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内容简介

　　《非线性发展方程及其孤立波解/普通高等教育“十三五”规划教材》主要研究有孤立波解的非线性发展方程的各种求解方法，如反散射变换方法、Backlund变换方法、Darboux变换方法、相似约化方法、Hirota双线性方法以及若干种函数变换方法等。此外还介绍了有物理背景的非线性偏微分方程孤立波解形成的机理和非线性偏微分方程可积性的一些知识。该书可以作为应用数学、应用物理以及与非线性科学相关研究方向研究生的教材或参考书，也可作为高年级大学生、从事非线性科学研究的科研人员和教师的学习和科研参考用书。

内页插图

目录

第1章 典型方程及其孤立波解
1．1 历史回顾
1．2 孤立波——非线性会聚和色散现象的巧妙平衡
1．2．1 波动中的非线性会聚现象
1．2．2 波动中的色散
1．2．3 两种效应的平衡——KdV方程的解释
1．3 KdV方程及其孤立波解
1．3．1 KdV方程的导出
1．3．2 KdV方程的孤立波解
1．3．3 广义KdV方程的孤立波解
1．4 非线性Schr6dinger方程与光孤子
1．4．1 非线性Schrodinger方程的导出
1．4．2 非线性Schrodinger方程的单孤立波解
1．4．3 非线性Schrodinger方程行波形式的孤立波解
1．5 非线性Sine一Gordon方程
1．5．1 Josephson效应和非线性Sine一（}ordon方程
1．5．2 非线性Sine-Gordon方程的孤立波解
1．5．3 非线性Sine-Gordon方程的呼吸子解
1．6 Burgers方程及其孤立波解
1．6．1 交通模型——Burgers方程的导出
1．6．2 Burgers方程的孤立波解
1．6．3 Hopf—Cole变换

第2章 反演散射方法与多孤立波解
2．1 散射与反散射问题
2．1．1 单孤子
2．1．2 双孤子解
2．2 散射数据随时间的演化
2．3 解KdV方程反散射法的具体过程和反演定理的证明
2．4 KdV方程的n孤子解
2．4．1 单孤子解
2．4．2 双孤子解
2．4．3 n孤子解
2．5 反演散射法的推广
2．5．1 Lax方程
2．5．2 AKNS方法
2．6 非线性Schr6dinger方程的反演散射解法
2．6．1 基本思路
2．6．2 非线性Schr6dinger方程Lax对的确定
2．6．3 直接散射问题（本征值问题）
2．6．4 散射数据随时间￡的演化
2．6．5 逆散射变换
2．6．6 孤子解的构造

第3章 BJicklund变换
3．1 BJicklund变换的定义
3．2 KdV方程的B／icklund变换
3．3 B／icklund变换与AKNS系统
3．4 非线性叠加公式
3．4．1 KdV方程的非线性叠加公式
3．4．2 Sine-Gordon方程的非线性叠加公式
3．4．3 互换定理的证明
3．5 B／icklund变换与反散射之间的关系

第4章 Darboux变换
4．1 概述
4．2 KP方程的Darboux变换
4．3 Darboux变换方法求耦合KdV-MKdV系统的新解
4．4 广义Darboux变换求解KdV方程和非线性Schradinger的畸形波解
4．4．1 KdV方程广义Darboux变换
4．4．2 Schradinger方程的广义Darboux变换

第5章 Painlev性质与相似约化
5．1 可积性与Painlev6性质
5．2 WTC算法
5．3 相似变换与相似解
5．3．1 引言
5．3．2 偏微分方程的经典Lie群约化法
5．4 非经典无穷小变换方法
5．5 求相似解的直接方法（CK方法）

第6章 Hirota双线性方法
6．1 Hirota双线性变换的相关概念与性质
6．1．1 基本概念
6．1．2 Hirota双线性方法的具体步骤
6．2 Hirota方法用于高阶方程和变系数方程
6．2．1 四阶非线性Schr6dinge：方程的Hirota方法求解
6．2．2 求解2+1维Kadomtsev-Petviashvili型方程的：lcklund变换和孤子解
6．3 非线性偏微分方程的几种解法之间的关系
6．3．1 引言
6．3．2 Bicklund变换法和Hirota双线性方法的区别与联系

第7章 特殊变换法求解非线性偏微分方程
7．1 齐次平衡方法
7．1．1 方法概述
7．1．2 用齐次平衡方法求解KdV-Burgers方程
7．1．3 用齐次平衡方法求解非线性方程组
7．2 函数展开方法
7．2．1 tanh函数法
7．2．2 Jacobi椭圆函数展开法
7．2．3 函数展开法的扩展
7．3 首次积分法
7．3．1 首次积分法的基本原理
7．3．2 利用首次积分法求解Fitzhugh-Nagumo方程
7．3．3 Fisher方程的精确解
7．4 Wronskian行列式法

附录A 椭圆函数与椭圆方程
A1 椭圆函数
A1．1 问题的提出
A1．2 椭圆积分的定义
A1．3 椭圆函数
A1．4 椭圆函数的性质
A2 Jacobi椭圆函数与椭圆方程
附录B 首次积分与一阶偏微分方程
B1 一阶常微分方程组的首次积分
B1．1 首次积分的定义
B1．2 首次积分的性质和存在性
B2一阶线性偏微分方程的解法
B2．1 一阶线性齐次偏微分方程
B2．2 一阶拟线性偏微分方程
附录C 与波动相关的概念和术语
C1 基本概念
C2 线性波与非线性波
C3 色散波
C4 线性波和非线性波的色散
C4．1 线性波的色散
C4．2 非线性波的色散
参考文献

前言/序言

　　2008年3月由清华大学出版社出版的《非线性偏微分方程引论》首次与读者见面。近十年来，非线性科学在发展中确立了自己的科学地位，作为研究非线性偏微分方程及其孤立波解经典理论和方法的《非线性偏微分方程引论》仍然不可多得。当然我们必须顾及学科的最新发展，于是在北京邮电大学研究生院“2016年研究生教育教学改革与研究项目”的支持下，由北京邮电大学出版社出版本书的新版本，书名改为《非线性发展方程及其孤立波解》。本书与清华大学出版社出版的《非线性偏微分方程引论》的不同之处在于：
　　（1）根据非线性偏微分方程各种解法的使用和发展情况，我们将清华大学出版社版《非线性偏微分方程引论》中的第6章第2节“Darboux变换方法‘’和第6章第1节”Hirota双线性方法“在增加了新的内容之后，分别单独成章为”第4章Darboux变换“和”第6章Hirota双线性方法“，除了讲述两种方法的基本应用之外，还讲述了它们的拓展应用。
　　（2）在本书的”第7章特殊变换方法“中，增加了”Wronskian行列式法‘’一节，因为求解孤子方程解析n孤子解时，Wronskian行列式法克服了双线性方法和反散射变换方法在行列式微分求导时的难题，可以直接验证解。因此成为应用广泛且十分高效的求解非线性偏微分方程的方法。
　　（3）删除了清华大学出版社出版的《非线性偏微分方程引论》中“群的概念及其在微分方程中的应用简介”一节，因为我们虽然在“相似约化”方法中应用了群的表示方法，但并未涉及群的概念与原理，即原来的这部分内容与其他内容联系不大，为了节省篇幅，在本书中删除了这部分内容。
　　（4）将清华大学出版社出版的《非线性偏微分方程引论》中的“第4章可积性与Painleve性质”和“第5章相似变换与相似解”合并为现在的“第5章Painleve性质与相似约化”，使得结构更加紧凑，便于两项内容联系性地理解。
　　清华大学出版社出版的《非线性偏微分方程引论》一直在北京邮电大学研究生学位课“应用非线性偏微分方程”的课上作为教材使用，选修这门课的同学们为本书修订内容的选定做出了积极的贡献，这里特别感谢杜仲、管乐阳、马腾滕、王晓坡、陈寅楠等同学。特别感谢北京邮电大学刘文军副教授对本书修订提出的宝贵意见和建议。
　　“深入浅出，使学生感到不难学”一直是笔者在教学过程中和教材编写中所追求的朴素目标。为了达成这一目标，对内容透彻地理解，然后用逻辑性的结构形式和语言形式把它们表示出来就成了本书的重要目标，但由于本人水平有限，可能还存在很多暂未发现的瑕疵，欢迎各位同行、读者批评指正。
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