基不等式在$mathbb{R}^n$上的推广，并引入了广义积分的概念，为后续处理不可微函数打下基础。 第2章：基础拓扑与算子理论 本章侧重于必要的拓扑工具。我们将讨论局部紧性、紧算子以及Hille-Yosida定理的初步思想，尽管后者在后续章节中将以更具体的方式出现。重点在于理解赋范线性空间上的拓扑结构如何影响函数的可微性与收敛性。我们还将引入分部积分公式的泛函形式，这是理解“弱导数”的几何直观基础。 --- 第二部分：弱导数的诞生与索伯列夫空间的定义 本部分是全书的理论核心，致力于精确定义和刻画索伯列夫空间，并阐明其相对于经典导数的优越性。 第3章：导数的概念延伸——弱解与测试函数 经典微积分中的导数要求函数在某一点上连续且极限存在。当处理不连续或“粗糙”的函数时，这一概念便失效了。本章引入了测试函数（Test Functions）——即光滑且紧支撑的函数$C_c^infty(Omega)$——作为工具。通过与测试函数进行积分，我们推导出弱导数（Weak Derivative）的定义。我们将详细证明：若函数在经典意义下可微，则其经典导数即为其弱导数；反之，若弱导数存在且光滑，则它就是经典导数。 第4章：索伯列夫空间 $W^{k,p}(Omega)$ 的构造 基于弱导数的概念，我们正式定义索伯列夫空间 $W^{k,p}(Omega)$：它是所有定义在$Omega$上，且其所有（广义）偏导数均属于$L^p(Omega)$的函数构成的空间。本章的核心工作是证明$W^{k,p}(Omega)$是一个巴拿赫空间，其范数为： $$|u|_{W^{k,p}} = left( sum_{|alpha| le k} |D^alpha u|_{L^p}^p ight)^{1/p}$$ 我们还将探讨$W^{k,p}(Omega)$作为一个向量空间的完备性，并讨论$C_c^infty(Omega)$在该空间中的稠密性。 第5章：关键特例与空间关系 本章深入探讨了索伯列夫空间中的几个特例和它们之间的内在联系： 1. $W^{1,p}(Omega)$： 专门分析一阶索伯列夫空间，它与BV（有界变差）空间的早期联系。 2. $H^k(Omega)$： 当$p=2$时，索伯列夫空间退化为希尔伯特空间，记为$H^k(Omega)$。我们利用内积结构，展示$H^k$空间在处理自伴算子和椭圆方程中的便利性。 3. Sobolev嵌入定理（Sobolev Embedding Theorems）： 这是索伯列夫理论的“魔术”所在。我们详细分析了当区域$Omega$的形状（即$n$维空间）和函数空间参数$k, p$满足特定条件时，函数可以被“嵌入”到更光滑的空间（如$L^q$或$C^m$）中。这为偏微分方程的解的正则性提供了强大的工具。 --- 第三部分：索伯列夫空间的几何与分析性质 索伯列夫空间的优越性不仅在于其定义，更在于其内在的几何和分析性质。 第6章：迹的理论与边界行为 对于定义在$Omega$上的函数，我们如何讨论其在边界$partialOmega$上的性质？本章引入了迹（Trace）的概念。我们证明了存在一个连续的线性算子 $T: W^{1,p}(Omega) o L^p(partialOmega)$，将索伯列夫函数“限制”到边界上。我们详细分析了迹算子的性质，特别是对于$p > 1$的情况，并探讨了零迹空间 $H_0^k(Omega)$，它们是Dirichlet边界条件的基础。 第7章：紧性与收敛性 在泛函分析中，紧性往往意味着我们能够从有界序列中提取出收敛子序列。本章主要关注索伯列夫空间中的紧性： 1. Rellich-Kondrachov 定理： 这是关于$W^{k,p}(Omega)$到$L^q(Omega)$嵌入的紧性结果，其重要性不亚于嵌入定理本身。我们通过Moser序列等方法，对定理的条件和结论进行细致的辨析。 2. 弱收敛与强收敛： 在$L^p$和$W^{k,p}$空间中，函数序列的收敛可能表现为弱收敛。本章解释了强收敛和弱收敛的区别，以及如何在特定条件下，从弱收敛中推导出更强的收敛性（例如，通过利用黎斯表示定理的推广）。 --- 第四部分：应用基础——偏微分方程的视角 索伯列夫空间最终的价值体现在其解决实际问题的能力上。本章将理论与应用连接起来，展示索伯列夫空间如何成为现代PDE理论的“通用语言”。 第8章：椭圆型方程的弱解 我们以泊松方程 $Delta u = f$ 为例，展示索伯列夫理论如何工作。首先，我们使用分部积分将原方程转化为一个变分形式（或弱形式）：寻找$u in H_0^1(Omega)$，使得对所有$phi in H_0^1(Omega)$，满足： $$int_Omega abla u cdot abla phi , dx = int_Omega f phi , dx$$ 我们利用Lax-Milgram 定理（它依赖于$H^1$空间的内积结构）来证明该弱解的存在性、唯一性，并分析其在$H^1$空间中的正则性。 第9章：正则性提升与 $W^{2,p}$ 空间 如果右端项$f$足够光滑，我们期望解$u$也能比弱解所要求的更光滑。本章探讨正则性提升（Regularity Theory）的基础。通过将弱导数应用于弱形式的方程，我们引入了二阶索伯列夫空间 $W^{2,p}(Omega)$，并探讨了何时满足Dirichlet边界条件的$W^{2,p}$函数可以作为方程的解。 --- 结语：通往更深层次理论的阶梯 《现代数学基础：索伯列夫空间》提供了一个从基础到前沿的、逻辑严密的索伯列夫空间构建路径。掌握本书内容，读者不仅能够熟练运用$W^{k,p}$空间解决经典PDE问题，更能为深入研究非线性PDE、调和分析中的BMO空间、或者更精细的嵌入理论（如Morrey空间）打下无可动摇的分析基础。本书的每一个证明都力求清晰，每一个定义都力求精确，确保读者能够真正“掌握”这一现代数学分析中不可或缺的核心工具。

评分☆☆☆☆☆

我是一名理论物理专业的学生，在学习量子场论和凝聚态物理的过程中，经常会接触到一些对函数的要求，比如“平方可积”或者“具有某些阶次的导数”。起初，我只是模糊地知道这些是与积分和导数相关的概念，但《现代数学基础：索伯列夫空间》这本书，则让我第一次系统地理解了这些概念的严谨数学基础。书中对索伯列夫空间的介绍，从最基本的定义开始，一步步引出了其重要的性质，比如柯西-施瓦茨不等式在索伯列夫空间中的推广，以及它与傅立叶变换的联系。我特别感兴趣的是书中关于索伯列夫空间如何解决偏微分方程边值问题的章节，这对于我在研究量子系统的哈密顿算符，或者描述凝聚态材料中场分布的方程时，提供了强大的数学工具。虽然有些证明过程对我来说仍有一定挑战，但书中给出的直观解释和相关应用的案例，极大地激发了我深入学习的兴趣。

评分☆☆☆☆☆

在数学的海洋里，总有一些关键的“岛屿”，掌握了它们，就能开启更广阔的视野。《现代数学基础：索伯列夫空间》这本书，无疑就是这样一个重要的“岛屿”。作为一个对分析学理论有浓厚兴趣的读者，我一直渴望能深入理解那些在泛函分析和偏微分方程中扮演核心角色的概念。这本书恰好满足了我的这一愿望。它不仅仅是简单地罗列定义和定理，而是通过严谨的推导和清晰的阐述，将索伯列夫空间的各个方面娓娓道来。从空间本身的构造，到各种重要的不等式，再到其与传统函数空间的联系，书中都做了细致的讲解。我尤其喜欢书中关于索伯列夫空间在泛函分析中作为嵌入定理的强大应用的讨论，这让我看到了不同函数空间之间的层级关系，也为理解更抽象的理论打下了基础。这本书的出现，无疑将为我深入探索数学分析的奥秘提供坚实的支撑。

评分☆☆☆☆☆

这本书的出版，无疑为广大数学研究者和高年级本科生提供了一本宝贵的参考资料。我个人在学习偏微分方程的过程中，经常会遇到需要用到索伯列夫空间的场景，但以往的知识体系中，对于这一部分的讲解往往比较零散。而《现代数学基础：索伯列夫空间》则系统地构建了这一理论框架。从最初的定义出发，书中逐步引出了各种重要的性质，例如索伯列夫空间的完备性、范数等价性以及与狄拉克测度等在数学分析中扮演关键角色的概念之间的联系。我尤其赞赏书中关于索伯列夫空间及其对偶空间的讨论，这对于理解线性算子的性质以及泛函分析中的一些抽象概念至关重要。书中提供的练习题也很有代表性，能够帮助读者巩固所学知识，并尝试将理论应用于解决具体问题。虽然有些部分的推导需要一定的数学基础，但整体而言，作者的叙述风格是清晰且有条理的，使得即使是初学者也能循序渐进地掌握核心内容。

评分☆☆☆☆☆

对于我这样长期沉浸在应用数学领域的研究者来说，一本扎实的理论基础书籍是必不可少的。《现代数学基础：索伯列夫空间》这本书恰恰满足了这一需求。它不仅涵盖了索伯列夫空间的基本定义和重要性质，更重要的是，它详细地展示了这些抽象概念如何被应用于解决实际问题。书中对诸如泊松方程、弹性力学方程等经典偏微分方程的求解分析，都巧妙地融入了索伯列夫空间的理论。通过对这些方程在不同索伯列夫空间中的解的存在性和唯一性的讨论，我能够更深刻地理解数学模型与物理现象之间的联系。书中对各种嵌入定理的详细推导，也帮助我更好地理解函数在不同正则性之间的转换，这对于处理具有复杂边界条件或非光滑系数的方程非常有益。这本书的价值在于，它提供了一个坚实的理论平台，让我在进行具体问题研究时，能够更加自信和高效。

评分☆☆☆☆☆

作为一名数学爱好者，我一直对函数空间和微分方程的理论基础很感兴趣，尤其是在分析学领域。最近我入手了一本新书，它的书名是《现代数学基础：索伯列夫空间》，虽然我还没有完全读完，但已经能感受到它在数学研究中的重要价值。这本书深入浅出地介绍了索伯列夫空间这一核心概念，它不仅仅是标准Lp空间或C∞函数的简单推广，而是将函数及其广义导数的Lp范数融合在一起，从而在更广泛的函数类上讨论微分算子的性质。这对于理解偏微分方程的解的存在性、正则性以及它们在物理、工程等实际问题中的应用至关重要。我尤其欣赏书中对索伯列夫嵌入定理和索伯列夫不等式的详细阐述，这些定理是连接不同函数空间、研究函数性质的桥梁。书中的证明过程严谨且逻辑清晰，常常伴随有直观的几何解释，这对于我这样的读者来说非常有帮助。我期待着在接下来的阅读中，能够更深入地理解其在变分法、非线性方程等领域的应用，相信这本书会成为我梳理和加深理解相关知识的得力助手。

评分☆☆☆☆☆

看过史济怀谢惠民、徐森林、朱尧臣等老教授关于数学分析的书本来以为这本可能像名字一样让人耳目一新！结果是失望至极！！这个作者解题功力较前几位功力差很多

评分☆☆☆☆☆

需要有一定的基础才能读下去 翻了几页看不懂 暂时放一边了

评分☆☆☆☆☆

京东买书，既有折扣，取货也方便

评分☆☆☆☆☆

京东上的东西我觉得非常好，我的所有东西都在京东上面买的，送货速度非常快，买了东西就知道什么时候来，我在京东买东西好多年了，京东的东西都是正品，售后服务特别好，我太喜欢了！这次买的东西还是一如继往的好，买了我就迫不及待的打开，确实很不错，我真是太喜欢了。在京东消费很多，都成钻石会员了，哈哈，以后还会买，所有的东西都在京东买，京东商城是生活首选！

评分☆☆☆☆☆

高教出版社的这套基础数学丛书还是非常不错的！推荐给数学专业人士！

评分☆☆☆☆☆

很多人并不知道，国内有一所大学历史非常悠久，已经有绵延不绝近千年，因此还被官方评为中国最古老的高等学府。而且，这个高校还是国家首批985和211工程大学，在2017年底也入选了国家“双一流”高校名单。

评分☆☆☆☆☆

这么好的书，不多见。希望高教社多出版这样的好书，期待中国的数学工作者多写这样的好书。

评分☆☆☆☆☆

京东购物方便快捷，买书也同样方便快捷，还是不错的

评分☆☆☆☆☆

实变函数与泛函分析参考书，值得购买，写的很不错