內容簡介

　　《數值分析與算法（第2版）/清華大學計算機係列教材》是針對“數值分析”、“計算方法”、“數值分析與算法”等課程編寫的教材，主要麵嚮理工科大學信息科學與技術各專業，以及信息與計算科學專業的本科生。本書內容包括數值計算基礎、非綫性方程的數值解法、綫性方程組的直接解法與迭代解法、矩陣特徵值與特徵嚮量的計算、數值逼近與插值、數值積分方法、常微分方程初值問題的解法，以及數值算法與應用的知識。本書涵蓋數值分析、矩陣計算領域zui基本、zui常用的一些知識與方法，而且在算法及應用方麵增加瞭一些較新的內容。在敘述上既注重理論的嚴謹性，又強調方法的應用背景、算法設計，以及不同方法的對比。為瞭增加實用性與可擴展性，每章配備瞭應用實例、算法背後的曆史、評述等子欄目，書末附有算法、術語索引。在附錄中還包括MATLAB軟件的簡介，便於讀者快速掌握並進行編程實驗。
　　本書適閤作為高年級本科生或研究生的教材，也可供從事科學與工程計算的科研人員參考。

作者簡介

　　喻文健，清華大學計算機係副教授。1999年、2003年先後畢業於清華大學計算機係，獲得工學學士與博士學位，隨後留校任教。2005年9月至2008年1月，多次赴美國加州大學聖迭戈分校（UC San Diego）計算機係擔任訪問學者。目前為IEEE高級會員、中國計算機學會“計算機輔助設計與圖形學”專業委員會委員，擔任多個國際、國內學術期刊的編委及論文評審專傢。主要從事數值算法與軟件、集成電路與係統的計算機輔助設計等方麵的教學與科研工作，發錶SCI檢索的國際期刊論文30多篇。2014年由Springer公司齣版專著《Advanced Field-Solver Techniques for RC Extraction of Integrated Circuits》，此外齣版譯著多本。獲2005年“全國優秀博士論文”提名，2010年清華大學科研成果推廣應用效益奬，2014年獲批國傢自然科學基金優秀青年基金項目。

目錄

第1章數值計算導論1

1.1概述1

1.1.1數值計算與數值算法1

1.1.2數值計算的問題與策略2

1.1.3數值計算軟件4

1.2誤差分析基礎6

1.2.1數值計算的近似6

1.2.2誤差及其分類7

1.2.3問題的敏感性與數據傳遞誤差估算11

1.2.4算法的穩定性13

1.3計算機浮點數係統與捨入誤差15

1.3.1計算機浮點數係統15

1.3.2捨入與機器精度18

1.3.3浮點運算的捨入誤差19

1.3.4抵消現象21

1.4保證數值計算的準確性22

1.4.1減少捨入誤差的幾條建議22

1.4.2影響結果準確性的主要因素24

評注25

算法背後的曆史： 浮點運算的先驅——威廉·卡亨26

練習題28

上機題29

第2章非綫性方程求根30

2.1引言30

2.1.1非綫性方程的解30

2.1.2問題的敏感性31

2.2二分法31

2.2.1方法原理31

2.2.2算法穩定性和結果準確度33

2.3不動點迭代法35

2.3.1基本原理35

2.3.2全局收斂的充分條件36

2.3.3局部收斂性38

2.3.4穩定性與收斂階38

2.4牛頓迭代法40

2.4.1方法原理40

2.4.2重根的情況42

2.4.3判停準則43

2.4.4牛頓法的問題43

2.5割綫法與拋物綫法44

2.5.1割綫法44

2.5.2拋物綫法46

2.6實用的方程求根技術46

2.6.1阻尼牛頓法46

2.6.2多項式方程求根47

2.6.3通用求根算法zeroin48

應用實例： 城市水管應埋於地下多深？50

2.7非綫性方程組和有關數值軟件52

2.7.1非綫性方程組52

2.7.2非綫性方程求根的相關軟件54

評述55

算法背後的曆史： 牛頓與牛頓法56

練習題57

上機題58

第3章綫性方程組的直接解法59

3.1基本概念與問題的敏感性59

3.1.1綫性代數中的有關概念59

3.1.2嚮量範數與矩陣範數62

3.1.3問題的敏感性與矩陣條件數65

3.2高斯消去法69

3.2.1基本的高斯消去法69

3.2.2高斯�蒼嫉畢�去法72

3.3矩陣的LU分解75

3.3.1高斯消去過程的矩陣形式75

3.3.2矩陣的直接LU分解算法79

3.3.3LU分解的用途82

3.4選主元技術與算法穩定性83

3.4.1為什麼要選主元83

3.4.2使用部分主元技術的LU分解85

3.4.3其他選主元技術89

3.4.4算法的穩定性90

3.5對稱正定矩陣與帶狀矩陣的解法91

3.5.1對稱正定矩陣的Cholesky分解91

3.5.2帶狀綫性方程組的解法95

應用實例: 穩態電路的求解97

3.6有關稀疏綫性方程組的實用技術99

3.6.1稀疏矩陣基本概念99

3.6.2MATLAB中的相關功能102

3.7有關數值軟件104

評述106

算法背後的曆史: 威爾金森與數值分析107

練習題108

上機題110

第4章綫性方程組的迭代解法112

4.1迭代解法的基本理論112

4.1.1基本概念112

4.1.21階定常迭代法的收斂性113

4.1.3收斂階與收斂速度116

4.2經典迭代法118

4.2.1雅可比迭代法118

4.2.2高斯�踩�德爾迭代法119

4.2.3逐次超鬆弛迭代法121

4.2.4三種迭代法的收斂條件123

應用實例： 桁架結構的應力分析126

4.3共軛梯度法簡介128

4.3.1最速下降法128

4.3.2共軛梯度法131

4.4各種方法的比較135

4.4.1迭代法之間的比較135

4.4.2直接法與迭代法的對比138

4.5有關數值軟件139

評述140

算法背後的曆史： 雅可比142

練習題143

上機題144

第5章矩陣特徵值計算146

5.1基本概念與特徵值分布146

5.1.1基本概念與性質146

5.1.2特徵值分布範圍的估計150

5.2冪法與反冪法152

5.2.1冪法152

5.2.2加速收斂的方法156

5.2.3反冪法158

應用實例： Google的PageRank算法160

5.3矩陣的正交三角化162

5.3.1Householder變換163

5.3.2Givens鏇轉變換165

5.3.3矩陣的QR分解166

5.4所有特徵值的計算與QR算法170

5.4.1收縮技術170

5.4.2基本QR算法171

5.4.3實用QR算法的有關技術173

5.5有關數值軟件177

評述178

算法背後的曆史： A.Householder與矩陣分解179

練習題180

上機題183

第6章函數逼近與函數插值185

6.1函數逼近的基本概念185

6.1.1函數空間185

6.1.2函數逼近的不同類型188

6.2連續函數的最佳平方逼近190

6.2.1一般的法方程方法190

6.2.2用正交函數族進行逼近194

6.3麯綫擬閤的最小二乘法197

6.3.1問題的矩陣形式與法方程法198

6.3.2用正交化方法求解最小二乘問題202

應用實例: 原子彈爆炸的能量估計206

6.4函數插值與拉格朗日插值法207

6.4.1插值的基本概念207

6.4.2拉格朗日插值法208

6.4.3多項式插值的誤差估計211

6.5牛頓插值法213

6.5.1基本思想213

6.5.2差商與牛頓插值公式214

6.6分段多項式插值219

6.6.1高次多項式插值的病態性質219

6.6.2分段綫性插值220

6.6.3分段埃爾米特插值221

6.6.4保形分段插值224

6.7樣條插值函數226

6.7.1三次樣條插值226

6.7.2三次樣條插值函數的構造227

6.7.3B�慚�條函數229

評述232

算法背後的曆史: 拉格朗日與插值法233

練習題234

上機題236

第7章數值積分與數值微分238

7.1數值積分概論238

7.1.1基本思想238

7.1.2求積公式的積分餘項與代數精度240

7.1.3求積公式的收斂性與穩定性241

7.2牛頓�部綠廝構�式242

7.2.1柯特斯係數與幾個低階公式242

7.2.2牛頓�部綠廝構�式的代數精度244

7.2.3幾個低階公式的餘項245

7.3復閤求積公式246

7.3.1復閤梯形公式246

7.3.2復閤辛普森公式247

7.3.3步長摺半的復閤求積公式計算249

7.4Romberg積分算法250

7.4.1復閤梯形公式的餘項展開式250

7.4.2理查森外推法251

7.4.3Romberg算法252

7.5自適應積分算法254

7.5.1自適應積分的原理255

7.5.2一個具體的自適應積分算法255

7.6高斯求積公式258

7.6.1一般理論258

7.6.2高斯�怖杖玫祿�分公式及其他261

應用實例： 探月衛星軌道長度計算263

7.7數值微分264

7.7.1基本的有限差分公式265

7.7.2插值型求導公式266

7.7.3數值微分的外推算法268

評述269

算法背後的曆史： “數學王子”高斯271

練習題272

上機題273

第8章常微分方程初值問題的解法275

8.1引言275

8.1.1問題分類與可解性275

8.1.2問題的敏感性276

8.2簡單的數值解法與有關概念278

8.2.1歐拉法278

8.2.2數值解法的穩定性與準確度280

8.2.3嚮後歐拉法與梯形法282

8.3龍格�部饉�方法284

8.3.1基本思想284

8.3.2幾種顯式R�睰公式285

8.3.3顯式R�睰公式的穩定性與收斂性289

8.3.4自動變步長的R�睰方法290

8.4多步法292

8.4.1多步法公式的推導292

8.4.2Adams公式295

8.4.3更多討論298

8.5常微分方程組與實用技術299

8.5.11階常微分方程組299

8.5.2MATLAB中的實用ODE求解器302

應用實例: 洛倫茲吸引子306

評述308

算法背後的曆史: “數學傢之英雄”歐拉309

練習題310

上機題312

附錄A有關數學記號的說明314

附錄BMATLAB簡介316

附錄C部分習題答案336

算法索引339

術語索引341

參考文獻349第1章數值計算導論1

1.1概述1

1.1.1數值計算與數值算法1

1.1.2數值計算的問題與策略2

1.1.3數值計算軟件4

1.2誤差分析基礎6

1.2.1數值計算的近似6

1.2.2誤差及其分類7

1.2.3問題的敏感性與數據傳遞誤差估算11

1.2.4算法的穩定性14

1.3計算機浮點數係統與捨入誤差15

1.3.1計算機浮點數係統16

1.3.2捨入與機器精度18

1.3.3�掣〉閽慫愕納崛胛蟛�20

1.3.4抵消現象21

1.4保證數值計算的準確性22

1.4.1減少捨入誤差的幾條建議22

1.4.2影響結果準確性的主要因素25

評注26

算法背後的曆史： 浮點運算的先驅——威廉·卡亨27

練習題28

上機題29

第2章非綫性方程求根31

2.1引言31

2.1.1非綫性方程的解31

2.1.2問題的敏感性32

2.2二分法32

2.2.1方法原理32

2.2.2算法穩定性和結果準確度34

2.3不動點迭代法36

2.3.1基本原理36

2.3.2全局收斂的充分條件37

2.3.3局部收斂性38

2.3.4穩定性與收斂階39

2.4牛頓迭代法41

2.4.1方法原理41

2.4.2重根的情況43

數值分析與算法(第2版)目錄2.4.3判停準則44

2.4.4牛頓法的問題44

2.5割綫法與拋物綫法45

2.5.1割綫法45

2.5.2�撐孜鏘叻�46

2.6實用的方程求根技術47

2.6.1阻尼牛頓法47

2.6.2�扯嘞釷椒匠糖蟾�48

2.6.3�懲ㄓ們蟾�算法zeroin48

應用實例： 城市水管應埋於地下多深？51

2.7非綫性方程組和有關數值軟件52

2.7.1�撤竅噝苑匠套�52

2.7.2非綫性方程求根的相關軟件54

評述55

算法背後的曆史： 牛頓與牛頓法56

練習題57

上機題58

第3章綫性方程組的直接解法60

3.1基本概念與問題的敏感性60

3.1.1綫性代數中的有關概念60

3.1.2嚮量範數與矩陣範數63

3.1.3問題的敏感性與矩陣條件數66

3.2高斯消去法70

3.2.1基本的高斯消去法70

3.2.2�掣咚躬踩艫畢�去法72

3.3矩陣的LU分解76

3.3.1高斯消去過程的矩陣形式76

3.3.2矩陣的直接LU分解算法80

3.3.3LU分解的用途83

3.4選主元技術與算法穩定性84

3.4.1為什麼要選主元84

3.4.2使用部分主元技術的LU分解86

3.4.3其他選主元技術90

3.4.4算法的穩定性91

3.5對稱正定矩陣與帶狀矩陣的解法92

3.5.1對稱正定矩陣的Cholesky分解92

3.5.2帶狀綫性方程組的解法96

應用實例: 穩態電路的求解98

3.6�秤泄叵∈柘噝苑匠套櫚氖滌眉際�99

3.6.1稀疏矩陣基本概念100

3.6.2MATLAB中的相關功能102

3.7有關數值軟件105

評述107

算法背後的曆史: 威爾金森與數值分析108

練習題109

上機題111

第4章綫性方程組的迭代解法113

4.1迭代解法的基本理論113

4.1.1基本概念113

4.1.21階定常迭代法的收斂性114

4.1.3收斂階與收斂速度117

4.2經典迭代法119

4.2.1雅可比迭代法119

4.2.2高斯�踩�德爾迭代法120

4.2.3逐次超鬆弛迭代法122

4.2.4三種迭代法的收斂條件124

應用實例： 桁架結構的應力分析127

4.3共軛梯度法129

4.3.1最速下降法129

4.3.2�徹查釤荻確�132

4.4各種方法的比較135

4.4.1迭代法之間的比較136

4.4.2直接法與迭代法的對比139

4.5有關數值軟件140

評述141

算法背後的曆史： 雅可比142

練習題143

上機題145

第5章矩陣特徵值計算147

5.1基本概念與特徵值分布147

5.1.1基本概念與性質147

5.1.2特徵值分布範圍的估計151

5.2冪法與反冪法153

5.2.1冪法153

5.2.2加速收斂的方法157

5.2.3反冪法159

應用實例： Google的PageRank算法161

5.3矩陣的正交三角化163

5.3.1Householder變換164

5.3.2Givens鏇轉變換166

5.3.3矩陣的QR分解167

5.4所有特徵值的計算與QR算法171

5.4.1收縮技術171

5.4.2基本QR算法172

5.4.3�呈滌肣R算法的有關技術174

5.5有關數值軟件178

評述179

算法背後的曆史： A.Householder與矩陣分解180

練習題181

上機題184

第6章函數逼近與函數插值186

6.1函數逼近的基本概念186

6.1.1函數空間186

6.1.2函數逼近的不同類型189

6.2連續函數的最佳平方逼近191

6.2.1一般的法方程方法191

6.2.2用正交函數族進行逼近195

6.3麯綫擬閤的最小二乘法198

6.3.1問題的矩陣形式與法方程法199

6.3.2用正交化方法求解最小二乘問題203

應用實例: 原子彈爆炸的能量估計206

6.4函數插值與拉格朗日插值法208

6.4.1插值的基本概念208

6.4.2拉格朗日插值法209

6.4.3多項式插值的誤差估計212

6.5牛頓插值法214

6.5.1基本思想214

6.5.2差商與牛頓插值公式215

6.6分段多項式插值220

6.6.1高次多項式插值的病態性質220

6.6.2分段綫性插值221

6.6.3分段埃爾米特插值222

6.6.4保形分段插值225

6.7樣條插值函數226

6.7.1三次樣條插值227

6.7.2三次樣條插值函數的構造228

6.7.3�矪�慚�條函數231

評述232

算法背後的曆史: 拉格朗日與插值法234

練習題235

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