高中数学竞赛课程讲座 初等代数 浙江大学出版社 奥数奥赛培优教材 详细讲解基本概念基本 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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空 编，空 译

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出版社： 浙江大学出版社

ISBN：9787308118514

商品编码：25893903012

丛书名： 高中数学竞赛课程讲座 初等代数

开本：16开

出版时间：2013-08-01

 

基本信息

书名:初等代数(高中数学竞赛课程讲座)

：48.00元

出版社：浙江大学出版社

出版日期：2013年9月1日

ISBN：9787308118514

字数：525 000

页码：409

版次：第1版

装帧：平装

开本：16

 

编辑推荐

按照高中数学竞赛大纲要求，详细讲解了初等代数的基本概念、基本知识和基本的解题方法、解题技能，旨在提高学生的解决问题和分析问题的能力。

内容提要

中等数学编辑部主编的《初等代数(高中数学竞赛课程讲座)》收集了近十年来发表在《中等数学》杂志上初等代数的文章。内容包括集合、函数、数列、三角、不等式、排列组合等，按照高中数学竞赛大纲要求，详细讲解了初等代数的基本概念、基本知识和基本的解题方法、解题技能，旨在提高学生的解决问题和分析问题的能力。

目录

一、集合
数学竞赛中的集合问题
二、函数及性质
(一)运用函数单调性解竞赛题
(二)用单调函数一个性质解竞赛题
(三)与二次函数性质有关的竞赛题
(四)抽象函数问题的解法
三、值问题
(一)求双层复合值的解题策略
(二)复合值问题的解法
(三)集合中元素个数的值问题
(四)多元函数值问题解法举例
(五)整值问题
(六)数学竞赛中的条件值问题
(七)解分式值问题的代换策略
(八)轮换对称式值求法
(九)多元对称式逆向值求法
(十)多元对称式“非常规值”的探讨
四、不动点原理
用不动点法解函数、数列等相关问题
五、数列及应用
(一)分组数列及其应用
(二)数列的凸性及其应用
六、递推数列
(一)从构造数列递推计算到牛顿等幂和公式
(二)递推方法
(三)含无理递推式的数列问题化归策略
(四)求含无理递推式数列通项的换元技巧
(五)非线性递归数列化归为线性递归数列的常见技巧
(六)构造辅助数列用递推法(式)解题
七、数列与不等式
(一)用加强命题法证明数列不等式
(二)利用分拆与合项证明数列不等式问题
八、三角函数及应用
(一)用三角代换解代数问题
(二)用三角代换解竞赛题
(三)三角形中的不等关系
(四)利用三角函数证明平面几何题
九、不等式解法
(一)分式不等式的解题策略
(二)含值竞赛题的求解策略
(三)含有参数的不等式问题
(四)数学竞赛中的解不等式问题
十、不等式证明方法
(一)巧引参数证明不等式
(二)用∞/∑/k=0a1qk=a1/1-q (︱q︱<1)解一类竞赛题
(三)解法是怎样找到的
(四)数学奥林匹克中的不等式问题
(五)用换元法证明不等式
(六)巧用齐次化与非齐次化的思想解不等式赛题
(七)构造配对式证明不等式
(八)应用阿贝尔变换解竞赛题
(九)用函数的凸凹性证明不等式
(十)一类分式不等式的一种统一证法
(十一)一些不等式赛题的证明方法
十一、不等式特殊证法
(一)竞赛中不等式证明的一些典型方法
(二)用导数限定法证明不等式
(三)利用切线方程证明不等式
(四)两种拆分方法在解不等式问题中的应用
十二、条件不等式证法
(一)例谈含“abc=1”的条件不等式的证明
(二)条件为ab+bc+ca=l的一类不等式的证明
十三、重要不等式应用
(一)嵌入不等式——数学竞赛命题的一个宝藏
(二)从几何角度证明代数不等式
(三)用schur分拆方法证明不等式竞赛题
(四)几个重要不等式与不等式的证明
(五)柯西不等式的证明与应用
(六)应用切比雪夫不等式解题
十四、复数与多项式
(一)复数域上的方程
(二)应用一元三次方程韦达定理解题
(三)浅谈应用多项式的拉格朗日插值公式解题
十五、构造法
(一)构造法在解数学竞赛题中的运用
(二)构造函数解题
十六、局部调整与反证法
(一)解数学竞赛题的局部调整策略
(二)解题方法的进退与互化
(三)反证法中的“特殊化”
(四)反证法在数学竞赛中的应用

 

好的，这是为您量身定制的、不包含您所提供图书内容的图书简介，旨在详细介绍一本聚焦于高中数学竞赛中初等代数领域的其他优秀教材的特点。 --- 专题突破：高中数学竞赛精选——初等代数专题解析与高阶思维训练 本书导语： 数学竞赛，尤其是高中阶段的奥林匹克竞赛，是检验学生数学素养、逻辑推理能力和创新思维的绝佳平台。在众多竞赛模块中，初等代数以其深厚的理论基础和灵活的解题技巧，成为区分高水平选手的关键领域。本书并非对基础概念的全面梳理，而是立足于现有扎实基础之上，直击竞赛的“痛点”与“难点”，旨在为有志于冲击省级乃至国家级数学竞赛的学生提供一套系统、深入、富有挑战性的进阶学习方案。我们假定读者已对高中数学的常规知识点（如函数、三角、数列基础）有清晰的认知，本书将重点聚焦于那些在竞赛中反复出现、对思维深度要求极高的初等代数分支。 核心内容与结构： 本书围绕“精深、实用、高效”的原则设计内容体系，共划分为八大核心专题，每一个专题都包含了理论的提炼、典型例题的深度剖析以及大量变式训练。 第一部分：数论的代数化应用与整除性原理的深入挖掘 本部分将超越小学和初中阶段对整除性的初步认识，深入探讨丢番图方程在初等代数竞赛中的应用模型。我们将详细分析如何利用模运算（Modular Arithmetic）的性质来判断方程的解的存在性，尤其关注二次同余在求解特定类型丢番图方程时的威力。内容涵盖费马小定理（Fermat's Little Theorem）和欧拉定理（Euler's Totient Theorem）的实际应用，并辅以大量涉及最大公约数与最小公倍数的高级性质，如贝祖等式（Bézout's Identity）在不定方程组中的巧妙转化。重点解析如“求满足特定条件的最小正整数解”这类构造性问题。 第二部分：代数式变形的艺术——不等式理论的高级运用 不等式是初等代数竞赛的灵魂之一。本书不着重于基本不等式（AM-GM, Cauchy-Schwarz）的证明，而是将其作为工具，着重讲解柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）在多维空间和非标准形式下的构造性应用。我们将详细阐述魏登霍费尔不等式（Wierdstad-Hoeffding Inequality）的初等形式及其在涉及对称式或轮换式中的应用。此外，针对柯西-施瓦茨不等式在代数表达式极值问题中的“黑箱”应用技巧，提供反向推导和边界条件分析的方法论。尤其深入探讨 Schur 不等式的三阶、四阶形式及其在证明根式或分数表达式有界性时的爆发力。 第三部分：多项式方程与代数基础理论的融合 本章着重于代数方程的根与系数的关系（Vieta's Formulas）在竞赛中的深度扩展。我们将解析如何利用 Vieta 定理构造反向证明或设计特殊辅助多项式来简化复杂方程组。深入研究多项式的有理根定理、根的分布性，以及如何运用函数的单调性来确定高次多项式的实根个数。特别关注对偶多项式（Reciprocal Polynomials）的性质及其在求解特定对称方程中的快速解法。此外，本书将引入卡尔达诺公式的初等代数思想启示，用于分析三次方程的根的性质，而非直接求解。 第四部分：函数方程的系统性解法与不动点分析 对于函数方程，本书提供一套结构化的解题框架，区别于传统的“试值法”。我们系统梳理柯西函数方程在有界性、连续性约束下的唯一解。重点讲解迭代法与不动点的概念，如何通过构造函数序列来判断解的收敛性或确定特定形式函数方程的解。内容包括如何利用函数的奇偶性、周期性和单调性来剥离未知项，并详细解析如何将三角函数或指数函数融入代数函数方程的求解过程。 第五部分：初等代数中的组合思想——鸽笼原理与容斥原理的代数载体 虽然组合数学是一个独立领域，但初等代数中常常借用其思想来处理整数问题。本部分聚焦于如何将鸽笼原理（Pigeonhole Principle）应用于证明关于整数序列或多项式取值的存在性。例如，证明存在无穷多组满足特定条件的整数对。同时，详细解析容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle）在处理“至少”或“没有”型代数约束问题时的精确建模过程。 第六部分：数域扩张与二次互反律的启示 本部分将触及初等代数向更深层次代数结构过渡的边缘。我们将探讨有理数域上的二次域扩张对简单代数式求根的影响，重点介绍二次互反律的初等思想在判断特定方程是否有整数解时的启发作用。虽然不深入环论，但会解析如何通过“平方剩余”的概念来快速排除无解情况。 第七部分：代数表达式的构造性证明与反演技巧 本章专注于竞赛中常见的“证明某表达式为完全平方数”或“某分数可以化简”这类问题。我们将重点教授配方法的高级应用，特别是拉格朗日四平方和定理在代数表达式分解中的直觉引导。同时，深入讲解万能代换法（如三角代换、指数代换）在处理复杂根式表达式或含有绝对值的代数式时的流程化处理。 第八部分：历年经典竞赛真题精选与解题策略 本书最后一部分精选了近十年全国及国际知名数学竞赛中涉及初等代数的压轴题，并提供“多角度解析”：一个从最常规方法入手，一个从竞赛思维（如对称性、特殊值法）入手，力求让读者理解解题路径的构建过程，而非仅仅记忆结论。 本书特色总结： 面向高阶： 摒弃基础概念重复讲解，直击奥赛核心考点。 思维导向： 强调解题思路的逻辑链条构建，而非繁琐的计算。 专题深入： 针对数论、不等式、多项式等核心板块进行饱和式训练。 本书是为那些已经掌握了高中代数基础，渴望在数学竞赛中取得突破的勤奋学子量身定制的进阶“武器库”。 ---

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的最大收获，是它重塑了我对“基础”二字的理解。过去，我以为基础就是课本上的那些基础公式和定理。但读完这本书后，我才明白，真正的基础是隐藏在这些公式背后的原理和证明逻辑。它没有浪费篇幅在那些已经被无数资料重复过的简单练习上，而是将重点放在了“变式”和“深化”上。比如，它对“因式分解”这一看似简单的操作，探讨了从复数域到更高维度的推广可能性，这种广阔的视野，极大地拓宽了我对代数工具箱的认识。这本书更像是一本工具书和一本哲学思考录的结合体，它不仅仅传授知识，更是在培养一种面对未知数学问题的内在勇气和探索精神，它要求读者以一种近乎数学家的严密和浪漫去对待每一条公式的诞生。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和装帧，虽然不如一些商业畅销书那样追求视觉冲击力，但它散发着一种经久耐看的质感。大量的数学符号、公式推导过程被清晰地组织在版面上，很少出现因为排版混乱而导致阅读卡顿的情况。特别是它对于例题和习题的选取，非常有针对性。它似乎深谙奥赛命题的“套路”，总能巧妙地将看似不相关的知识点串联起来，形成一个完整的考察体系。举例来说，某个关于函数奇偶性的章节后面，紧接着的习题就可能涉及到数列求和与积分的初步思想的结合，这种跨领域的融合性训练，是普通教科书难以企及的。通过这本书的训练，我发现自己处理综合性试题时的信心倍增，因为它教会了我如何在混乱中寻找秩序，如何在看似无解的难题中识别出隐藏的代数结构。

评分☆☆☆☆☆

我必须承认，这本书的阅读体验是相当硬核的，它不像市面上很多教辅资料那样，用花哨的图表和简化到近乎肤浅的语言来迎合读者。恰恰相反，它保持了一种非常纯粹的学术风格，对每一个数学定义和命题的阐述都力求滴水不漏，逻辑链条紧密得让人几乎找不到可以跳跃思考的空间。对于那种渴望深入挖掘数学本质的“学霸”型读者而言，这简直是宝藏。我记得有一次我被一道关于不等式选讲的题目卡住了，翻遍了手头的其他资料都不得要领，最后偶然翻到这本书中关于“基本不等式”的拓展章节，作者竟然从排序不等式和柯西-施瓦茨不等式的角度进行了多维度的探讨，瞬间打通了我思路中的所有堵塞点。这种层层递进、不断拓宽视野的叙事方式，极大地提高了我的数学思维的深度和广度，它不是在教你解题技巧，而是在雕刻你的数学直觉。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计挺有意思的，简约而不失专业感，那种略带复古的字体搭配深色背景，让人一眼就能感受到它蕴含的学术气息。我当初选择它，很大程度上是被“初等代数”这几个字吸引的，毕竟在高中阶段，代数的基础扎实与否，直接决定了你在后期面对复杂问题时的应变能力。我印象最深的是它对那些看似基础却极易被忽略的定理的剖析，比如数系扩充的逻辑推导，作者没有直接丢出结论，而是用了大量的篇幅来构建前置知识体系，仿佛在带领读者重新经历数学家的思考过程。这种“追本溯源”式的讲解，对于那些习惯了死记硬背公式的学生来说，绝对是一种颠覆性的体验。它不会告诉你“这样做”就对了，而是会告诉你“为什么”要这样做，这种深层次的理解，是刷再多题也无法获得的。特别是对于竞赛层次的数学，对概念的精确掌握和灵活运用才是王道，这本书在这方面做得尤为出色，它就像一位耐心且严谨的引路人，确保你每一步都走得踏实。

评分☆☆☆☆☆

说实话，这本书的深度对于普通高一学生来说，可能需要一些适应期。我刚开始翻阅时，感觉就像是直接跳到了大学数学预备课程的某个章节。它对一些高级技巧的引入非常自然，毫不拖泥带水，比如对多项式根的性质分析，它直接引用了伽罗瓦理论中的一些初步思想进行渗透，虽然没有深入，但足以让有心人感受到数学美学的宏大。我欣赏它敢于挑战读者的知识储备，而不是一味地迎合“快餐式”学习的潮流。这种“严谨到近乎苛刻”的写作态度，反而培养了一种非常宝贵的学习习惯：遇到不明白的地方，必须停下来，回溯前置概念，直到完全理解为止。这种自我修正和深度探究的过程，远比单纯地记住一堆公式有效得多，它让“会做”变成了“真懂”。