高等几何学习指导与习题选解 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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梅向明，刘增贤 著

图书标签:

• 高等几何
• 几何学
• 学习指导
• 习题集
• 数学
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• 微分几何
• 数学辅导

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040129472

版次：1

商品编码：10124191

包装：平装

开本：32开

出版时间：2004-07-01

页数：323

正文语种：中文

内容简介

　　《高等几何学习指导与习题选解》教材中的重点和难点以及解题所需要的基本概念和基本公式，由于目前高等师范院校的数学专业的教师质量和学生水平很不平衡，“学习指导”这部分内容对于一部分教师和学生来说将是很必要的，不过为了尽量避免和第二版教材重复，仅给出内容提要，对于基本概念，只写出名词，具体内容读者可以查阅第二版教材。
　　“习题选解”部分又分成两方面，其一与“学习指导”结合的习题，除了第二版教材中的习题以外，还适当地选了一些其他《高等几何》教材中的习题；其二是《高等几何学习指导与习题选解》的最后：解题指导与答案。

内页插图

目录

第一部分 学习指导及习题
第一章 仿射坐标与仿射变换
1 透视仿射对应
2 仿射对应与仿射变换
3 仿射坐标
4 仿射性质
习题
5 本章小结
综合练习题

第二章 射影平面
1 射影直线和射影平面
习题
2 齐次坐标
习题
3 对偶原理
习题
4 复元素
习题
5 本章小结
综合练习题

第三章 射影变换与射影坐标
1 交比与调和比
习题
2 一维射影变换
习题
3 一维射影坐标
习题
4 二维射影变换与二维射影坐标
习题
5 本章小结
综合练习题

第四章 变换群与几何学
1 变换群
习题
2 变换群与几何学
习题
3 本章小结
综合练习题

第五章 二次曲线的射影理论
1 二次曲线的射影定义
习题
2 Pascal和Brianchon定理
习题
3 极点与极线，配极原则
习题
4 二阶曲线的射影分类
习题
5 本章小结
综合练习题

第六章 二次曲线的仿射性质和度量性质
1 二次曲线与无穷远直线的相关位置
2 二次曲线的仿射性质
习题
3 二次曲线的仿射分类
习题
§4 二次曲线的度量性质
习题
§5 二次曲线的度量分类
§6 本章小结
综合练习题

第七章 一般体和域上的射影几何
§l 群、体(域)和向量空间
1.1 群
1.2 体和域
1.3 向量空间
§2 射影空间和射影几何
2.1 射影几何的定义
2.2 射影几何中的结合关系
习题
2.3 齐次向量
2.4 交比和调和点列
§3 射影变换和射影坐标
3.1 射影变换
3.2 直射变换
3.3 射影坐标
习题
§4 对偶原理
4.1 对偶空间
4.2 对偶原理
习题
4.3 对射变换
习题
§5 二次超曲面的射影理论
5.1 双线性形式
5.2 对称双线性形式和内积空间
习题
5.3 对称双线性形式的标准型
5.4 二阶超曲面及其射影分类
习题
5.5 配极变换
习题

第八章 一般体(域)上的仿射几何
§1 仿射空间和仿射几何
习题
§2 仿射坐标和仿射变换
2.1 共线三点的单比
习题
2.2 仿射坐标
习题
2.3 仿射变换
习题
§3 二阶超曲面的仿射理论
习题

第九章 射影几何与仿射几何的公理体系
§1 公理法简介
1.1 欧几里得的几何原本(略)
1.2 公理法思想
§2 射影几何的公理体系
2.1 基本概念
2.2 射影结合公理
习题
2.3 射影顺序公理
§3 仿射几何的公理体系
3.1 基本概念
3.2 仿射结合公理和平行公理
3.3 仿射顺序公理
习题
3.4 连续公理
附录 实数域上的欧氏几何
1.欧氏空间和欧氏几何
2.Descartes坐标系和正交变换
3.有向距离和单比
4.有心二次曲面的主轴和标准型
5.三维欧氏几何的公理体系-Hilbert公理体系
第二部分 解题指导与答案
第一章 射影坐标与仿射变换
§l 透视仿射对应
§2 仿射对应与仿射变换
§3 仿射坐标
§4 仿射性质
习题
综合练习题

第二章 射影平面
§1 射影直线和射影平面
习题
§2 齐次坐标
习题
§3 对偶原理
习题
§4 复元素
习题
§5 本章小结
综合练习题

第三章 射影变换与射影坐标
§1 交比与调和比
习题
§2 一维射影变换
习题
§3 一维射影坐标
习题
§4 二维射影变换与二维射影坐标
习题
§5 本章小结
综合练习题

第四章 变换群与几何学
§l 变换群
习题
§2 变换群与几何学
习题
§3 本章小结
综合练习题

第五章 二次曲线的射影理论
§1 二次曲线的射影定义
习题
§2 Pascal和Brian Chon定理
习题
§3 极点与极线，配极原则
习题
§4 二阶曲线的射影分类
习题
§5 本章小结
综合练习题

第六章 二次曲线的仿射性质和度量性质
§l 二次曲线与无穷远直线的相关位置
§2 二次曲线的仿射性质
习题
§3 二次曲线的仿射分类
习题
§4 二次曲线的度量性质
习题
§5 二次曲线的度量分类
§6 本章小结
综合练习题

第七章 一般体和域上的射影几何
§2.2 射影几何中的结合关系
习题
§3.3 射影坐标
习题
§4.2 对偶原理
习题
§4.3 对射变换
习题
§5.2 对称双线性形式和内积空间
习题
§5.4 二阶超曲面及其射影分类
习题
§5.5 配极变换
习题

第八章 一般体(域)上的仿射几何
§1 仿射空间和仿射几何
习题
§2.1 共线三点的单比
习题
§2.2 仿射坐标
习题
§2 3 仿射变换
习题
§3 二阶超曲面的仿射理论
习题

第九章 射影几何与仿射几何的公理体系
§2.N 射影结合公理
习题
§3.3 仿射顺序公理
习题

前言/序言

　　在“学习指导”部分，我们突出了《高等几何》教材中的重点和难点以及解题所需要的基本概念和基本公式，由于目前高等师范院校的数学专业的教师质量和学生水平很不平衡，“学习指导”这部分内容对于一部分教师和学生来说将是很必要的，不过为了尽量避免和第二版教材重复，仅给出内容提要，对于基本概念，只写出名词，具体内容读者可以查阅第二版教材。
　　“习题选解”部分又分成两方面，其一与“学习指导”结合的习题，除了第二版教材中的习题以外，还适当地选了一些其他《高等几何》教材中的习题；其二是《高等几何学习指导与习题选解》的最后：解题指导与答案。

《代数拓扑基础：概念、结构与应用》 图书简介 第一部分：代数拓扑学的基石 本书旨在为读者构建一个坚实而深入的代数拓扑学基础。我们不局限于传统的欧几里得空间讨论，而是将焦点放在更抽象、更具一般性的拓扑空间及其代数不变量上。本书的叙事线索清晰，从最基础的拓扑空间定义出发，逐步过渡到代数工具的应用，旨在使读者能够理解拓扑结构如何被“编码”到可计算的代数对象中。 第一章：拓扑空间与连续性 本章首先回顾并深化了度量空间的概念，随后引入了拓扑空间的一般定义，包括开集、闭集、邻域、以及拓扑的公理化结构。我们详细讨论了拓扑空间间的连续映射、同胚（Homeomorphism）的概念，并引入了拓扑性质（如连通性、紧致性）的严格定义和基本性质。其中，连通性的讨论将细致阐述路径连通性与一般连通性的关系，特别是针对非标准拓扑结构（如子空间拓扑、商拓扑）的分析。紧致性的部分将着重于 Heine-Borel 定理的推广及其在函数空间中的应用。 第二章：基本群：测量“洞”的代数工具 基本群（Fundamental Group），或称第一同伦群 $pi_1(X, x_0)$，是本书代数拓扑方法的开端。我们精确定义了路径和同伦的概念，并证明了基本群是一个群的结构（包括乘法操作——路径的连接）。本章的核心在于应用 Van Kampen 定理来计算各种空间的 $pi_1$ 群。我们将详细解析圆周 $S^1$、环面 $T^2$、射影平面 $mathbb{RP}^2$ 等经典空间的计算过程，重点展示如何利用楔和（Wedge Sum）以及商空间的构造来分解复杂空间的群结构。此外，我们还将介绍不动点定理（如 Brouwer 不动点定理）的代数拓扑证明，揭示 $pi_1$ 在解决几何问题中的威力。 第二章的进阶部分将探讨覆盖空间理论。 我们将建立基本群与覆盖空间的对偶关系，即基本群的元素与特定类型的覆盖空间一一对应。这部分内容将严格证明：一个空间 $X$ 拥有不带分支的覆盖空间 $ ilde{X}$ 当且仅当 $X$ 具有某种结构，并应用此理论来彻底理解单连通空间的概念。 第二部分：同调理论的构建 如果说基本群处理的是一维的“洞”，那么同调理论则提供了一个更强有力、更易于计算的工具来描述更高维度的拓扑结构。本书的同调部分将严格按照代数构造的逻辑展开。 第三章：链复形与边界算子 本章从代数结构——链复形（Chain Complex）开始。我们定义了链群 $C_n(X)$，并引入了边界算子 $partial_n$，展示 $partial_{n} circ partial_{n+1} = 0$ 的关键性质。在此基础上，我们定义了循环群 $Z_n(X)$ 和边界群 $B_n(X)$，并最终定义了奇异同调群（Singular Homology Groups）$H_n(X) = Z_n(X) / B_n(X)$。理论推导中将严格论证同调群的拓扑不变量性，即同胚映射诱导出同构的同调群。 第四章：经典空间的同调计算与应用 掌握了定义后，本章致力于实际计算。我们将使用割接构造（Mayer-Vietoris Sequence）这一强大的分解工具来计算关键空间的同调群。详细计算包括： 1. 单纯形复形与单纯同调： 引入单纯形和单纯复形的具体概念，并证明奇异同调群与单纯同调群在适当条件下是同构的。 2. 球面的同调： 运用 Mayer-Vietoris 序列推导 $H_n(S^k)$ 的结构，特别是理解 $H_k(S^k) cong mathbb{Z}$ 的几何意义。 3. 环面与射影空间的同调： 展示如何通过切割和粘贴的代数处理，获得 $H_n(T^2)$ 和 $H_n(mathbb{RP}^n)$ 的精确结果。 第五章：同调的进阶性质：上同调与对偶性 为了更深入地分析拓扑空间，本章引入了上同调理论（Cohomology）。我们首先定义了上链复形和上边界算子，并建立了奇异上同调群 $H^n(X; R)$。重点讨论了系数域 $R$ 的选择对结果的影响，以及上同调群与下同调群之间的普遍系数公式（Universal Coefficient Theorem）的理论框架。 本章的亮点在于 对偶性原理。我们将详述 Poincaré 对偶性定理（Poincaré Duality Theorem）对于流形（Manifolds）的重要性，阐述流形 $M$ 的 $k$ 维上同调群与 $n-k$ 维同调群之间的深刻联系，为后续的微分拓扑打下基础。 第三部分：结构理论与特定空间 第六章：流形的概念与分类 本章引入了微分拓扑学的基本对象——拓扑流形。我们详细定义了 $n$ 维流形的局部结构（局部欧几里得性）、可微结构（坐标卡与过渡函数）以及可定向性。我们着重分析了球面 $S^n$ 和环面 $T^n$ 作为微分流形的具体结构。本章还将探讨流形上的向量场和切丛的基本概念，为理解张量分析和微分几何的应用做铺垫。 第七章：CW 复杂构造与简化计算 为了简化高维空间的计算，本章专门介绍了 CW 复杂（Cellular Complexes）。我们证明了 CW 复杂的同调群可以通过胞腔链复形（Cellular Chain Complex）来计算，这极大地简化了上述单纯同调的计算难度。我们还将证明：对于 CW 复杂 $X$，其基本群 $pi_1(X)$ 可以由其一维胞腔构成的群给出（即 $pi_1(X)$ 与其一维胞腔的楔和的群结构相符），从而统一了第二章和第三章的计算方法。 第八章：纤维丛与陈类（选讲） 作为对前述理论的综合应用，本章简要介绍了纤维丛的基本概念，包括向量丛的定义和例子。我们将引入欧拉示性数（Euler Characteristic）$chi(X)$ 的定义，并展示其作为拓扑不变量的强大威力，特别是在紧致可定向曲面上的计算。最后，我们将简要介绍陈类（Chern Classes）的概念，说明它们如何利用上同调群来捕捉向量丛的几何信息，展示代数拓扑在现代几何学中的前沿应用。 读者对象与特色： 本书的深度和广度使其适合于数学专业本科高年级学生以及研究生作为代数拓扑学的入门教材。它强调从代数结构出发理解几何空间，注重理论的严格性和计算的实用性。书后附有大量的习题，旨在巩固读者对 Van Kampen 定理和 Mayer-Vietoris 序列的掌握，确保读者不仅理解概念，更能熟练运用工具解决实际问题。全书风格严谨，逻辑清晰，力求在抽象概念与具体实例之间找到完美的平衡点。

评分☆☆☆☆☆

这本书我断断续续也看了有段时间了，当初买它纯粹是因为对“高等几何”这个名字充满好奇，感觉它应该能带领我进入一个充满奇妙空间和严谨逻辑的世界。拿到书的那一刻，我确实被它的厚重感和封面设计所吸引，那种深邃的蓝色调和抽象的几何图形，仿佛预示着一场智力上的探险。我尤其喜欢它在开篇部分对于不同几何学分支的简要介绍，那种宏观的视角让我一下子理清了学习的脉络，不再像之前那样零散地接触一些概念。书中对一些基本公理和定理的阐述，我感觉写得非常清晰，即使我不是数学专业出身，也能理解其中的逻辑推导过程。我尝试着做了其中几个基础练习题，发现它确实能很好地巩固前一章节的内容，而且题目类型也很丰富，从简单的概念应用到稍微复杂一点的证明，都能照顾到。我注意到书中还提到了一些历史上的数学家和他们的贡献，这让我在学习枯燥的理论时，多了一份人文的温度，感觉整个学习过程不再是孤立的，而是与人类智慧的长河相连。总的来说，这本书给了我一个非常好的入门体验，我期待着它能继续带我深入探索更广阔的几何天地。

评分☆☆☆☆☆

说实话，这本书我入手也有一阵子了，不过最近才开始真正沉下心来仔细研读。我的背景相对比较薄弱，之前对高等几何的了解仅限于一些零碎的知识点，所以一开始读的时候，确实遇到了一些挑战。不过，这本书的优点就在于它并没有一开始就抛出一些晦涩难懂的概念，而是循序渐进地引入。我特别欣赏它在讲解抽象概念时，会尽量使用通俗易懂的语言，并且辅以一些直观的图示，这对我理解那些空间关系和变换非常有帮助。我记得有一次，我卡在一个关于射影几何的证明上，花了很长时间都找不到思路，后来翻到书后面提供的解题思路，恍然大悟。那种豁然开朗的感觉，真的非常棒。而且，这本书的习题设计也很用心，不仅仅是简单地重复概念，很多题目都需要思考和创新，甚至需要结合前面章节的知识点才能解决。虽然我还没能完全掌握所有内容，但每次解决一道难题，都让我对高等几何的理解更深一层，也更激发了我继续学习的动力。我个人觉得，这本书的价值不仅仅在于传递知识，更在于它能够教会我们如何思考，如何去探索未知。

评分☆☆☆☆☆

我对这本书的整体感觉是，它提供了一个相对系统和完整的知识框架，让我能够比较全面地认识高等几何的领域。我喜欢它在介绍每个分支时，都会强调其核心思想和研究方法，这有助于我建立一个宏观的认识，知道自己在学习什么，以及这些知识在整个数学体系中处于什么位置。书中对一些复杂定理的证明，虽然一开始看起来有些吓人，但仔细阅读后，会发现它的逻辑链条是很严谨的，而且作者通常会提供一些关键步骤的解释，这大大降低了理解的难度。我尝试着跟着书中的例子进行推导，并对比自己写的过程，发现了很多自己之前没有注意到的细节。我尤其喜欢它在介绍某些概念时，会穿插一些历史背景或者与其他数学领域的联系，这让整个学习过程变得更加生动有趣，不再是冰冷的公式和符号。虽然我还没有完全消化所有内容，但每次翻阅，都能从中获得新的启发，感觉自己在不断地拓展思维的边界。这本书就像一个引路人，为我打开了一扇通往高等几何的大门，让我看到了一个更加广阔和迷人的数学世界。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我最深刻的印象是它在讲解数学证明时的细致入微。我一直觉得，数学学习中最难的部分就在于理解和掌握证明的技巧，而这本书在这方面做得相当出色。它不仅仅给出了证明的步骤，更重要的是，它会解释每一个步骤背后的逻辑依据，以及为什么需要这样做。我有时候会主动去遮盖书上的证明过程，自己尝试推导，然后再对照书上的答案，这极大地锻炼了我的逻辑思维能力。我注意到书中有很多的例题，并且每道例题都配有详细的解答，这对我自学来说至关重要。我试着去解决那些稍有难度的习题，虽然不是每一次都能成功，但即使失败了，我也能从书中的解答中学习到解决问题的方法和思路。这本书的语言风格比较严谨，但并不晦涩，很多时候，作者会用一种引导性的方式，让你自己去发现证明的关键点，而不是直接告诉你答案。这种“授人以渔”的学习方式，让我觉得收获很大，也更加自信地去面对后续的学习挑战。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学怀有濃厚兴趣的爱好者，我一直在寻找一本能够系统性地梳理高等几何知识，并且能够指导我深入理解和练习的书籍。这本书的出现，可以说是恰逢其时。它最大的亮点在于其内容的深度和广度都达到了相当高的水平，既有对基础概念的扎实讲解，又不乏对前沿研究方向的触及。我特别欣赏书中对一些抽象概念的几何化解释，这种方式能够极大地帮助我建立直观的理解，摆脱纯粹的符号演算带来的枯燥感。我尝试着去解决一些书中相对复杂的习题，虽然过程充满了挑战，但每当成功地推导出答案，那种成就感是无与伦比的。而且，书中的习题选解部分，更是点睛之笔，它不仅仅提供了答案，更重要的是，它详细解析了多种解题思路和技巧，这对于我学习如何灵活运用数学工具，解决实际问题起到了至关重要的作用。我感觉这本书是一份宝贵的学习资源，它不仅提升了我的数学素养，更重要的是，它点燃了我对高等几何更深层次探索的渴望。

评分☆☆☆☆☆

“习题选解”部分又分成两方面，h其一与“学习指导”结合的习题，除了第二版教材中的习题以外，还适当地选了一些其他《高等几i何》教材中的习题；其二是《高等几何j学习指导与习题选解》的最后：解题指导与答案。

评分☆☆☆☆☆

3

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3

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习题

评分☆☆☆☆☆

第七章

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§2.2

评分☆☆☆☆☆

射影平面

评分☆☆☆☆☆

db综合练习题

评分☆☆☆☆☆

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