现代数学基础：泛函分析中的反例 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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汪林 著

图书标签:

• 泛函分析
• 反例
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• 数学研究
• 现代数学

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040388909

版次：1

商品编码：11388566

包装：平装

丛书名： 现代数学基础

开本：16开

出版时间：2014-01-01

用纸：胶版纸

页数：329

字数：470000

正文语种：中文

内容简介

　　《泛函分析中的反例》汇集了泛函分析中的大量反例，主要内容有度量空间、赋范线性空间、线性算子、弱拓扑和弱+拓扑、向量值函数、不动点理论、Hilbert空间、线性算子的谱。书中对Banach空间的同构理论、基、凸性和范数可微性方面的反例也做了介绍。
　　《泛函分析中的反例》可供高等学校数学类各专业的本科生、研究生以及教师参考。

内页插图

目录

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现代数学基础：泛函分析中的反例 作者： [在此处填写作者姓名，若无，则留空或使用“佚名”] 出版社： [在此处填写出版社名称] 出版年份： [在此处填写出版年份] --- 图书简介： 一部深入剖析泛函分析基石与边界的里程碑式著作 《现代数学基础：泛函分析中的反例》并非一部传统的教科书，它不致力于系统地铺陈泛函分析的定义、定理与标准证明。相反，本书采取了一种更为深刻、更具批判性的视角——通过对一系列精心挑选的“反例”的剖析，来揭示现代泛函分析理论体系中那些微妙的边界、隐藏的陷阱，以及看似坚不可摧的结构背后的脆弱性。 本书的核心论点在于：理解一个数学领域真正的深度，往往不在于掌握其“普遍成立”的定理，而在于精确地界定这些定理适用的范围，识别那些导致它们失效的“特异点”。泛函分析作为连接拓扑学、测度论、线性代数与分析学的核心桥梁，其概念的抽象性往往掩盖了其在具体构造中可能出现的非直观行为。本书正是要将这些非直观性——即反例——提升到理论研究的中心位置。 全书结构围绕着泛函分析的几个关键支柱展开，每一个章节都聚焦于一个或一组具有里程碑意义的反例，这些反例的发现或构建，直接推动了相关领域的发展与修正。 第一部分：拓扑向量空间与序列空间中的悖论 本部分深入探究了拓扑向量空间（TVS）的理论。尽管我们有巴拿赫空间（完备的赋范空间）这样优美的结构，一旦放松对范数或完备性的要求，反例便如雨后春笋般涌现。 非完备空间中的算子行为： 探讨了在非完备的拓扑向量空间中，连续线性算子、开映射定理和闭图像定理失效的经典情形。我们详述了如何构造一个在特定拓扑下连续，但在更强的拓扑下则不连续的算子，从而揭示了拓扑选择对线性代数结构产生的决定性影响。 “平凡”拓扑的陷阱： 重点分析了离散拓扑和不可分拓扑下，某些构造（如乘积空间或极限空间）会表现出与直觉相悖的性质。例如，在具有特定弱拓扑的函数空间中，连续函数集可能不是闭集，这挑战了我们对“封闭性”的惯常理解。 核函数与代数结构的冲突： 考察了核空间（如Schwartz空间）中的反例，特别是关于紧性、可分性和完备性的相互制约关系。例如，展示了在某些情况下，具有良好代数结构（如拓扑代数）的空间，其拓扑结构会“过于稀疏”，无法容纳预期的紧性。 第二部分：测度、积分与函数空间 本部分转向了 $L^p$ 空间及其变体，这是泛函分析中应用最广泛的领域，也是反例密度最高的区域之一。 $L^p$ 空间中的收敛性迷宫： 详细分析了几乎处处收敛、依测度收敛和 $L^p$ 范数收敛之间的复杂关系。本书清晰地展示了著名的“圆环反例”（或类似的例子），说明了为什么勒贝格积分理论中的完备性并不能保证所有形式的收敛都能在空间中得到体现。 冯·诺伊曼代数与非自伴算子： 在希尔伯特空间中，我们通常期望自伴算子具有良好的谱理论。然而，当我们将视野扩大到一般的可分希尔伯特空间上的算子时，构造出一些病态的、既非自伴也非正算子的例子，这些算子在研究量子力学中的非厄米系统时具有重要意义。我们探讨了何时“有界”和“自伴”不足以保证谱的良好性质。 核算子与紧算子： 分析了迹类算子和核算子理论的边界。通过构造维度无限、但迹（Trace）发散的算子，我们展示了有限维空间中“迹是乘积的特征”这一性质是如何在无限维空间中崩溃的。这些反例是理解冯·诺伊曼截断在处理无限维度时的局限性的关键。 第三部分：算子理论与谱的怪癖 谱理论是泛函分析的皇冠上的宝石，但其光芒之下隐藏着深刻的复杂性，尤其是在非自伴或非正规算子的情况下。 非紧算子与点谱： 构造了具有空隙或怪异结构的谱的算子。一个关键的反例是展示如何在一个巴拿赫空间中找到一个有界算子，其点谱（即特征值集合）是稠密的，但其本征函数集合却无法张成整个空间——这直接挑战了代数特征值理论与分析结构之间的直观联系。 子空间与超不变子空间： 深入探讨了冯·诺伊曼关于算子有非平凡不变子空间的猜想（如今已被证明为假）。本书详细复现了导致这一猜想被否定的构造，揭示了在某些特定的希尔伯特空间上，算子对子空间的“控制力”的局限性。 紧嵌入的失败： 考察了从一个函数空间到另一个函数空间的嵌入问题。例如，构造了一个序列，它在一个函数空间中收敛，但在另一个相关空间中则完全不收敛。这强调了选择合适的拓扑嵌入（如索博列夫嵌入定理的局限性）是构建有效分析模型的前提。 超越“标准”：对理论构建的哲学反思 《现代数学基础：泛函分析中的反例》的独特价值在于其贯穿始终的批判性精神。本书不仅仅是罗列反例，更是引导读者思考：为什么这些反例会产生？它们揭示了我们初始假设中的哪些“不完备性”？通过对这些反例的逆向工程分析，读者将能够更坚实地理解巴拿赫、冯·诺伊曼、黎曼等先驱者建立理论时的深思熟虑，以及他们为了规避这些“陷阱”所付出的努力。 本书适合具有扎实泛函分析基础的研究生、博士后以及致力于理论研究的数学家。它要求读者不仅熟悉标准定义，更要具备深入探究数学结构底层逻辑的勇气与能力。阅读本书，不是为了学会新的计算方法，而是为了学会如何“质疑”已有的计算方法，从而在未来的研究中构建出更稳固、更具普适性的数学理论。它是一面镜子，映照出泛函分析这座宏伟建筑的细微裂痕，也正是这些裂痕，指引着未来数学前进的方向。

评分☆☆☆☆☆

这本《现代数学基础：泛函分析中的反例》真是打开了我对泛函分析理解的新视角！在我看来，许多教科书往往着重于介绍定理的证明和抽象概念的构造，而忽略了那些“不存在”的情况，或者说，那些看似理所当然的性质在某些特定条件下如何失效。这本书恰恰弥补了这一遗憾。它以一种非常启发性的方式，系统地呈现了泛函分析中一系列经典的、深刻的反例。读这本书，就像是给一位满怀好奇的侦探提供了最精密的工具，让他能够去探寻那些“边界条件”下的数学真相。 一开始，我以为这会是一本枯燥乏味的“错题集”，专门罗列各种反常情况。但很快我发现，每一道反例的背后，都隐藏着对相关概念理解的深度洞察。作者并非简单地列举，而是花了大量篇幅去剖析反例的构造思路，解释为什么会出现这种情况，以及它对我们理解该定理的普适性有何启示。比如，关于勒贝克可积函数空间中的一些例子，让我深刻体会到“点态性质”与“整体性质”之间的微妙关系，以及完备性在保证数学对象存在性方面的关键作用。这种“从反面”来巩固正面认知的方法，比单纯背诵定义和定理要有效得多。 书中关于希尔伯特空间和巴拿赫空间中算子理论的反例尤其令我印象深刻。很多时候，我们习惯于处理那些“好的”算子，比如自伴算子、紧算子等，它们拥有许多优良的性质。但这本书则带领我们审视那些“不那么友好”的算子，例如非自伴算子，以及在某些空间上定义出的“奇怪”的算子。通过构造这些反例，作者巧妙地揭示了算子谱理论的复杂性，以及在某些条件下，像谱分解这样的普适性定理如何失效。这不仅增长了我的知识，更重要的是，它培养了我一种严谨的数学批判精神，让我学会质疑那些显而易见的结论，去探寻其背后的深层逻辑。 我尤其欣赏书中对于反例的“可视化”尝试，尽管泛函分析本身是高度抽象的，但作者通过一些巧妙的比喻和类比，使得一些难以想象的反常情况变得相对易于理解。当然，这并非说它就变得“简单易懂”了，而是说它提供了一种思维上的“着力点”。例如，在讨论到某些不连续的线性算子时，作者会将它们与一些现实世界中的“故障”或“失真”现象联系起来，虽然这种联系是象征性的，但确实能帮助初学者建立初步的直观感受。这本书不仅仅是给数学专业的学生看的，对于那些希望更深入理解数学工具在实际应用中可能遇到的局限性的工程师或数据科学家来说，也极具参考价值。 总的来说，《现代数学基础：泛函分析中的反例》是一部非常独特且有价值的著作。它以一种“非传统”的视角，系统地梳理了泛函分析领域中的关键反例，并对其背后的数学思想进行了深入的剖析。这本书的价值不仅在于提供了大量的反例，更在于它激发了读者独立思考和深入探究的精神。读完它，我感觉自己对泛函分析的理解不再局限于“定理成立”的层面，而是能够更全面地认识到数学模型的局限性，以及在不同条件下需要采取的策略。对于那些渴望超越表面知识，追求数学本质理解的读者而言，这本书绝对是不可多得的宝藏。

评分☆☆☆☆☆

这本书，哦，我得说，它完全颠覆了我过去学习泛函分析的刻板印象。我一直以为，数学学习就是不断地吸收定理、理解证明，然后熟练地运用它们。但这本书，它就像一位经验老道的引导者，拉着你的手，带你去探索那些“路途上的陷阱”。它没有直接告诉你“怎么做”，而是通过那些“做不到”的例子，让你深刻理解“为什么”。比如，关于范数空间中的一些看似“自然”的性质，这本书就用一些构造精妙的反例，告诉你，在某些特定情况下，它们是如何失效的。这就像是在学习驾驶，教科书只教你油门刹车怎么用，而这本书则会告诉你，在湿滑路面、紧急避让时，你需要注意什么，以及某些操作可能会带来什么后果。 我特别喜欢书中对“完备性”这个概念的处理方式。在学习 Banach 空间时，我们总是强调完备性的重要性，它保证了 Cauchy 序列的收敛，使得许多分析工具得以正常工作。但这本书，它通过一些例子，展示了不完备的空间在这种情况下会显得多么“无助”。它不是简单地说“完备性很重要”，而是通过具体的例子，让你感受到“不完备”所带来的“麻烦”，从而更加直观地理解完备性的真正价值。这种“痛感学习法”，虽然有时让人感到沮丧，但却异常深刻，记忆犹新。 再说说书中关于算子理论的部分。我们通常关注那些“有良好性质”的算子，比如自伴算子，它们有实数谱，有完备的特征向量系。但这本书，它会带你看看那些“不那么乖”的算子，比如那些在无限维空间中，即使是连续的，也可能不是紧的。它会展示，在某些条件下，我们熟悉的谱理论可能不再适用，或者需要更复杂的工具来理解。这让我意识到，无限维空间远比有限维空间要复杂和充满挑战，许多直觉可能会失效。 这本书的叙述方式也很有意思。它不像传统的教科书那样，先提出一个概念，然后证明它，最后再给几个例子。它更像是把一个概念“摊开”，让你看到它的各个侧面，特别是那些不那么光滑、不那么完美的面。通过反例，它迫使你去思考“为什么定理只在某种条件下成立？”、“如果放松某个条件会发生什么？”。这种对数学“边界”的探索，比仅仅掌握“核心”内容要更有深度。 总而言之，这本《现代数学基础：泛函分析中的反例》绝对是我读过最有启发性的数学书籍之一。它不是简单地堆砌知识点，而是通过引导读者去发现问题、解决问题，从而加深对数学概念的理解。它培养了我一种质疑精神，让我不再轻易接受表面的结论，而是去探究其背后的根源。对于那些希望真正理解泛函分析的精髓，而不仅仅是停留在表面的读者来说，这本书是必读之选。

评分☆☆☆☆☆

读完这本《现代数学基础：泛函分析中的反例》，感觉自己像是经历了一场“数学思维的洗礼”。过去，我对泛函分析的理解，总有一种“纸上谈兵”的感觉，总觉得那些抽象的概念离现实世界有点遥远。但这本书，它通过一个个精巧的反例，将抽象的概念“拉回地面”，让我看到这些概念在实际运用中可能遇到的“礁石”。它不是在教你如何“构建”一个好的数学对象，而是在警示你，在什么情况下，你尝试构建的东西可能会“崩塌”。 书中关于度量空间和拓扑空间的反例，尤其让我大开眼界。我们习惯于在欧氏空间中思考问题，那里的性质似乎总是“顺理成章”。但这本书，它会用一些非常规的度量或拓扑结构，构造出那些“看起来不像”的例子。比如，一个集合上存在不同的度量，它们会导致截然不同的收敛性质，这让我深刻理解了“度量”或“拓扑”的选择对数学分析结果的决定性影响。 我特别欣赏作者在处理“一致收敛”和“逐点收敛”之间的区别时所使用的反例。这两个概念看似相似，但在很多情况下，它们的结果却大相径庭。作者通过一些函数序列的构造，清晰地展示了为什么一个序列可以逐点收敛，但却不能一致收敛，以及这种区别在积分、微分等运算中会带来多大的影响。这种对细微差异的关注，正是数学严谨性的体现，也让我更深刻地认识到，在进行数学推导时，每一个细节都不能忽视。 这本书的结构安排也非常巧妙。它不是按照传统的定理-证明-例子的模式，而是将反例作为“引子”，先抛出一个问题或一个现象，然后通过反例来揭示其背后的深刻原因，最后再引申到相关的定理或概念。这种“先见景，后识图”的方式，更容易激发读者的好奇心，引导他们主动去探索数学的奥秘。 总而言之，这本《现代数学基础：泛函分析中的反例》是一部充满智慧和洞察力的著作。它不是一本“速成手册”，而是一本帮助你“筑牢根基”的书。它教会我如何批判性地看待数学知识，如何从反面理解正面，如何在看似完美的数学体系中发现潜在的“裂缝”。对于任何希望在泛函分析领域有所建树，或者想要更深入理解数学思维的读者来说，这本书都将是一笔宝贵的财富。

评分☆☆☆☆☆

我必须说，《现代数学基础：泛函分析中的反例》这本书，它彻底改变了我对“数学直觉”的看法。我一直以为，很多时候，数学研究就是跟着感觉走，去猜测定理，然后寻找证明。但这本书，它用大量令人拍案叫绝的反例，告诉我们，在抽象的数学世界里，我们的直觉可能并不总是可靠的。许多在有限维空间中看起来理所当然的性质，在无限维空间中可能完全失效，甚至出现完全相反的情况。 书中关于“紧致性”的讨论，就给我留下了深刻的印象。我们都知道，在欧氏空间中，有界闭集一定是紧致的，这是一个非常重要的性质，它保证了许多定理的成立。但这本书，它会展示，在更一般的度量空间或拓扑空间中，有界闭集可能不再是紧致的。通过构造一些非常规的集合，作者生动地展示了“界”和“闭”在脱离了欧氏空间的“舒适区”后，是如何不再能自动推导出“紧致”这个“高级”属性的。 另外，关于“连续性”的讨论，也让我大开眼界。我们通常认为，连续函数在闭区间上一定能取到最大最小值。但这本书，它会告诉你，这个结论依赖于空间的“紧致性”。在非紧致空间中，连续函数可能永远趋近于某个值，但永远无法达到。这让我更深刻地理解了，数学的普适性往往是有条件的，而这些条件，正是反例所揭示的。 这本书的优点在于，它不仅仅是罗列反例，而是为每一个反例都提供了详细的构造思路和解释。它就像一位耐心的老师，不仅告诉你“什么不可以”，更重要的是告诉你“为什么不可以”，以及“如何去避免出现这种情况”。这种“追根溯源”的学习方式，使得读者能够真正理解概念的本质，而不是仅仅记住一些孤立的结论。 总而言之，《现代数学基础：泛函分析中的反例》是一本极具挑战性但也极其有益的书。它迫使我重新审视自己对数学的理解，培养了我一种严谨的、不轻易下结论的数学思维。它让我认识到，真正的数学洞察力，往往来自于对那些“例外情况”的深入理解。对于任何渴望在泛函分析领域达到更高层次理解的读者，这本书都将是不可或缺的伴侣。

评分☆☆☆☆☆

这本《现代数学基础：泛函分析中的反例》，简直是为那些和我一样，总是在学习过程中“犯迷糊”的读者量身定做的。过去，我总觉得泛函分析的东西太抽象，定理一堆堆，证明绕来绕去，但总感觉抓不住核心。这本书，它就像一位经验丰富的“数学侦探”，专门负责找出那些隐藏在定理背后，那些“意想不到”的情况。它不是在教你如何“正确”地做，而是在告诉你，“错误”是如何发生的，以及这些“错误”背后隐藏着什么深刻的数学原理。 我尤其喜欢书中关于“可分性”的讨论。我们知道，很多重要的函数空间（比如Lp空间）都是可分的，这意味着存在一个可数的稠密子集。但这本书，它会展示，在某些条件下，函数空间可能就不是可分的了。通过一些巧妙的构造，作者让我们看到了“可分性”的重要性，以及一旦丧失了可分性，一些原本很自然的性质就会变得复杂得多。这让我意识到，数学的“好性质”往往不是天生的，而是需要特定条件的支撑。 再比如，关于“对偶空间”的部分，也是让我头脑大开。我们总是习惯于思考一个空间自身的性质，但对偶空间则提供了一个从“外面”看这个空间的视角。这本书，它会用反例来告诉你，一个空间和它的对偶空间之间，可能存在多么微妙而复杂的关系。有时，它们会出乎意料地相似，有时，它们又会截然不同。这种“镜像”式的分析，让我对泛函分析有了更立体的认识。 这本书的语言风格也很独特。它不像一般的教科书那样，总是板着面孔讲道理。它会用一种更加生动、甚至带点“调侃”的语气，来介绍这些反例。这使得阅读过程不那么枯燥，反而充满了探索的乐趣。虽然这些反例本身可能很复杂，但作者的讲解方式，却能有效地引导读者一步步深入，理解其中的精妙之处。 总而言之，《现代数学基础：泛函分析中的反例》是一本非常有见地、非常有启发性的书籍。它不是一本“轻松读物”，但绝对是一本“值得你付出努力去读”的书。它教会我，理解数学，不仅仅是理解“什么是对的”，更要理解“什么可能是错的”，以及“错在哪里”。对于任何希望在泛函分析领域拥有深刻理解，并且不畏惧挑战的读者来说，这本书都将是一次难忘的学习体验。

评分☆☆☆☆☆

挺好的，汪林是程民德的学生，写的不错

评分☆☆☆☆☆

《量子力学的哲学基础》是从实证主义观点出发对量子力学系统做出哲学解释的代表作，也是作者赖欣巴哈的一本主要著作，写于1942年。作者从实证主义的立场出发，分析了量子力学的科学成果，从中论述了他对哲学基本问题的看法，并据此阐述了关于知识的性质、客观实在（即所谓“观测之外的食物”）以及因果性等问题。

评分☆☆☆☆☆

很多人并不知道，国内有一所大学历史非常悠久，已经有绵延不绝近千年，因此还被官方评为中国最古老的高等学府。而且，这个高校还是国家首批985和211工程大学，在2017年底也入选了国家“双一流”高校名单。

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很薄的一本专业教材，不过讲的很清楚，不错。

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伽罗瓦理论的小书，领略天才的激情

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曷毕乎，几时休，我想上天。

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这本书总结的非常好，很多问题很有意思。

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写得比较乱 中文的算子理论太少了。

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非常不错!这次优惠买了好多本，包装质量也很好，非常满意!