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韩茂安 著

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• 数学分析
• 微积分
• 实分析
• 高等数学
• 数学教材
• 基础数学
• 解析学
• 数学学习
• 数学参考书
• 数学理论

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030550460

版次：31

商品编码：12249277

包装：平装

开本：16开

出版时间：2017-11-01

页数：148

字数：187000

正文语种：中文

内容简介

《数学分析基本问题与注释》是作者在上海师范大学主讲数学分析一学期课程的教学配套用书. 《数学分析基本问题与注释》的主要内容可分为两部分，一部分是针对教材的每一节内容列出了五个基本问题,学生可以在课前预习时参考，通过问题带领，有的放矢地让学生自学教材，理解了这些问题就领会了所学内容. 另一部分是作者根据该节内容和所列问题，结合自己的理解和体会以及适量例题给出的要点讲解与注释，以帮助学生正确理解和掌握课本知识. 此外，各章还配备了测试题及其提示.

目录

目录
前言
第1章 实数集与函数 1
1.1 实数 1
1.1.1 基本问题 1
1.1.2 要点讲解与注释 1
1.1.3 补充材料：戴德金分划简介 5
1.2 数集和确界原理 6
1.2.1 基本问题 6
1.2.2 要点讲解与注释 7
1.3 函数概念 9
1.3.1 基本问题 9
1.3.2 要点讲解与注释 10
1.4 具有某些特性的函数 14
1.4.1 基本问题 14
1.4.2 要点讲解与注释 14
1.5 第1章测试题与提示 21
1.5.1 测试题 21
1.5.2 提示 22
第2章 数列极限 23
2.1 数列极限概念 23
2.1.1 基本问题 23
2.1.2 要点讲解与注释 23
2.2 收敛数列的性质 30
2.2.1 基本问题 30
2.2.2 要点讲解与注释 30
2.3 数列极限存在的条件 35
2.3.1 基本问题 35
2.3.2 要点讲解与注释 36
2.4 第2章测试题与提示 43
2.4.1 测试题 43
2.4.2 提示 44
第3章 函数极限 46
3.1 函数极限的概念 46
3.1.1 基本问题 46
3.1.2 要点讲解与注释 47
3.2 函数极限的性质 52
3.2.1 基本问题 52
3.2.2 要点讲解与注释 52
3.3 函数极限存在条件 55
3.3.1 基本问题 55
3.3.2 要点讲解与注释 55
3.4 两个重要的极限 58
3.4.1 基本问题 58
3.4.2 要点讲解与注释 59
3.5 穷小量与穷大量 61
3.5.1 基本问题 61
3.5.2 要点讲解与注释 61
3.6 第3章测试题与提示 65
3.6.1 测试题 65
3.6.2 提示 65
第4章 函数的连续性 68
4.1 连续性概念 68
4.1.1 基本问题 68
4.1.2 要点讲解与注释 68
4.2 连续函数的性质 71
4.2.1 基本问题 71
4.2.2 要点讲解与注释 71
4.3 初等函数的连续性 76
4.3.1 基本问题 76
4.3.2 要点讲解与注释 76
4.4 第4章测试题与提示 81
4.4.1 测试题 81
4.4.2 提示 82
第5章 导数和微分 85
5.1 导数的概念 85
5.1.1 基本问题 85
5.1.2 要点讲解与注释 85
5.2 求导法则 88
5.2.1 基本问题 88
5.2.2 要点讲解与注释 88
5.3 参变量函数的导数 90
5.3.1 基本问题 90
5.3.2 要点讲解与注释 90
5.4 高阶导数 92
5.4.1 基本问题 92
5.4.2 要点讲解与注释 93
5.5 微分 94
5.5.1 基本问题 94
5.5.2 要点讲解与注释 95
5.6 第5章测试题与提示 96
5.6.1 测试题 96
5.6.2 提示 97
第6章 微分中值定理及其应用 100
6.1 拉格朗日中值定理与函数单调性 100
6.1.1 基本问题 100
6.1.2 要点讲解与注释 100
6.2 柯西中值定理与不定式极限 104
6.2.1 基本问题 104
6.2.2 要点讲解与注释 104
6.3 泰勒公式 107
6.3.1 基本问题 107
6.3.2 要点讲解与注释 107
6.4 函数的极值与最值 111
6.4.1 基本问题 111
6.4.2 要点讲解与注释 111
6.5 函数的凸性与拐点 114
6.5.1 基本问题 114
6.5.2 要点讲解与注释 115
6.6 函数的图像 119
6.6.1 基本问题 119
6.6.2 要点讲解与注释 119
6.7 第6章测试题与提示 120
6.7.1 测试题 120
6.7.2 提示 121
第7章 实数的完备性 125
7.1 关于实数集完备性的基本定理 125
7.1.1 基本问题 125
7.1.2 要点讲解与注释 125
7.2 上极限和下极限 126
7.2.1 基本问题 126
7.2.2 要点讲解与注释 126
第8章 教学与历史回顾 129
8.1 再识“一元微分学” 129
8.2 微积分发展简介 130
8.2.1 引言 130
8.2.2 牛顿的流数术 131
8.2.3 莱布尼茨的微积分 132
8.2.4 发明权之争 133
8.2.5 柯西与分析学基础 134
8.2.6 魏尔斯特拉斯的严格化 135
8.2.7 微积分学若干概念形成简史 136
8.2.8 微积分学的内容组成、所揭示的矛盾和向现代数学的拓展 137
参考文献 140

精彩书摘

　　《数学分析基本问题与注释》：
　　上述命题的证明中出现名词“必要性”与“充分性”.我们来解释一下它们的含义.这个命题中，“x>y”是一个明确的结论，而“存在正整数n使xn>1yn”是一个具体的条件.由前者推出后者就是证明条件的必要性，而由后者导出前者则是证明充分性.一般地，假设有这样一个命题或定理：如果条件A成立，则结论B必成立.这个命题的逆否命题是：如果结论B不成立，则条件A必不能成立.因此，条件A足以保证结论B成立，也即结论B就是条件A的必然结果.我们把A称为B的充分条件.而对这样一个命题的证明往往不去明确充分性和必要性.然而，很多命题或定理是以这样的形式出现的：结论B成立的充要条件是条件A成立，或者，结论B成立当且仅当条件A成立.在这个叙述中，结论B先列了出来.在证明这样一类命题或定理的时候，往往需要明确充分性与必要性，其中必要性部分就是在“结论B成立”的假设下推出条件A，简记为B=A，而充分性部分则是在“条件A成立”的假设下证明B，记为A=B.我们再看一个具体例子.前面我们利用无限循环的无限小数表示定义了有理数.进一步可证：实数x是有理数的充分必要条件是存在互素整数m和n，且n6=0，使x=m=n.这里我们不打算证明这个命题，只是借着它来解释充分性和必要性.利用“x是有理数”来导出“x=m=n”就是证明必要性，利用“x=m=n”来导出“x是有理数”就是证明充分性.这个命题表明条件“x=m=n”既是“x是有理数”的必要条件，也是“x是有理数”的充分条件.
　　……

《探索无尽的数学世界：从微积分的黎明到分析的璀璨星辰》 数学分析，是数学皇冠上的一颗璀璨明珠，它以严谨的逻辑、深刻的思想和广泛的应用，构建起我们理解世界运动规律的基石。从描述物体运动的微积分，到研究函数性质的实变函数，再到刻画连续性和收敛性的拓扑学，数学分析的疆域辽阔而深邃，孕育了无数令人惊叹的智慧结晶。本书，并非直接教授《数学分析基本问题与注释》这一具体著作的内容，而是旨在带领读者走进数学分析的宏大世界，从其历史的起源、核心概念的演进，到其在科学和技术领域中不可或缺的作用，勾勒出一幅壮丽的画卷。我们将一同探索那些塑造了现代数学面貌的伟大思想，理解那些引领我们穿越复杂世界、洞察本质规律的数学工具。 一、 微积分的诞生：点燃科学革命的火花 一切的起点，要追溯到十七世纪，当牛顿和莱布尼茨各自独立地发展出微积分。这门革命性的学科，以“变化”为核心，为解决物理学中的各种难题提供了前所未有的强大工具。想象一下，我们如何精确地描述一个物体在任意时刻的速度？又如何计算一个不规则形状的体积？微积分正是解答这些问题的钥匙。 微分：瞬息万变的观察者。 微分的核心思想在于“无限小”的分割。通过引入“极限”的概念，我们能够考察函数在趋近某一点时，其变化率的“瞬时”值。这就像将一个物体无限放大，观察其在某个极小区间内的行为，从而得知其在那个精确时刻的运动状态。牛顿将微分应用于描述物体的运动，解决了天体运行的轨道问题，也为后来的物理学发展奠定了基础。莱布尼茨则以更加系统化的符号表示，使微积分得以更广泛地传播和应用。 积分：累积无限的智慧。 如果说微分是观察“瞬时”的变化，那么积分就是将这些“瞬时”的变化累积起来，得到一个整体的结果。积分的核心在于“无限分割”和“累加”。通过将一个区域分割成无数个无穷小的部分，然后将这些部分的“量”加起来，我们就能计算出不规则图形的面积，甚至曲线的长度。积分在计算各种物理量，如功、能量、质量分布等方面发挥着至关重要的作用。 微积分的出现，如同一把解锁自然之谜的金钥匙，它不仅彻底改变了物理学，还深刻影响了工程学、经济学乃至生物学。它让我们能够量化和预测世界的动态变化，从行星的轨道到流体在管道中的流动，都臣服于微积分的严谨逻辑之下。 二、 实变函数：更广阔的数轴与更精细的度量 随着微积分的广泛应用，数学家们开始意识到，在处理更复杂的问题时，需要更深刻地理解“函数”和“集合”的概念。这便引出了实变函数理论。 集合论的基石： 实变函数论建立在集合论的坚实基础上。集合，是数学的基本语言，它允许我们精确地描述事物的“存在”与“归属”。通过集合的概念，我们可以构建各种类型的数集，如实数集、有理数集，并研究它们之间的关系。康托尔在集合论上的开创性工作，揭示了无穷集合的奇妙世界，为实变函数的发展提供了理论支撑。 测度的力量： 在实变函数中，一个核心概念是“测度”。测度，可以看作是比长度、面积、体积更一般的“量”的概念。Lebesgue积分的出现，是对黎曼积分的重大革新。黎曼积分虽然在许多情况下有效，但对于一些“病态”函数，其积分难以计算。Lebesgue积分通过测度的思想，能够更灵活、更广泛地处理函数的积分问题，特别是在概率论和泛函分析中，其重要性不言而喻。 函数的“形”与“质”： 实变函数论深入研究函数的各种性质，例如连续性、可积性、可微性等等。它让我们能够理解那些非光滑、甚至“丑陋”但却在现实世界中存在的函数。通过这些研究，我们对函数的行为有了更深刻、更全面的认识，也为更高级的数学分支奠定了基础。 实变函数理论，如同为我们打开了一个更精细的观察世界的窗口，它让我们能够处理那些在经典微积分框架下显得棘手的数学对象，并从中挖掘出深刻的数学规律。 三、 拓扑学：空间中的“弹性”与“连通性” 当我们从研究“量”和“变化”转向研究“形状”和“空间”的本质属性时，拓扑学便应运而生。拓扑学，被誉为“橡皮膜几何学”，它研究的是那些在连续变形（拉伸、弯曲，但不撕裂、不粘合）下保持不变的性质。 空间的“身份识别”： 在拓扑学看来，一个杯子和一个甜甜圈在拓扑上是等价的，因为它们都可以通过连续变形互相转化。它们都只有一个“洞”。而一个球体和一个陀螺则不同，球体没有洞，而陀螺有一个。拓扑学关注的是空间的“连通性”、“孔洞的数量”、“边界的性质”等“拓扑不变量”。 度量空间的推广： 拓扑学在一定程度上推广了度量空间的概念。在度量空间中，我们可以精确测量两点之间的距离。而在拓扑空间中，我们只需要关心点与点之间的“邻近性”和“连续性”。这种抽象化的处理，使得拓扑学能够处理比度量空间更广泛、更一般的空间。 洞察结构的本质： 拓扑学在研究函数空间、流形等复杂数学对象时，提供了强大的工具。它帮助我们理解这些空间的内在结构，以及它们之间的关系。例如，在微分几何中，拓扑学是研究曲面性质的基础；在代数拓扑中，它则与代数结构紧密联系，研究空间的“同调”和“同伦”等不变性质。 拓扑学以其独特的视角，帮助我们摆脱了具体形状的束缚，直达空间结构的本质。它在纯粹数学的研究中扮演着核心角色，并且在计算机科学（如网络拓扑）、物理学（如凝聚态物理）等领域也展现出重要的应用价值。 四、 分析学的广泛影响与未来展望 数学分析的脉络，从微积分的诞生，到实变函数对数轴的精细刻画，再到拓扑学对空间结构的抽象洞察，构成了一个有机整体。这门学科不仅是数学的“语言”和“工具”，更是支撑现代科学技术发展的基石。 科学研究的引擎： 从宇宙的演化到微观粒子的行为，从经济模型的构建到生物信号的处理，几乎所有科学领域都离不开数学分析的强大力量。物理学家利用微分方程描述运动和场，工程师利用积分计算结构的承载能力，经济学家利用微积分分析市场动态，计算机科学家利用分析学设计算法和处理数据。 人工智能的“大脑”： 在飞速发展的人工智能领域，数学分析更是扮演着至关重要的角色。深度学习的训练过程，本质上是一个优化问题，依赖于梯度下降等基于微积分的算法。图像识别、自然语言处理等各种AI应用，其底层都离不开对大量数据的数学分析。 未来的探索： 数学分析的疆域仍在不断拓展。泛函分析、偏微分方程、非线性分析等分支，正以前所未有的深度和广度，挑战着人类的智慧极限。新的数学思想和方法层出不穷，它们将继续引领我们探索数学的未知领域，并为解决人类面临的重大挑战提供新的思路和工具。 结语 本书将带领读者，以一种宏观而深入的视角，领略数学分析的魅力。我们并非直接提供某本具体书籍的内容摘要，而是旨在点燃读者对这门学科的兴趣，理解其核心思想的演进，感受其强大的普适性，并激发对数学世界更深层次的探索欲望。数学分析，是一场关于“量”、“变化”、“空间”和“结构”的永恒追寻，它连接着抽象的逻辑与真实的物理世界，是人类智慧的结晶，也是通往未来无限可能的阶梯。

评分☆☆☆☆☆

我曾以为，数学分析的学习就是死记硬背定义和定理，然后熟练运用各种技巧去做题。然而，这本书彻底颠覆了我的这种认知。它让我明白了，数学分析的魅力，恰恰在于那些“不显而易见”的深刻之处。作者并没有回避那些看似简单却至关重要的概念，而是用一种非常接地气的方式，去剖析它们背后的逻辑和思想。很多时候，我会在阅读过程中反复思考：“原来是这样！”，或者“我以前怎么就没注意到这个细节？”。特别是书中对某些“基本问题”的深入探讨，让我开始重新审视自己过去学习中存在的盲点。比如，在理解极限的ε-δ定义时，我以前只是机械地记住，但这本书却通过循序渐进的引导，让我真正理解了“任意性”和“存在性”之间的微妙平衡，以及它们如何构成了数学分析严谨性的基石。那些看似枯燥的定义，在作者的笔下，都变成了一个个引人入胜的故事，让我忍不住想要深入了解。这种“拨云见日”的感觉，是其他教材很难给予的。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学抱有强烈兴趣的业余爱好者，我常常在自学过程中遇到瓶颈。市面上的数学分析书籍，要么过于学院派，要么过于科普化，很难找到一本既能满足我求知欲，又能提供足够严谨性的读物。幸运的是，《数学分析基本问题与注释》这本书的出现，像是一股清流，瞬间驱散了我长久以来的迷茫。它不是一本简单的教科书，更像是一位循循善诱的良师益友。书中对“基本问题”的精辟解读，让我醍醐灌顶。许多我曾经囫囵吞枣或者一知半解的概念，通过这本书的注释和阐述，都变得清晰明了。我尤其欣赏它处理“疑难杂症”的方式，不是简单地给出答案，而是引导读者去思考，去探索，去发现问题的根源。这种“授人以渔”的学习方式，让我受益匪浅。这本书让我感觉，数学分析不再是高高在上的象牙塔，而是可以通过努力去理解和掌握的知识体系。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我之前对数学分析的感受，用“爱恨交织”来形容一点也不为过。一方面，我深知它在现代科学中的重要性，另一方面，那些抽象的概念和复杂的证明，却常常让我望而却步。市面上充斥着各种数学分析教材，但很多都过于注重形式，而忽略了内容背后的思想精髓。这本书的出现，恰恰弥补了这一遗憾。它不像其他书那样，一股脑地抛出大量的定义和定理，而是专注于那些最核心、最基础的“问题”。通过对这些问题的深入分析和注释，作者巧妙地引导读者去理解数学分析的内在逻辑和发展脉络。我发现，很多困扰我的难题，在这本书的引导下，都迎刃而解。它并没有提供“捷径”，而是让我看到了一条脚踏实地的通往理解的道路。这种“从根本上解决问题”的方法，让我对数学分析的学习态度发生了翻天覆地的变化，也让我重新找回了学习的乐趣。

评分☆☆☆☆☆

当我翻阅《数学分析基本问题与注释》这本书时，我感受到了一种前所未有的启发。许多在我学习过程中长期困扰我的概念，在这本书的细致梳理下，都变得豁然开朗。它没有像其他教材那样，仅仅是罗列定义和公式，而是深入挖掘了这些概念的“来龙去脉”，探讨了它们产生的背景和内在的逻辑联系。我印象深刻的是书中对于某些“基本问题”的深入剖析，这些问题看似简单，但往往是理解整个数学分析体系的关键。作者用一种非常清晰且富有洞察力的方式，将复杂的数学思想“解构”并“重组”，让我能够更直观地把握数学分析的精髓。这本书对我最大的价值在于，它不仅教授了我“是什么”，更重要的是，它引导我思考了“为什么”。这种探究式的学习体验，让我对数学分析产生了更深层次的敬畏和热爱，也让我更有信心去探索更广阔的数学领域。

评分☆☆☆☆☆

这本书的出现，简直像为我这样在数学分析的海洋中挣扎了许久的“旱鸭子”送上了一艘坚固的救生艇。我一直认为数学分析是所有数学分支的基石，但很多时候，那些抽象的定义和严谨的证明，让我感觉离真理越来越远，反而产生了一种挫败感。市面上有很多数学分析的教材，但要么过于晦涩，要么过于浅显，始终找不到一本能真正打动我、又能让我有所收获的书。我曾经花了很多时间去啃那些经典的教材，但往往是“书读百遍，其义不明”，很多概念的理解都停留在字面意思，深层次的思考总是被那些密密麻麻的符号和符号背后的逻辑链条给打断。直到我翻开这本《数学分析基本问题与注释》，我才仿佛看到了黎明前的曙光。它没有一开始就抛出令人望而生畏的定理，而是从最核心、最根本的问题入手，像是剥洋葱一样，一层层地揭示数学分析的本质。那些看似“显而易见”的定义，在这本书的引导下，都变得有了温度和生命力。它不仅仅是告诉你“是什么”，更重要的是，它试图告诉你“为什么是这样”。这种探究精神，让我重新燃起了对数学的热情，也让我对未来更深入的学习充满了期待。