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出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040119220J

商品编码：26533535019

商品参数

书   名:数学分析习题课讲义(上册)

作 者: 谢惠民,等

I S B N :9787040119220

出版社: 高等教育出版社

出版时间:2010年10月01日

印刷时间:2010年10月01日

字 数:510000字

页 数:424页

开 本:16开

包 装:平装

重 量:540g

定 价:35.5元

内容简介

《数学分析习题课讲义》是教育部“国家理科基地创建课程项目”的研究成果，其目的是为数学分析的习题课教学提供一套具有创新特色的教材和参考书。

本书以编著们近加年来在数学分析及其习题课方面的教学经验为基础，吸取了外多种教材和研究性论著中的大量成果，注意经典教学内容中的思想、方法和技巧的开拓与延伸，在例题的讲解中强调启发式和逐步深入，在习题的选取中致力于对传统内容的更新、补充与层次化。

本书分上下两册出版。

上册内容包括：引论、数列极限、实数系的基本定理、函数极限、连续函数、导数与微分、微分学的中值定理、微分学的应用、不定积分、定积分、积分学的应用、广义积分等十二章。

下册内容包括：数项级数、函数项级数、幂级数、Fourier级数、高维空间中的点集与基本定理、多元函数的极限与连续、偏导数与全微分、隐函数存在定理与隐函数求导、偏导数的应用、重积分、广义重积分、曲线积分、曲面积分、含参数积分、场论基本公式等十五章。

本书可作为高等院校理工科教师和学生在数学分析习题课方面的教材或参考书，也可以作为研究生入学考试和其他人员的数学分析辅导书。

本书的编者是谢惠民、恽自求、易法槐和钱定边。

目录

序

前言

章引论

1.1 关于习题课教案的组织

1.2 书中常用记号

1.3 几个常用的初等不等式

1.3.1 几个初等不等式的证明（3）1.3.2 练习题（7）

1.4 逻辑符号与对偶法则

第二章数列极限

2.1 数列极限的基本概念

2.1.1 基本定义（12）2.1.2 思考题（13）

2.1.3 适当放大法（14）2.1.4 例题（15）

2.1.5 练习题（17）

2.2 收敛数列的基本性质

2.2.1 思考题（18）2.2.2 例题（18）

2.2.3 判定数列发散的方法（21）2.2.4 练习题（25）

2.3 单调数列

2.3.1 例题（26）2.3.2 练习题（30）

2.4 cauchy命题与Stolz定理

2.4..1 基本命题（31）2.4.2 例题（35）2.4.3 练习题（37）

2.5 自然对数的底e和Euler常数7

2.5.1 与数e有关的两个问题（38）

2.5.2 关于e的基本结果（38）2.5.3 Euler常数y（43）

2.5.4 例题（44）2.5.5 练习题（45）

2.6 由迭代生成的数列

2.6.1 例题（46）2.6.2 单调性与几何方法（49）

2.6.3 练习题（52）

2.7 对于教学的建议

2.7.1 学习要点（53）2.7.2 补充例题（54）2.7.3 参考题（55）

组参考题（55）第二组参考题（57）

2.8 关于数列极限的一组习题课教案

2.8.1 次习题课（60）2.8.2 第二次习题课（62）

2.8.3 第三次习题课（63）2.8.4 第四次习题课（65）

第三章实数系的基本定理

3.1 确界的概念和确界存在定理

3.1.1 基本内容（67）3.1.2 例题（67）3.1.3 练习题（69）

3.2 闭区间套定理

3.2.1 基本内容（70）3.2.2 例题（71）3.2.3 练习题（72）

3.3 凝聚定理

3.3.1 基本内容（73）3.3.2 例题（73）3.3.3 练习题（74）

3.4 Ca.uchy收敛准则

3.4.1 基本内容（74）3.4.2 基本命题（75）3.4.3 例题（76）

3.4.4 压缩映射原理（77）3.4.5 练习题（79）

3.5 覆盖定理

3.5.1 基本内容（80）3.5.2 例题（81）3.5.3 练习题（83）

3.6 数列的上极限和下极限

3.6.1 基本定义（83）3.6.2 基本性质（84）3.6.3 例题（88）

3.6.4 练习题（91）

3.7 对于教学的建议

3.7.1 学习要点（92）3.7.2 一题多解（93）3.7.3 参考题（95）

组参考题（95）第二组参考题（96）

第四章函数极限

4.1 函数极限的定义

4.1.1 函数极限的基本类型（97）

4.1.2 函数极限的其他类型（98）4.1.3 思考题（98）

4.1.4 例题（99）4.1.5 练习题（102）

4.2 函数极限的基本性质

4.2.1 基本性质（103）4.2.2 基本命题（104）

4.2.3 思考题（107）4.2.4 例题（107）4.2.5 练习题（109）

4.3 两个重要极限

4.3.3 例题（112）4.3.4 练习题（114）

54.4 无穷小量、有界量、无穷大量和阶的比较

4.4.1 记号o，O与～（115）4.4.2 思考题（117）

4.4.3 等价量代换法（119）4.4.4 练习题（121）

54.5 对于教学的建议

4.5.1 学习要点（122）4.5.2 参考题（122）

第五章连续函数

5.1 连续性概念

5.1.1 内容提要（124）5.1.2 思考题（125）

5.1.3 例题（125）5.1.4 练习题（128）

55.2 点存在定理与介值定理

5.2.1 定理的证明（129）5.2.2 例题（132）

5.2.3 练习题（133）

5.3 有界性定理与值定理

5.3.1 定理的证明（135）5.3.2 例题（136）

5.3.3 练习题（136）

5.4 一致连续性与Cantor定理

5.4.1 内容提要（137）5.4.2 思考题（138）

5.4.3 Cantor定理的证明（138）5.4 ,4例题（139）

5.4.5 练习题（142）

55.5 单调函数

5.5.1 基本性质（143）5.5.2 练习题（146）

5.6 周期3蕴涵混沌

5.6.1 动力的基本概念（147）

5.6.2 Li-Yorke的两个定理（148）

5.7 对于教学的建议

5.7.1 学习要点（152）5.7.2 参考题（153）

组参考题（153）第二组参考题（154）

第六章导数与微分

56.1 导数及其计算

6.1.1 内容提要（157）6.1.2 思考题（158）

6.1.3 例题（159）6.1.4 练习题（166）

6.2 高阶导数及其他求导法则

6.2.1 高阶导数计算（167）6.2.2 隐函数求导法（171）

6.2.3 参数方程求导法（174）6.2.4 练习题（176）

6.3 一阶微分及其形式不变性

6.3.1 基本概念（177）6.3.2 微分与近似计算（177）

6.3.3 一阶微分的形式不变性（179）6.3.4 练习题（180）

6.4 对于教学的建议

6.4.1 学习要点（181）6.4.2 参考题（181）

组参考题（181）第二组参考题（183）

第七章微分学的基本定理

7.1 微分学中值定理

7.1.1 基本定理（185）7.1.2 导函数的两个定理（193）

7.1.3 例题（196）7.1.4 练习题（200）

7.2 Taylor定理

7.2.1 基本定理（203）7.2.2 例题（209）

7.2.3 Euler数与Bernoulli数（214）7.2.4 练习题（218）

7.3 对于教学的建议

7.3.1 学习要点（220）7.3.2 参考题（221）

组参考题（221）第二组参考题（223）

第八章微分学的应用

58.1 函数极限的计算

8.1.1 L'Hospital法则（226）

8.1.2 Taylor公式与极限计算（229）8.1.3 练习题（234）

8.2 函数的单调性

8.2.1 例题（235）8.2.2 练习题（238）

8.3 函数的极值与值

8.3.1 例题（239）8.3.2 练习题（242）

58.4 函数的凸性

8.4.1 基本命题（243）8.4.2 练习题（249）

8.5 不等式

8.5.1 例题（250）8.5.2 用凸性证不等式（255）

8.5.3 练习题（258）

58.6 函数作图

8.6.1 例题（261）8.6.2 练习题（263）

8.7 方程求根与近似计算

8.7.1 迭代算法的收敛速度（264）

8.7.2 Newton求根法（268）8.7.3 练习题（272）

8.8 对于教学的建议

8.8.1 学习要点（272）8.8.2 参考题（274）

组参考题（274）第二组参考题（275）

第九章不定积分

9.1 不定积分的计算方法

9.1.1 内容提要（278）9.1.2 思考题（278）

9.1.3 基本计算方法（279）9.1.4 例题（281）

……

第十章定积分

第十一章积分学的应用

第十二章广义积分

精选解析：高等代数核心概念与解题策略 作者： 资深数学教育专家团队 出版社： 世纪之光教育出版社 定价： 98.00 元 ISBN： 978-7-5119-XXXX-X --- 内容简介： 本册《精选解析：高等代数核心概念与解题策略》旨在为高等院校数学专业学生、理工科需要深入理解代数理论的读者，以及准备研究生入学考试或专业资格考试的考生，提供一套系统、深入且高度实用的高等代数学习辅助材料。本书聚焦于高等代数这门学科的基石——线性代数、矩阵理论、向量空间、线性变换、特征值与特征向量、多项式理论、二次型及其合同变换等核心模块，力求在概念的清晰阐述与解题技巧的精妙传授之间取得完美平衡。 本书的独特价值在于其“精选”与“解析”的深度结合。 我们深知，高等代数知识点繁多，概念抽象，许多学生在学习过程中往往陷入“理论懂了，题目不会做”的困境。因此，本书结构设计严格围绕这一痛点展开，力求从根本上提升读者的代数思维能力和实际解题能力。 第一部分：基础代数结构与矩阵理论的深度剖析 本部分作为全书的奠基石，详细梳理了群、环、域等抽象代数结构的基本概念，但我们将重点落脚于数域上的线性代数。 1. 矩阵运算与行列式： 我们不只是罗列矩阵的乘法和逆矩阵的定义，而是深入探讨矩阵的秩的几何意义，并用初等行变换（Elementary Row Operations）的视角，统一解释行列式的性质、计算方法以及它在判断线性方程组解的存在性与唯一性中的核心作用。特别地，对于克拉默法则（Cramer's Rule）的适用条件与局限性，我们进行了严谨的讨论。 2. 向量空间与子空间： 向量空间是理解线性代数的灵魂所在。本书对“线性相关性”、“基（Basis）”与“维数（Dimension）”的定义进行了细致的辨析，并着重讲解了如何通过标准基、构造基等方法，将抽象的向量空间具象化。对于子空间（如列空间、零空间、行空间），我们提供了大量的实例，清晰展示它们之间的关系以及如何运用行阶梯形矩阵（Row Echelon Form）来确定它们的基和维数。 3. 线性映射（或线性变换）： 本章将抽象的映射转化为具体的矩阵表示。我们深入探讨了核（Kernel）和像（Image）与零空间、列空间之间的精确对应关系，以及秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）在不同空间结构下的具体体现。 第二部分：特征值理论与对角化艺术 特征值与特征向量是连接代数运算与几何变换的关键桥梁。本部分内容尤其侧重于理论的严谨性和实际应用中的技巧。 1. 特征值与特征向量的计算： 除了标准的特征多项式求解外，我们详细分析了如何处理涉及参数或矩阵分块结构时的特征值计算。对于代数重数（Algebraic Multiplicity）和几何重数（Geometric Multiplicity）的深入剖析，是理解矩阵可对角化的关键。 2. 对角化条件与相似性： 本书系统地总结了矩阵可对角化的充要条件，包括特征向量的线性无关性、Jordan标准形（Jordan Canonical Form）的引入前的铺垫。我们通过大量例子展示了相似变换在简化计算中的威力。 3. 极值与稳定性分析： 对于应用导向的读者，本章将特征值理论与微分方程（如常系数线性微分方程组）的稳定性分析进行了初步的结合，展示了特征值正负性对系统行为的决定性影响。 第三部分：多项式理论与二次型的几何解读 本部分回归代数结构本身，同时引入了对几何对象——二次型的深刻洞察。 1. 多项式的根与因式分解： 详细讲解了有理根定理、Eisenstein判别法等在实数域和复数域上对多项式进行因式分解的实用工具。对于多项式与矩阵特征值的联系，我们提供了清晰的证明路径。 2. 欧几里得算法与带余除法： 在多项式环中的应用，是理解最大公因式（GCD）和最小公倍式（LCM）的关键。 3. 二次型与合同变换： 二次型是高等代数中几何直观性最强的部分之一。本书重点讲解了如何通过配方法、合同变换（Congruence Transformation）以及最重要的特征值法，将二次型转化为规范形（Canonical Form）。我们详细阐述了正定性、负定性等概念的判断标准（如Sylvester判据），并用三维空间中的二次曲面实例来增强读者的空间想象力。 学习资源与特色板块 经典例题的步步为营： 每个核心概念后都附有精心挑选的例题，解题过程详尽分解，不仅给出“怎么做”，更解释“为什么这么做”。 易错点聚焦： 设立“陷阱识别区”，专门分析学生在概念理解、符号运用和计算过程中最常犯的逻辑错误。 理论溯源与延伸： 部分章节提供更深层次的理论背景介绍，例如从内积空间到希尔伯特空间（作为展望），帮助有余力的读者进行知识的垂直拓展。 适用对象： 高等数学基础扎实，准备系统学习线性代数及代数结构的本科生。 理工科研究生入学考试（如数学一、数学二）的备考者。 需要将代数知识应用于工程、数据科学、物理等领域的专业人士。 本书致力于成为读者案头常备的“高等代数解题宝典”，通过深入的理论剖析和海量的精选解析，助力读者真正掌握高等代数的精髓，跨越抽象思维的鸿沟。

评分☆☆☆☆☆

在使用体验上，我必须提及它的排版布局，它直接影响到学习时的专注度和效率。页边距的留白处理得恰到好处，既保证了阅读的舒适度，又为读者在动手演算时留出了足够的空间，这一点对于需要大量草稿和符号推演的数学学习者来说，简直是福音。公式的居中对齐、上下标的清晰度都达到了专业印刷的最高标准，这在阅读长串的积分或极限推导时尤其重要，避免了因视觉模糊而导致理解中断。此外，章节之间的过渡处理得非常平滑，不会让人感觉知识点之间存在生硬的割裂感。整本书的开本大小适中，方便携带，无论是放在书桌前系统学习，还是带到自习室进行碎片化练习，都很顺手。这种对使用者“在场感”的关怀，体现了编者对读者学习过程的尊重。

评分☆☆☆☆☆

我最欣赏这套书的地方在于它对“习题”这一概念的深度挖掘和系统性梳理。它绝非简单地罗列那些教科书后的标准练习题，而是真正站在“习题课”的视角来构建内容体系的。每一个章节的选取和习题的编排，都似乎是经过了无数次教学实践的打磨，精准地捕捉了学生在学习过程中最容易产生困惑、最需要通过练习来巩固理解的知识点。不像有些习题集，要么过于简单，流于表面，要么过于偏怪，脱离了基础教学的主线。这本讲义的难度梯度设计得非常自然流畅，从基础概念的直接应用，到需要巧妙构造和综合运用的进阶难题，层层递进，让读者有一种“走在正确的学习路径上”的踏实感。它更像一位经验丰富的老教师，知道在哪个关口设置一个需要你集中精力思考的“坎”，让你在跨越之后，对某个定理的理解能瞬间拔高一个层次，这种精心设计的学习体验是无法替代的。

评分☆☆☆☆☆

从内容呈现的逻辑性来看，这本《数学分析习题课讲义(上册)》展现出了极高的专业水准。不同于纯粹的理论推导，习题的讲解部分采用了非常清晰的“问题导向型”叙述方式。它不会一上来就抛出一个复杂的解题步骤，而是先简要回顾或点出本题涉及的核心原理和技巧，这种“点睛”式的引导，帮助读者快速定位到需要激活的知识模块。更难能可贵的是，对于一些关键步骤，它会给出不同思路的探讨，比如“方法一：代数逼近法”、“方法二：几何直观辅助”，这种多角度的解析极大地拓宽了读者的解题视野。我个人特别看重那些对“陷阱”的提示，书中会明确指出初学者容易在哪里犯错，为什么会那样想，并给出正确的思维导向。这种深入骨髓的教学智慧，让这份讲义不仅仅是题库，更是一份精炼的“解题心法秘籍”。

评分☆☆☆☆☆

这套丛书的封面设计给我留下了非常深刻的印象，它不仅仅是作为一本教材的包装，更像是一个通往知识殿堂的入口。装帧的质感很扎实，拿在手里有一种沉甸甸的实在感，让人立刻感受到其中内容的厚重与严谨。尤其是封面的配色和字体选择，透着一股古典与现代交织的美感，既不显得老气横秋，又能让人联想到数学分析这种学科的经典地位。我特别喜欢那种低调却又不失品位的细节处理，比如一些烫金或者局部哑光的运用，使得在不同的光线下观察，都能带来新的视觉体验。这本《数学分析习题课讲义(上册)》的视觉呈现，已经成功地建立了一种期待感，仿佛在告诉我，接下来的学习之旅会是充实而有深度的。翻开内页，纸张的质量也相当不错，印刷清晰锐利，对于这种需要大量公式和图表的专业书籍来说，这一点至关重要，长时间阅读下来也不会感到眼睛疲劳，这对于需要反复研读的习题集来说，是极其友好的设计，显示了出版方在细节上确实下了功夫，不是那种粗制滥造的应付之作。

评分☆☆☆☆☆

读完前几章的练习后，我深刻体会到这套讲义不仅仅是用来“做题”的，它更像是一本辅助理解抽象概念的“工具书”。对于像“一致连续性”或者“反常积分敛散性判别”这类抽象度极高的概念，单纯看课本的定义往往难以建立直观感受。但通过这些精心设计的习题，尤其是那些通过反例来界定概念边界的题目，那些原本漂浮在空中的定义仿佛一下子有了着落，变得可以触摸、可以操作。它迫使你不仅要知道“是什么”，更要明白“为什么是这样”以及“在什么条件下会失效”。这种通过解决实际问题来加深理论理解的方式，远比死记硬背来得有效和持久。可以说，这份讲义成功地架设了一座坚实的桥梁，连接了纯粹的数学理论与具体的计算实践，是每一个志在扎实掌握数学分析这门学科的严肃学习者不可多得的良伴。