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奧林匹剋數學方法與解題研究
	曾用價	78.00
	齣版社	科學齣版社
	版次	1
	齣版時間	2005年07月
	開本	16
	作者	趙小雲
	裝幀	平裝
	頁數	288
	字數	363000
	ISBN編碼	9787030147318

目錄
目錄
上篇 原理和方法篇
第*章 數學奧林匹剋的曆史和現狀 3
1. 數學奧林匹剋簡史 3
1.1 數學奧林匹剋起源 3
1.2 前蘇聯及俄羅斯數學奧林匹剋 4
1.3 國際數學奧林匹剋 4
1.4 美國數學奧林匹剋 5
1.5 中國的中學數學奧林匹剋 5
2. 中國在IMO中的崛起 6
3. IMO的發展與未來 7
第二章 奧林匹剋數學及其特徵 9
1. 奧林匹剋數學是高等數學與初等數學之間的數學 9
2. 奧林匹剋數學是現代數學與中學數學之間的橋梁 15
3. 靈活性和創造性是奧林匹剋數學的精髓 17
第三章 數學奧林匹剋在數學教育中的地位和作用 28
1. 有益於人纔的發現和培養 28
2. 激發瞭青少年學習數學的興趣，具有開發智力和創造力的深遠意義 29
3. 促進和推動瞭數學教育的改革和發展 30
3.1 促進瞭中學數學教師的知識更新，是提高數學教師業務素質的重要途徑 30
3.2 促進瞭數學第二課堂的開展，有利於發展學生個性 30
3.3 促進瞭中學數學課程的改革和現代化 31
3.4 對中學數學教學改革具有導嚮和推動作用 32
4. 豐富瞭初等數學研究的內容和數學解題理論 32
第四章 奧林匹剋數學的內容和方法 66
1. 多項式問題 66
1.1 基本內容 66
1.2 方法評析 69
2. 數列與遞歸 73
2.1 基本內容 73
2.2 方法評析 74
3. 函數方程 79
3.1 基本內容 79
3.2 方法評析 79
4. 極值和不等式問題 85
4.1 基本內容 85
4.2 方法評析 87
5. 數論問題 96
5.1 基本內容 97
5.2 方法評析 98
6. 幾何問題 103
6.1 基本內容 104
6.2 方法評析 105
7. 組閤數學 112
7.1 基本內容 112
7.2 方法評析 113
第五章 奧林匹剋數學命題研究 119
1. 數學奧林匹剋的命題原則 119
1.1 科學性 119
1.2 目的性 122
1.3 適應性 124
1.4 創新性 125
2. 數學奧林匹剋的命題方法 127
2.1 演繹法 127
2.2 基本量法 129
2.3 陳題改造 131
2.4 移用科研成果 136
下篇 解題研究篇
第*章 集閤與函數 141
1. 集閤 141
2. 充要條件 150
3. 映射與函數 155
4. 函數的性質 158
5. 二次函數 162
第二章 數列 167
1. 數列及其求和 167
2. 數學歸納法 176
第三章 三角函數 179
第四章 方程與不等式 184
1. 方程 184
2. 不等式的解法 188
3. 不等式的證明 190
4. 不等式的應用 193
5. 極值問題 196
第五章 直綫與圓的方程 204
第六章 圓錐麯綫方程 209
第七章 立體幾何 222
第八章 排列與組閤 240
第九章 復數 246
第十章 數論初步 256
第十一章 平麵幾何 260
第十二章 雜題 277
主要參考文獻 287
在綫試讀
上篇 原理和方法篇
　　第*章數學奧林匹剋的曆史和現狀
　　1. 數學奧林匹剋簡史
　　1.1 數學奧林匹剋起源
　　解題的競賽在數學發展的曆史過程中由來已久。但是，像這樣為激發中學生的學習興趣，發現和選拔人纔，由中學生自願參加的數學競賽，通常認為始源於匈牙利。
　　1894年，為瞭祝賀匈牙利數學傢，全國數學協會主席埃特沃斯(L.Eot-vos)教授擔任匈牙利教育大臣，匈牙利物理數學協會舉辦瞭第*屆中學生數學競賽。從此以後，除瞭由於兩次世界大戰和匈牙利事件間斷過7年以外，每年舉行一次，一直沿襲至今。
　　匈牙利數學競賽在每年10月舉行，每次考試共3個試題，限參賽者在4小時內完成，允許使用任何參考書。匈牙利許多數學傢和學者都參與瞭數學競賽的輔導和命題。
　　匈牙利數學奧林匹剋是世界上*有影響的數學奧林匹剋之一。其試題新穎、彆緻，獨具風格，充分體現瞭靈活性和創造性的思維，中學生用學過的初等數學知識就可解答，但又涉及許多高等數學課題的背景。例如，1947年的匈牙利數學奧林匹剋中有這樣一個問題：
　　問題1-1 證明：在任意6個人中，總有3人相互認識或相互不認識。
　　此題的背景是圖論中的拉姆齊(Ramsey)數問題：給定正整數t，求這樣的正整數rt，使得當n≥rt時，任何一個t色完全圖kn中都有單色三角形，而當n　　數rt稱為拉姆齊數，問題1-1就是r2=6。
　　由於拉姆齊數問題是現代數學中的一個研究熱點，1953年在美國圖論專傢Harary的建議下，問題1-1又被選為美國普特南(Putnam)大學生數學奧林匹剋試題。並在以後若乾年中，被許多國傢反復改造加以應用。1964年的第6屆國際數學奧林匹剋(IMO)試題：
　　問題1-2 17個科學傢中，每名科學傢都和其他科學傢通信，在他們通信時隻討論三個問題。而且任意兩名科學傢通信時隻討論一個問題。證明其中至少有三名科學傢，他們互相通信中討論的是同一個問題。
　　這便是r3=17，也是問題1-1的推廣。
　　1.2 前蘇聯及俄羅斯數學奧林匹剋
　　前蘇聯是開展數學競賽活動比較早的國傢之一。1934年列寜格勒大學主辦瞭列寜格勒中學生數學奧林匹剋，將數學競賽與奧林匹剋體育競賽相聯係，稱數學競賽為數學奧林匹剋，形象地揭示瞭數學競賽是參賽選手間智力的角逐。1935年莫斯科大學和基輔大學又分彆主辦瞭莫斯科數學奧林匹剋和基輔數學奧林匹剋。以後每年舉行(除瞭在1942年至1944年中斷過3年外)，到1962年，開始舉辦全蘇數學奧林匹剋。
　　前蘇聯數學奧林匹剋的特點是分年級進行，每個年級(七至十一年級)都是要求在4小時內解答5個試題。高年級的優勝者可被免試推薦進入大學。現在，俄羅斯(包括原蘇聯的其他國傢)的數學奧林匹剋活動已發展到包括小學生，中學生和大學生在內的各級各類數學奧林匹剋。其中尤以中學數學奧林匹剋活動開展得*為廣泛和普遍。，俄羅斯是繼匈牙利之後的又一富有實力的國傢，在已舉辦的41屆國際數學奧林匹剋中總分15次居第*，名列各國之首。
　　1.3 國際數學奧林匹剋
　　20世紀以來，許多國傢相繼開展瞭數學奧林匹剋活動。特彆是東歐的一些國傢，如羅馬尼亞(始於1902年)，保加利亞(始於1949年)等等。到20世紀50年代中期，許多國傢已形成瞭學校，地(市)，省，直至全國的不同級彆的數學奧林匹剋。為國際數學奧林匹剋的舉辦奠定瞭良好的基礎。
　　1956年，在羅馬尼亞的羅曼(Roman)教授的倡議下，東歐國傢和蘇聯確定瞭舉辦國際數學奧林匹剋(International Mathematical Olympiad，簡稱IMO)的計劃。第*屆IMO於1959年7月在羅馬尼亞的布拉索(Brasov)市舉行，以後每年舉行一次(除1980年因東道國濛古經濟睏難停辦外)，至今已舉辦瞭41屆，參賽的國傢也越來越多，第*屆IMO僅有東歐的7個國傢參加，如今參加的國傢和地區已達80多個。
　　一年一度的IMO由各參賽國傢或地區輪流主辦，所需經費由主辦國負擔，整個活動由東道國設立的組織委員會領導。IMO的業務由各國領隊組成的主試委員會主持，主試委員會主席一般由東道國擔任。
　　IMO一般在每年7月進行，其試題的産生是由各參賽國傢或地區事先提供一定數量的預選題(東道國不齣題)，然後由主試委員會選齣6道題作為考試題。考試分兩天進行，每試4.5小時，3道試題，每題7分，兩試滿分為42分。參賽代錶隊的成員一般由正副領隊和六名學生隊員組成。
　　在IMO中起重要作用的是協調委員會，因為考試前由各國領隊將試題譯成本國的文字，並經協調委員會認可，而考試後各國的試捲也均由本國的正副領隊批改，然後與協調委員會成員協商，如有分歧，由主試委員會仲裁，使評分標準保持一緻。
　　IMO的口號是：麵嚮未來——為瞭人類的進步，其目的為鼓勵更多的青少年成纔。為此，IMO的獲奬人數多達參賽人數的一半，根據分數評選齣金、銀、銅牌三個等級的獲奬者，其比例約為1∶2∶3。此外，主試委員會還對某個試題做齣瞭非常漂亮解答的選手給予特彆奬。IMO隻舉辦個人賽，不舉行團體賽，但每次競賽後，仍列齣團體總分的名次。
　　IMO是世界公認的*高水平的數學競賽，1980年國際數學教育委員會(IC-ME)決定成立國際數學奧林匹剋委員會作為其下設的一個專業委員會(IMO委員會已於1981年4月正式成立)。這不僅在組織上保證瞭IMO的正常進行，而且也意味著在學術上得到瞭國際數學教育委員會的確認，也就是說，關於數學奧林匹剋的研究是數學教育中一個重要的研究課題。
　　1.4 美國數學奧林匹剋
　　美國是參加IMO比較晚的國傢，它於1974年纔開始加入IMO。然而在美國，數學競賽已有十分悠久的曆史。早在1938年，美國就有一個大學生的數學競賽——普特南數學競賽，美國中學生數學競賽(AHSME)始於1950年，現在已成為一種國際性的競賽，包括我國在內的許多國傢都參加瞭這一競賽。AHSME通常在每年2月底或3月初的一個星期二舉行，題目為30個選擇題，考試時間為90分鍾。自1983年開始又舉辦瞭美國數學邀請賽(AIME)，通常在3月下旬的一個星期二舉行，AIME的題目為15個填空題，考試時間為150分鍾。AIME的優勝者可參加5月初舉行的美國數學奧林匹剋(始於1972年)，美國數學奧林匹剋(USAMO)共5個試題，考試時間為3.5小時，對USAMO中成績*好的20名左右選手再進行三個星期的訓練，從中選齣6名學生作為美國隊成員參加IMO。
　　1.5 中國的中學數學奧林匹剋
　　中國的中學生數學競賽始於1956年，由已故數學傢華羅庚教授倡導舉辦。他自擔任北京市數學競賽委員會主任，並主持瞭命題工作，同年上海、天津、武漢也舉辦瞭數學競賽。
　　中國的數學競賽經曆瞭麯摺的道路。1958年以後的幾年，由於國傢處於經濟睏難時期，數學競賽也被迫停止。1962年隨著經濟形勢的好轉，北京又恢復瞭數學競賽，並在國內掀起瞭一個數學競賽的浪潮。但是，1965年以後，由於文化大革命的原因，數學競賽再度被迫中斷十餘年。直到1978年，數學競賽第三次興起，華羅庚教授再一次主持瞭全國八省市數學競賽。1979年發展為除颱灣省外的全國數學競賽。
　　從1981年開始，中國的數學競賽逐步納入軌道。1981年中國數學會製定瞭“中學生數學競賽簡章(草案)”，並正式定名為“全國各省、市、自治區高中數學聯閤競賽”，同時確定每年在10月中旬的第*個星期天舉行全國高中數學聯賽。從此，我國的數學競賽活動得到瞭蓬勃發展。1985年全國初中數學聯賽開始舉行，1990年又舉辦瞭全國小學生數學奧林匹剋。
　　2. 中國在IMO中的崛起
　　1985年，我國派齣兩名選手參加第26屆IMO，以瞭解情況，取得經驗。結果獲得瞭一枚銅牌，成績屬中下水平。為瞭提高我國選手的參賽水平，自1986年開始，中國數學會決定每年1月份由中國數學會普及工作委員會、中國數學奧林匹剋委員會和北京大學等四所重點大學聯閤舉辦全國中學生數學鼕令營。鼕令營的參加者為各省市在全國高中數學聯賽中的優勝者(大約80餘人，一般每省市至少有一個名額)。自1991年起，鼕令營又定名為“中國數學奧林匹剋”(簡稱CMO)，CMO的考試類似於IMO：考試分兩天進行，每試3個題，時間為4.5小時，每題21分，二試滿分126分。由CMO選拔齣20餘名選手組成國傢集訓隊，然後經過集訓選齣6名隊員組成國傢代錶隊參加IMO。
　　1986年，我國選派瞭6名選手正式組隊參加第27屆IMO，中國隊取得瞭總分第四名的好成績。以後幾年我國在IMO中都取得瞭好成績。1989年我國代錶隊在第30屆IMO中第*次獲得瞭總分第*，1990年我國又成功地舉辦瞭第31屆IMO，第31屆IMO也是IMO第*次在亞洲國傢舉行，我國選手又一次獲得瞭總分第*的優異成績。
　　錶1.1是我國在26~41屆IMO中的獲奬情況(見錶1.1)。
　　我國參加IMO的曆史雖然不長，但是，我國中學生參加IMO所取得的優異成績錶明，我國已進入IMO的強國之列。
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