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刘培杰数学工作室 著

图书标签:

• 数学
• 组合数学
• 拓扑学
• 离散数学
• 集合论
• 引理
• 数学分析
• 理论计算机科学
• 图论
• 算法

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560368061

版次：1

商品编码：12345951

包装：平装

开本：16开

出版时间：2018-03-01

用纸：胶版纸

编辑推荐

本书适合高等数学研究人员及高等院校数学专业教师及学生参考阅读。

内容简介

本书从一道加拿大数学奥林匹克试题谈起，详细介绍了私潘纳尔引理的内容及证明，并介绍了与之相关的IMY不等式、Boolea矩阵、图论、Dilworth定理、积集理论、高斯数学等问题。

目录

第1章 斯潘纳尔引理及IMY不等式
第2章 Boolea矩阵和图论证法
第3章 极大的无K个子集两两不相交的子集系的最小容量
第4章 Katona和Kleitman定理的推广
第5章 斯潘纳尔性质
第6章 有限子集系的斯潘纳尔系
第7章 直积与格
第8章 组合数学：发展趋势与例
第9章 G.C.Rota猜想
第10章 Riordan群的反演链及在组合和中的应用
第11章 两种反演技巧在组合分析中的应用
附录1 限制子集基数的斯潘纳尔系
附录2 Dilworth定理和极集理论
附录3 高斯数和q一类似
附录4 超图
附录5 关于斯潘纳尔性质的一个猜想的注记
参考文献
后记

好的，这是一本关于组合数学和格论的专著的简介，专注于介绍经典且重要的庞加莱对偶性在不同数学结构中的应用和体现。 --- 《庞加莱对偶性及其在组合拓扑与格论中的统一视角》 本书简介 本书旨在系统地梳理和深入探讨数学分析中一个跨越多个学科、极具洞察力的核心概念——庞加莱对偶性（Poincaré Duality）。我们将追溯这一对偶性在代数拓扑、离散几何以及抽象代数中的起源、演变与统一性，重点阐述它如何为理解复杂结构提供了一套简洁而强大的工具。本书的叙事结构力求清晰流畅，从基础的拓扑学概念出发，逐步过渡到更抽象的代数框架，最终揭示对偶性在不同领域间的深层联系。 第一部分：拓扑学基础与经典对偶性回顾 本部分为后续深入讨论奠定必要的拓扑学和代数基础，并回顾庞加莱对偶性的经典表述。 第一章：流形与同调基础 我们将首先引入流形的概念，这是庞加莱对偶性发挥作用的主要舞台。重点阐述拓扑流形、可定向性、定向流形上的链复形（Chain Complexes）和上同调群（Cohomology Groups）。我们将详细讨论奇异同调（Singular Homology）和奇异上同调（Singular Cohomology）的构造，并回顾欧拉示性数（Euler Characteristic）的定义及其在流形分类中的初步作用。 第二章：经典庞加莱对偶性 本章集中阐述最核心的结论：在$n$维紧致、连通、可定向流形 $M$ 上，相对于某个系数域 $F$，存在一个同构： $$H_k(M; F) cong H^{n-k}(M; F)$$ 我们将对该同构的构造进行详尽的代数和几何剖析，特别是依赖于拓扑边界算子和上链的“楔积”（Wedge Product）的构造过程。我们还将讨论对偶性在非紧致流形和带边界流形中的推广形式，例如法捆上同调（Cohomology with Compact Supports）。 第三章：拓扑的应用与案例分析 本章将通过具体的几何实例来检验经典对偶性的力量。我们将考察球面（Sphere）、环面（Torus）以及更一般的闭曲面（Closed Surfaces）的同调群，并展示对偶性如何精确地描述了“内部洞”的数量与其“外部洞”的数量之间的关系。同时，我们引入库雷特-多伊奇定理（Künneth Formula），探讨乘积流形上的上同调环结构，以及庞加莱对偶性在连接张量积与上同调乘积方面的作用。 第二部分：从几何到代数的泛化与深入 本部分将视角从具体的几何空间拓宽到更抽象的代数结构，探究对偶性在这些结构中扮演的角色。 第四章：交叉乘积与上同调环 在这一章中，我们将深入研究上同调环的结构，特别是庞加莱对偶性在乘积运算中的体现。我们详细定义上同调的乘积（Cup Product），并证明一个关键结果：在定向流形 $M$ 上，同调类 $alpha$ 和 $eta$ 的交叉积（Intersection Product）可以通过上同调类 $cup$ 的上界对偶关系来表达。这揭示了代数运算如何精确地编码了几何空间的相交性质。 第五章：层论与德拉姆对偶性 我们将把对偶性的概念提升到层论（Sheaf Theory）的框架下。重点讨论德拉姆上同调（de Rham Cohomology）作为光滑流形上上同调的实现，并证明德拉姆定理，即微分形式的空间（通过外导数构造的上链复形）与奇异上同调之间存在同构。随后，我们将引出上同调与层上同调的广义对偶关系，为研究更复杂的几何对象（如复流形）做准备。 第六章：格论与代数组合结构 本部分将讨论对偶性在纯代数结构中的深刻体现，特别是在有限格（Finite Lattices）和组合凸集（Combinatorial Convexity）中。我们考察莫比乌斯反演公式（Möbius Inversion Formula），并将其视为格论中对偶性的一个离散版本。通过引入域的对偶（Dual of a Domain）和面片复形（Face Complexes），我们展示如何利用格论的对偶性来研究抽象的组合结构，这些结构通常与几何剖分紧密相关。 第三部分：现代发展与前沿联系 本部分探讨庞加莱对偶性在现代数学中与其他领域的交叉点，特别是其在离散几何和代数几何中的体现。 第七章：离散对偶与组合拓扑 本章关注从连续空间到离散组合结构的桥梁——单纯复形（Simplicial Complexes）。我们将定义面（Faces）和链（Chains），并讨论在单纯复形上构造的上同调理论。这里的对偶性体现为：$k$ 维单纯形的数量与 $(n-k)$ 维“空穴”的某种关系。我们将引入法多面体（Normal Polytopes）的概念，并阐述对偶性如何连接不同维度的边界和法向量结构。 第八章：范畴论视角下的统一 为了实现对不同对偶形式的更高级抽象，我们采用范畴论的语言。我们将重访链复形和上链复形，将它们视为特定范畴中的对象。本章的目标是展示庞加莱对偶性并非一个孤立的定理，而是一个更一般性范畴论结构中“函子”之间的关系——即通过一个特定的“对偶函子”建立起的同构。这一抽象视角有助于理解对偶性在几何、代数和分析中保持一致性的根本原因。 第九章：结论与展望 本书最后总结了庞加莱对偶性作为数学语言的核心地位，强调了它在简化复杂系统、提供结构性洞察方面的不可替代性。我们将简要提及在非交换几何和代数K理论中对该对偶性概念的最新探索，展望其在未来数学研究中的持续影响力。 --- 本书适合具有扎实线性代数、基础拓扑学知识，并对抽象代数和几何结构有浓厚兴趣的研究生、研究人员及资深数学爱好者阅读。书中包含了大量的例题和习题，旨在帮助读者深入掌握理论并提升解决问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

我最近在图书馆里偶然翻到这本《Sperner引理》，它的名字引起了我的兴趣。作为一个喜欢挑战自己思维极限的人，我对那些能够触及数学本质的定理总是特别着迷。这本书的装帧风格非常朴素，没有花哨的装饰，让我觉得它更专注于内容本身，这一点我非常欣赏。我翻开几页，里面的文字和图表就展现出一种严谨而又富有启发性的特质。虽然我还没有深入阅读，但从初步的浏览中，我能感受到作者在组织内容上的用心，逻辑清晰，结构合理。我个人尤其喜欢那些能够引发思考的数学读物，能够帮助我从不同的角度去理解一个概念，并且能够将抽象的理论与现实世界中的某些现象联系起来。我希望能从这本书中找到解答一些我一直以来困扰我的数学问题的线索，或者能够激发我新的研究方向。

评分☆☆☆☆☆

这次购入《Sperner引理》这本书，纯粹是源于一种对未知领域的好奇心。我对它的内容了解不多，但“Sperner”这个名字，以及“引理”这个词，都让我觉得它可能涉及一些基础但重要的数学概念。我是一个喜欢通过阅读来拓展知识边界的人，尤其对那些在数学领域中具有奠基性意义的成果感兴趣。这本书的封面设计比较简洁，没有过于复杂的图案，反而有一种回归本真的感觉，让我觉得内容会更加扎实。我期待着这本书能够以一种易于理解的方式，向我介绍Sperner引理的起源、发展以及它在数学中的地位。我希望它不仅仅是一本定理的讲解手册，更能引导我思考这个引理的深刻含义，以及它可能带来的数学洞察。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计就给我一种沉静而深邃的感觉，封面上那些抽象的几何图形和线条，仿佛预示着书中将要探讨的数学世界的奥秘。拿到手后，书的纸张触感细腻，印刷清晰，装帧也十分考究，这无疑为阅读体验增添了不少好感。我一直对那些看似简单却蕴含深刻道理的数学定理充满好奇，而“Sperner引理”这个名字本身就带着一种神秘感，让我忍不住想要一探究竟。尽管我并非专业的数学家，但对数学的热爱让我愿意花时间和精力去理解那些精妙的证明和深刻的内涵。这本书的出现，仿佛是我在浩瀚的数学海洋中发现了一座引人入胜的小岛，充满了未知与惊喜。我期待着通过这本书，能够对Sperner引理有一个更全面、更深入的认识，不仅仅是理解它的表述，更重要的是领会它背后的思想逻辑和应用价值，也许它能为我打开一扇新的思维大门。

评分☆☆☆☆☆

我最近收到了《Sperner引理》这本书，它的封面设计有一种独特的艺术感，结合了数学符号和抽象图形，营造出一种既严谨又富有想象力的氛围。这本书的整体装帧非常精致，纸张的质感也很好，拿在手里就有一种值得珍藏的感觉。我对数学理论一直抱有极大的敬畏之心，也喜欢通过阅读来深入探索那些改变了我们认知世界的思想。Sperner引理这个名字对我来说并不陌生，但我一直渴望能找到一本能够系统性地、深入浅出地讲解它的书籍。我希望这本书能够不仅限于理论的陈述，更能引导我理解引理的证明过程，体会其中精妙的数学推理，并能让我认识到它在不同数学分支中的应用和延展，从而丰富我对数学世界更深层次的认知。

评分☆☆☆☆☆

我是在一个数学爱好者论坛上看到有人推荐《Sperner引理》这本书的，虽然我对这个引理的具体内容了解不多，但周围人的积极评价让我对它产生了浓厚的兴趣。这本书的外观设计给我的第一印象是相当专业的，不是那种哗众取宠的风格，而是透露出一种严谨和学术的氛围。拿到书后，我迫不及待地翻阅了一下，书中的排版布局以及公式的呈现方式都显得十分规范，这让我对阅读体验有了很高的期待。我个人一直对那些能够解释复杂现象的数学工具非常着迷，而引理往往是构建更宏大理论的基石。我希望这本书能够以清晰的语言和恰当的例子，帮助我理解Sperner引理的核心思想，并能让我领略到它在数学研究中的重要性，甚至也许能为我解决一些实际问题提供新的思路。