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商品参数

奥林匹克数学方法与解题研究
	曾用价	78.00
	出版社	科学出版社
	版次	1
	出版时间	2005年07月
	开本	16
	作者	赵小云
	装帧	平装
	页数	288
	字数	363000
	ISBN编码	9787030147318

目录
目录
上篇 原理和方法篇
第*章 数学奥林匹克的历史和现状 3
1. 数学奥林匹克简史 3
1.1 数学奥林匹克起源 3
1.2 前苏联及俄罗斯数学奥林匹克 4
1.3 国际数学奥林匹克 4
1.4 美国数学奥林匹克 5
1.5 中国的中学数学奥林匹克 5
2. 中国在IMO中的崛起 6
3. IMO的发展与未来 7
第二章 奥林匹克数学及其特征 9
1. 奥林匹克数学是高等数学与初等数学之间的数学 9
2. 奥林匹克数学是现代数学与中学数学之间的桥梁 15
3. 灵活性和创造性是奥林匹克数学的精髓 17
第三章 数学奥林匹克在数学教育中的地位和作用 28
1. 有益于人才的发现和培养 28
2. 激发了青少年学习数学的兴趣，具有开发智力和创造力的深远意义 29
3. 促进和推动了数学教育的改革和发展 30
3.1 促进了中学数学教师的知识更新，是提高数学教师业务素质的重要途径 30
3.2 促进了数学第二课堂的开展，有利于发展学生个性 30
3.3 促进了中学数学课程的改革和现代化 31
3.4 对中学数学教学改革具有导向和推动作用 32
4. 丰富了初等数学研究的内容和数学解题理论 32
第四章 奥林匹克数学的内容和方法 66
1. 多项式问题 66
1.1 基本内容 66
1.2 方法评析 69
2. 数列与递归 73
2.1 基本内容 73
2.2 方法评析 74
3. 函数方程 79
3.1 基本内容 79
3.2 方法评析 79
4. 极值和不等式问题 85
4.1 基本内容 85
4.2 方法评析 87
5. 数论问题 96
5.1 基本内容 97
5.2 方法评析 98
6. 几何问题 103
6.1 基本内容 104
6.2 方法评析 105
7. 组合数学 112
7.1 基本内容 112
7.2 方法评析 113
第五章 奥林匹克数学命题研究 119
1. 数学奥林匹克的命题原则 119
1.1 科学性 119
1.2 目的性 122
1.3 适应性 124
1.4 创新性 125
2. 数学奥林匹克的命题方法 127
2.1 演绎法 127
2.2 基本量法 129
2.3 陈题改造 131
2.4 移用科研成果 136
下篇 解题研究篇
第*章 集合与函数 141
1. 集合 141
2. 充要条件 150
3. 映射与函数 155
4. 函数的性质 158
5. 二次函数 162
第二章 数列 167
1. 数列及其求和 167
2. 数学归纳法 176
第三章 三角函数 179
第四章 方程与不等式 184
1. 方程 184
2. 不等式的解法 188
3. 不等式的证明 190
4. 不等式的应用 193
5. 极值问题 196
第五章 直线与圆的方程 204
第六章 圆锥曲线方程 209
第七章 立体几何 222
第八章 排列与组合 240
第九章 复数 246
第十章 数论初步 256
第十一章 平面几何 260
第十二章 杂题 277
主要参考文献 287
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上篇 原理和方法篇
　　第*章数学奥林匹克的历史和现状
　　1. 数学奥林匹克简史
　　1.1 数学奥林匹克起源
　　解题的竞赛在数学发展的历史过程中由来已久。但是，像这样为激发中学生的学习兴趣，发现和选拔人才，由中学生自愿参加的数学竞赛，通常认为始源于匈牙利。
　　1894年，为了祝贺匈牙利数学家，全国数学协会主席埃特沃斯(L.Eot-vos)教授担任匈牙利教育大臣，匈牙利物理数学协会举办了第*届中学生数学竞赛。从此以后，除了由于两次世界大战和匈牙利事件间断过7年以外，每年举行一次，一直沿袭至今。
　　匈牙利数学竞赛在每年10月举行，每次考试共3个试题，限参赛者在4小时内完成，允许使用任何参考书。匈牙利许多数学家和学者都参与了数学竞赛的辅导和命题。
　　匈牙利数学奥林匹克是世界上*有影响的数学奥林匹克之一。其试题新颖、别致，独具风格，充分体现了灵活性和创造性的思维，中学生用学过的初等数学知识就可解答，但又涉及许多高等数学课题的背景。例如，1947年的匈牙利数学奥林匹克中有这样一个问题：
　　问题1-1 证明：在任意6个人中，总有3人相互认识或相互不认识。
　　此题的背景是图论中的拉姆齐(Ramsey)数问题：给定正整数t，求这样的正整数rt，使得当n≥rt时，任何一个t色完全图kn中都有单色三角形，而当n　　数rt称为拉姆齐数，问题1-1就是r2=6。
　　由于拉姆齐数问题是现代数学中的一个研究热点，1953年在美国图论专家Harary的建议下，问题1-1又被选为美国普特南(Putnam)大学生数学奥林匹克试题。并在以后若干年中，被许多国家反复改造加以应用。1964年的第6届国际数学奥林匹克(IMO)试题：
　　问题1-2 17个科学家中，每名科学家都和其他科学家通信，在他们通信时只讨论三个问题。而且任意两名科学家通信时只讨论一个问题。证明其中至少有三名科学家，他们互相通信中讨论的是同一个问题。
　　这便是r3=17，也是问题1-1的推广。
　　1.2 前苏联及俄罗斯数学奥林匹克
　　前苏联是开展数学竞赛活动比较早的国家之一。1934年列宁格勒大学主办了列宁格勒中学生数学奥林匹克，将数学竞赛与奥林匹克体育竞赛相联系，称数学竞赛为数学奥林匹克，形象地揭示了数学竞赛是参赛选手间智力的角逐。1935年莫斯科大学和基辅大学又分别主办了莫斯科数学奥林匹克和基辅数学奥林匹克。以后每年举行(除了在1942年至1944年中断过3年外)，到1962年，开始举办全苏数学奥林匹克。
　　前苏联数学奥林匹克的特点是分年级进行，每个年级(七至十一年级)都是要求在4小时内解答5个试题。高年级的优胜者可被免试推荐进入大学。现在，俄罗斯(包括原苏联的其他国家)的数学奥林匹克活动已发展到包括小学生，中学生和大学生在内的各级各类数学奥林匹克。其中尤以中学数学奥林匹克活动开展得*为广泛和普遍。，俄罗斯是继匈牙利之后的又一富有实力的国家，在已举办的41届国际数学奥林匹克中总分15次居第*，名列各国之首。
　　1.3 国际数学奥林匹克
　　20世纪以来，许多国家相继开展了数学奥林匹克活动。特别是东欧的一些国家，如罗马尼亚(始于1902年)，保加利亚(始于1949年)等等。到20世纪50年代中期，许多国家已形成了学校，地(市)，省，直至全国的不同级别的数学奥林匹克。为国际数学奥林匹克的举办奠定了良好的基础。
　　1956年，在罗马尼亚的罗曼(Roman)教授的倡议下，东欧国家和苏联确定了举办国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad，简称IMO)的计划。第*届IMO于1959年7月在罗马尼亚的布拉索(Brasov)市举行，以后每年举行一次(除1980年因东道国蒙古经济困难停办外)，至今已举办了41届，参赛的国家也越来越多，第*届IMO仅有东欧的7个国家参加，如今参加的国家和地区已达80多个。
　　一年一度的IMO由各参赛国家或地区轮流主办，所需经费由主办国负担，整个活动由东道国设立的组织委员会领导。IMO的业务由各国领队组成的主试委员会主持，主试委员会主席一般由东道国担任。
　　IMO一般在每年7月进行，其试题的产生是由各参赛国家或地区事先提供一定数量的预选题(东道国不出题)，然后由主试委员会选出6道题作为考试题。考试分两天进行，每试4.5小时，3道试题，每题7分，两试满分为42分。参赛代表队的成员一般由正副领队和六名学生队员组成。
　　在IMO中起重要作用的是协调委员会，因为考试前由各国领队将试题译成本国的文字，并经协调委员会认可，而考试后各国的试卷也均由本国的正副领队批改，然后与协调委员会成员协商，如有分歧，由主试委员会仲裁，使评分标准保持一致。
　　IMO的口号是：面向未来——为了人类的进步，其目的为鼓励更多的青少年成才。为此，IMO的获奖人数多达参赛人数的一半，根据分数评选出金、银、铜牌三个等级的获奖者，其比例约为1∶2∶3。此外，主试委员会还对某个试题做出了非常漂亮解答的选手给予特别奖。IMO只举办个人赛，不举行团体赛，但每次竞赛后，仍列出团体总分的名次。
　　IMO是世界公认的*高水平的数学竞赛，1980年国际数学教育委员会(IC-ME)决定成立国际数学奥林匹克委员会作为其下设的一个专业委员会(IMO委员会已于1981年4月正式成立)。这不仅在组织上保证了IMO的正常进行，而且也意味着在学术上得到了国际数学教育委员会的确认，也就是说，关于数学奥林匹克的研究是数学教育中一个重要的研究课题。
　　1.4 美国数学奥林匹克
　　美国是参加IMO比较晚的国家，它于1974年才开始加入IMO。然而在美国，数学竞赛已有十分悠久的历史。早在1938年，美国就有一个大学生的数学竞赛——普特南数学竞赛，美国中学生数学竞赛(AHSME)始于1950年，现在已成为一种国际性的竞赛，包括我国在内的许多国家都参加了这一竞赛。AHSME通常在每年2月底或3月初的一个星期二举行，题目为30个选择题，考试时间为90分钟。自1983年开始又举办了美国数学邀请赛(AIME)，通常在3月下旬的一个星期二举行，AIME的题目为15个填空题，考试时间为150分钟。AIME的优胜者可参加5月初举行的美国数学奥林匹克(始于1972年)，美国数学奥林匹克(USAMO)共5个试题，考试时间为3.5小时，对USAMO中成绩*好的20名左右选手再进行三个星期的训练，从中选出6名学生作为美国队成员参加IMO。
　　1.5 中国的中学数学奥林匹克
　　中国的中学生数学竞赛始于1956年，由已故数学家华罗庚教授倡导举办。他自担任北京市数学竞赛委员会主任，并主持了命题工作，同年上海、天津、武汉也举办了数学竞赛。
　　中国的数学竞赛经历了曲折的道路。1958年以后的几年，由于国家处于经济困难时期，数学竞赛也被迫停止。1962年随着经济形势的好转，北京又恢复了数学竞赛，并在国内掀起了一个数学竞赛的浪潮。但是，1965年以后，由于文化大革命的原因，数学竞赛再度被迫中断十余年。直到1978年，数学竞赛第三次兴起，华罗庚教授再一次主持了全国八省市数学竞赛。1979年发展为除台湾省外的全国数学竞赛。
　　从1981年开始，中国的数学竞赛逐步纳入轨道。1981年中国数学会制定了“中学生数学竞赛简章(草案)”，并正式定名为“全国各省、市、自治区高中数学联合竞赛”，同时确定每年在10月中旬的第*个星期天举行全国高中数学联赛。从此，我国的数学竞赛活动得到了蓬勃发展。1985年全国初中数学联赛开始举行，1990年又举办了全国小学生数学奥林匹克。
　　2. 中国在IMO中的崛起
　　1985年，我国派出两名选手参加第26届IMO，以了解情况，取得经验。结果获得了一枚铜牌，成绩属中下水平。为了提高我国选手的参赛水平，自1986年开始，中国数学会决定每年1月份由中国数学会普及工作委员会、中国数学奥林匹克委员会和北京大学等四所重点大学联合举办全国中学生数学冬令营。冬令营的参加者为各省市在全国高中数学联赛中的优胜者(大约80余人，一般每省市至少有一个名额)。自1991年起，冬令营又定名为“中国数学奥林匹克”(简称CMO)，CMO的考试类似于IMO：考试分两天进行，每试3个题，时间为4.5小时，每题21分，二试满分126分。由CMO选拔出20余名选手组成国家集训队，然后经过集训选出6名队员组成国家代表队参加IMO。
　　1986年，我国选派了6名选手正式组队参加第27届IMO，中国队取得了总分第四名的好成绩。以后几年我国在IMO中都取得了好成绩。1989年我国代表队在第30届IMO中第*次获得了总分第*，1990年我国又成功地举办了第31届IMO，第31届IMO也是IMO第*次在亚洲国家举行，我国选手又一次获得了总分第*的优异成绩。
　　表1.1是我国在26~41届IMO中的获奖情况(见表1.1)。
　　我国参加IMO的历史虽然不长，但是，我国中学生参加IMO所取得的优异成绩表明，我国已进入IMO的强国之列。
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