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出版社： 科学出版社

ISBN：9787030268655

商品编码：29458976916

出版时间：2010-03-01

书名	近世代数习题解答
定价	29.00
ISBN	9787030268655
出版社	科学出版社
作者
编号	1201223650
出版日期	2010-03-01
印刷日期	2015-09-01
版次	1
字数	277千字
页数	213

近世代数：从抽象到应用的数学之旅 近世代数，一个在数学殿堂中响亮而神秘的名字，它不仅仅是一系列严谨的符号和定义，更是对数与运算深刻本质的探索，是揭示宇宙秩序的逻辑之钥。它将我们从熟悉的算术世界中解放出来，带领我们进入一个更加广阔、更加抽象的代数结构领域。本书旨在引导读者踏上这段激动人心的数学旅程，从近世代数的核心概念出发，逐步深入其精妙的理论体系，并展示其在现代科学和技术领域的广泛应用。 第一部分：奠定基石——群论的抽象之美 近世代数之旅的起点，无疑是群。本书将从群的定义入手，清晰地阐述集合、二元运算、单位元、逆元等基本构成要素，并辅以大量生动形象的例子，帮助读者建立直观的理解。我们将探讨不同类型的群，例如有限群和无限群，交换群（阿贝尔群）和非交换群。通过对对称性、置换等实际问题的分析，读者将体会到群论在描述和理解对称性方面的强大力量。 接着，我们将深入研究群的内部结构。子群的概念将自然而然地引出，我们学习如何识别一个集合是否为一个群的子群，并探讨子群与整个群之间的关系。陪集的引入，为我们理解群的划分提供了新的视角，并最终导向拉格朗日定理这一群论中的里程碑式成果。拉格朗日定理不仅是一个优美的数学定理，更是分析有限群结构的重要工具。 我们将进一步探讨正规子群和商群（或称因子群）。正规子群的特殊性质使得我们可以构造出新的群——商群。这个过程仿佛是在原有的群结构上，以某种“等价关系”进行“打包”和“压缩”，从而得到一个更高层次的、更简洁的群。本书将详细阐述如何构造商群，并举例说明其在解决实际问题中的应用。 同态与同构是连接不同代数结构的桥梁。我们将深入理解群同态的含义，以及它如何保持群运算的结构。在此基础上，我们进一步探讨群同构，它意味着两个群在代数结构上是完全等价的，只是它们的元素名称可能不同。这将帮助我们认识到，表面上形态各异的数学对象，可能拥有相同的内在逻辑。同态基本定理将是这一部分的核心，它揭示了群同态与子群、商群之间深刻而普适的联系。 第二部分：拓展视野——环与域的代数世界 在掌握了群论的基础之后，我们将进入一个包含更丰富运算的代数世界——环。环引入了第二个二元运算，通常可以类比于加法和乘法。本书将详细定义环的性质，包括加法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律等。我们将从熟悉的整数环开始，逐步介绍矩阵环、多项式环等更加复杂的例子。 在环的理论中，理想扮演着类似群中子群的重要角色，但它具有更强的“吸收性”。我们将学习如何定义和识别理想，并探讨左理想、右理想和双边理想的区别。商环的概念同样源于理想，它使得我们能够从原有的环中构造出新的环。 域是环的一种特殊情况，其中非零元素都存在乘法逆元。域是我们熟悉的实数域、复数域等。本书将深入探讨域的性质，并介绍一些重要的域，如有限域。有限域在密码学、编码理论等领域有着不可替代的作用。 我们将继续探讨环和域之间的同态与同构，以及它们在代数结构上的传递性。这部分内容将为我们理解更高级的代数概念打下坚实的基础。 第三部分：结构与构造——深入探究代数体系 在初步了解了群、环、域的基本概念后，本书将进一步深入探究这些代数结构中的一些更高级、更精妙的概念。 模的概念是对群和环理论的进一步推广。一个模可以被看作是在一个环上定义的“向量空间”，但其“标量”的取值范围是一个环，而不是一个域。我们将学习模的定义、子模、模同态等基本概念，并理解模在描述线性代数中更一般的情况时的重要性。 域扩张是域论中的一个核心内容。我们将探讨如何从一个已有的域出发，构造出包含更多元素的新的域。域扩张的概念在解决代数方程、研究多项式的根等方面至关重要。我们将介绍一些重要的域扩张类型，如代数扩张和超越扩张，并探讨其基本性质。 伽罗瓦理论是近世代数中最具代表性的理论之一，它神奇地连接了域论和群论。本书将以一种清晰易懂的方式介绍伽罗瓦理论的基本思想：通过研究一个多项式的自同构群（即伽罗瓦群），来理解该多项式的根的结构。我们将探讨伽罗瓦群的性质，以及它与域扩张之间的对应关系。伽罗瓦理论不仅解决了“五次方程根式求解不可能”这一千古难题，更在数论、代数几何等领域产生了深远影响。 第四部分：应用之光——近世代数在现代科学中的足迹 近世代数并非仅仅是理论的空中楼阁，它的思想和工具早已渗透到现代科学和技术的各个角落，成为不可或缺的基石。本书的最后一部分将聚焦于近世代数的实际应用，让读者看到抽象的数学理论如何在现实世界中绽放光彩。 密码学： 有限域和群论是现代公钥密码学（如RSA算法）和对称密钥密码学（如AES算法）的核心数学工具。本书将简要介绍有限域在加密和解密过程中的作用，以及群的运算如何在密钥交换和签名验证中发挥关键作用。 编码理论： 为了在信息传输和存储过程中抵抗错误，我们需要强大的纠错编码。线性码、循环码等编码方案的构建和分析，都严重依赖于有限域和代数结构。我们将展示近世代数如何帮助我们设计高效的纠错码，保障信息的可靠性。 计算机科学： 布尔代数、逻辑门的设计与分析，以及算法的复杂性分析，都与近世代数的概念息息相关。例如，在计算机硬件设计中，布尔代数是基础；在算法理论中，群论可以用于分析某些算法的性能。 物理学： 量子力学中，对称性扮演着至关重要的角色，而群论正是描述和分析对称性的语言。基本粒子的分类、相互作用的描述，都离不开群论的工具。本书将略述群论在物理学中的一些应用，例如对称性在粒子物理中的作用。 其他领域： 除了上述领域，近世代数在化学（分子对称性）、生物学（基因序列分析）以及其他数学分支（如代数几何、数论）中也扮演着重要角色。 学习建议： 本书的编写力求理论严谨与应用导向相结合。在学习过程中，建议读者： 1. 注重概念理解： 近世代数中的概念相对抽象，务必花时间深入理解每一个定义和定理的内涵。 2. 勤于练习： 大量的习题是掌握近世代数的必经之路。本书中的习题旨在帮助读者巩固所学知识，并培养独立解决问题的能力。 3. 联系实际： 在学习理论的同时，思考其在应用领域的体现，这将极大地增强学习的兴趣和动力。 4. 循序渐进： 近世代数是一个层层递进的学科，确保在掌握基础概念后再深入学习更高级的内容。 本书是一扇通往近世代数奇妙世界的窗口，希望它能激发读者对数学的热爱，培养严谨的逻辑思维，并为读者在未来的学习和研究中打下坚实的代数基础。让我们一起，在近世代数这片广阔的数学海洋中，畅游并探索其中的无限奥秘！

评分☆☆☆☆☆

不得不提的是，这本书在知识的系统性和覆盖面上展现出的野心。它不仅仅是零散习题的堆砌，更像是一个精心构建的知识迷宫，每一个练习都是通往下一个更高阶概念的阶梯。我观察到它似乎涵盖了近世代数中几个核心分支的广阔领域，从群论的基础到更复杂的环与域结构，都有所涉猎。这种全面的覆盖意味着读者可以将其作为一份长期的学习伴侣，随着自己理解的深入，不断地从不同的角度去挑战和挖掘书中的内容。一本好的参考书，其价值在于它能伴随学习者的成长，而不是学完一遍就束之高阁。这本书所展现出的这种“历久弥新”的潜力，是其最吸引我的地方之一。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本书后，我立刻对它在理论深度上的承诺产生了好奇。从几处随机翻到的例题排布来看，它似乎不满足于简单的概念演示，而是试图引导读者思考更深层次的结构性问题。这种对“为什么”的追问，往往是区分优秀参考书和普通习题集的关键。我特别欣赏那种在讲解过程中，不轻易放过任何一个逻辑跳跃点的做法，这能有效避免读者在自学过程中产生“我好像懂了，但其实没完全懂”的错觉。它给人的感觉是，每一个公式的推导、每一个定理的证明，都是经过深思熟虑的，力求清晰而无懈可击。对于希望通过大量练习来巩固和深化对抽象代数理解的钻研者来说，这本书的内在逻辑密度和广度让人充满期待。

评分☆☆☆☆☆

从一个长期在学术界摸爬滚打的人的角度来看，选择一本好的习题解析类书籍，最重要的考量之一是其对“解题思路”的剖析深度。很多习题集只是给出了正确的答案，但这对于提高解题能力帮助有限。我期待这本书在解答部分，能够超越简单的步骤展示，真正揭示出为什么选择这种方法，这种方法背后的数学直觉是什么。如果它能在解答中体现出对问题的多角度审视，例如“如果从另一个角度看，我们还能得到什么信息”，那它就超越了工具书的范畴，上升为一种思维训练的教材。这种对解题哲学的探讨，才是真正能提升一个人数学素养的关键，这也是我对此书抱持最高期待的地方。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和设计实在令人眼前一亮，那种朴实中透着严谨的气质，让人感觉作者在内容打磨上花了不少心思。装帧的纸张手感很棒，拿在手里沉甸甸的，不是那种轻飘飘的廉价感。细节之处，比如章节标题的字体选择和间距的把握，都体现了一种对阅读体验的尊重。虽然我还没深入研读里面的具体内容，但光是翻阅的这个过程，就觉得是一次愉快的学术接触。书脊的装订很结实，让人放心大胆地翻阅和标记，不用担心书散架。这样的书籍在书架上也是一道风景线，体现了出版方对学术著作应有的品味和标准。对于长期和数学公式打交道的人来说，这种视觉上的舒适度和触觉上的满足感，是提升学习效率的潜意识加分项，非常推荐那些注重书籍实体感受的读者。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格，从目录和一些章节的概述来看，流露出一种沉稳而内敛的学术腔调。它不像某些教材那样试图用过于“活泼”的口吻来拉近与读者的距离，而是保持了一种恰到好处的距离感，这种方式更适合需要精确理解抽象概念的学科。我注意到它在一些关键概念的引入上，似乎采用了循序渐进的逻辑铺陈，这对于初学者来说至关重要，避免了信息过载带来的挫败感。那种老派数学著作特有的，对术语定义的一丝不苟，让人感到可靠。这种风格的优势在于，它能帮助读者建立起坚实的理论基础，而不是仅仅停留在表面的理解上。对于渴望真正掌握这门学科精髓的读者而言，这种教科书式的严谨是无可替代的基石。