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内容简介

　　《现代数学基础丛书·典藏版48：随机模型的密度演化方法》论述随机模型的密度演化方法及其应用，目的是将随机模型通过微分方程用完全确定的动力系统描述和研究。《现代数学基础丛书·典藏版48：随机模型的密度演化方法》作者于80年代提出并研究了状态转移计数过程，得到了一般的转移频度公式、吸收分布公式、更新分布公式和进入概率公式。在此基础上研究并解决了可修系统、排队系统和库存系统等随机运筹模型中的问题，《现代数学基础丛书·典藏版48：随机模型的密度演化方法》是作者这些研究工作的总结。《现代数学基础丛书·典藏版48：随机模型的密度演化方法》特点是分析方法和概率方式并重、相互补充、相互促进。
　　《现代数学基础丛书·典藏版48：随机模型的密度演化方法》适于高等学校数学系概率和运筹专业的研究生和教师，以及科研人员阅读。

内页插图

目录

前言

第一章 转移频度公式
§1．1 向量马氏过程
1．1．1 离散马氏链
1．1．2 连续马氏链
1．1．3 向量马氏过程
§1．2 状态转移计数过程
1．2．1 离散马氏链情形
1．2．2 有界马氏链情形
1．2．3 规则马氏链情形
1．2．4 向量马氏过程情形
参考文献

第二章 位相型分布
§2．1 有限位相型（PH）分布
2．1．1 PH分布的定义和性质
2．1．2 PH分布的运算封闭性
§2．2 无限位相型（IPH）分布
2．2．1 离散IPH分布
2．2．2 连续IPH分布
§2．3 求联合分布问题
2．3．1 向量马氏过程（VMP）方法
2．3．2 PH更新过程的继承性
参考文献

第三章 可靠性模型
§3．1 指数寿命串、并联系统
3．1．1 两不同部件串联可修系统
3．1．2 两相同部件并联可修系统
§3．2 带关闭规则的串联系统
3．2．1 部件1有Erlang寿命情形
3．2．2 部件1有一般寿命情形
§3．3 易腐物品库存决策
参考文献

第四章 经典排队模型
§4．1 两个基本的单服务台排队
4．1．1 经典的M/G/1排队系统
4．1．2 经典的GI/M/1排队系统
§4．2 单服务台一般到达排队
4．2．1 到达顾客的二维离散马氏链
4．2．2 服务顾客的二维马氏过程
§4．3 无穷服务台排队
4．3．1 队长分布的表达式
4．3．2 与忙期有关的分布
参考文献

第五章 流体模型
§5．1 输入恒定输出有随机中断
5．1．1 库存有限、指数指数交替更新环境
5．1．2 库存无限、指数一般交替更新环境
§5．2 输入和输出都有随机中断
5．2．1 联合平稳分布的谱展式
5．2．2 谱展式的有效计算方法
参考文献

第六章 其它排队模型
§6．1 带N-策略休假的M/G/1排队系统
§6．2 服务台可修的G1/G/1排队系统
6．2．1 排队等价性
6．2．2 可靠性和可用性
§6．3 有清理且竞争再入的M/G/1排队系统

参考文献

前言/序言

　　前苏联数学大师柯尔莫哥洛夫在年轻时就以两篇名著《概率论的基本概念》和《概率论的解析方法》赢得了莫斯科大学的教授席位。第一篇名著奠定了概率论在数学科学中的地位，这是众所周知的事。有人认为（见卢侃和孙建华编译的《混沌学传奇》第394页），第二篇名著对马尔科夫过程与爱因斯坦、普朗克工作之间的关系指明了轮廓。
　　柯氏在第二篇名著中对马氏过程的转移概率函数，使用了一组确定的微分方程来描述，这就是后人所称的著名柯氏微分方程组。柯氏通过微分方程在随机模型和古典力学之间建立了某种联系，或许混沌学传奇的作者指的正是这一思想。
　　众所周知，马氏过程是已知现在，将来与过去无关，但许多复杂的随机模型并不满足这一条件。换句话说，我们必须面对非马氏过程，它不仅与现在状态而且与（整个）先期历史有关，柯氏在他的名著中曾指出可以用同样的方法来避免先期历史的影响，但没有深入展开讨论。
　　然而，在排队论的研究进程中，有许多先辈的工作，如Erlang的阶段化、Kosten和Cox的补充变量。Neuts的矩阵解析途径，他们通过引进离散或连续补充变量使非马氏过程扩维后变成向量马氏过程，为实现柯氏的思路做了不少探索。
　　本书与柯氏第二篇名著的论题有关，将沿着前人开辟的道路继续前进，探讨随机模型的密度（或分布）演化方法及其应用。目标是试图将随机模型纯粹无规的演化行为通过密度的偏微积分方程组用完全确定的动力系统去描述和研究。密度演化方法不仅能用来研究纯随机模型，而且是研究非线性动力系统复杂演化行为的新工具，见Lasota和Mackey的专著：《Chaos，Fractals，and Noise-Stochastic Aspects of Dynamics》。普里高津在其《确定性的终结》一书中甚至认为这是建立新自然法则的统一理论。
　　要想对一般的向量马氏过程建立密度演化方法，必定会涉及诸如偏微积分方程组成立的条件，解的存在性和唯一性，各种分析运算的合理性和可交换性等等理论问题。但本书重点是针对具体的随机模型探讨如何构造向量马氏过程，然后借助状态转移图去建立偏微积分方程组并求解，因此为了更贴切研究重点，所以在书中我们使用了向量马氏过程（VMP）方法一词。而书名采用《随机模型的密度演化方法》则是为了抛砖引玉。
　　本书第一章简要介绍向量马氏过程并讨论其离散状态转移计数过程的转移频度公式，它是作者80年代初引入并一直研究的内容。我们将看到这是比马氏更新过程更一般的计数过程。
　　第二章论述位相型分布，在介绍随机模型杂志主编Neuts教授的有限位相型（PH）分布理论后，着重讨论无限位相型分布理论及其计算。然后用一个求联合分布的释例介绍如何构造向量马氏过程去研究这类问题，
　　从第三章起探讨用非马氏过程描述的随机模型的密度演化方法和性能分析。
　　第三章可靠性模型面临的是有限（离散）状态向量马氏过程的问题。首先通过简单模型介绍方法的步骤和求间歇随机变量分布的技巧。然后研究美国加利福尼亚大学伯克利分校Barlow教授提出的一个变种模型，它是一个无再生点的随机模型，我们证明了其稳态可用度与分布无关的重要性质。对与可靠性有关的易腐物品库存决策问题，我们推导了一个有明显物理意义的平衡方程使决策问题得以简化。
　　第四章经典排队模型涉及如何处理可数状态向量马氏过程的问题。在介绍了单服务台泊松到达一般服务排队后，首次通过构造向量马氏过程对GI/M/I排队给出了简单的处理，并研究了忙期、忙期中服务顾客数及闲期的联合分布。再在美国贝尔实验室Ramaswami和Sengupta的工作基础土，对一个具有无穷子分块的GI/M/1型排队，证明了二维离散马氏链和二维马氏过程的平稳分布分别为算子几何分布和算子指数分布。可以说这是矩阵解析方法的一个简要介绍和推广。然后对无穷服务台排队，结合有效的概率技巧给出了完整的解答。
　　第五章流体模型将出现带漂移系数的向量马氏过程。我们用密度演化方法重新研究了旅居海外华裔学者Chen和Yao研究过的一个交替环境流体模型，特别是讨论了非指数情形，然后介绍美国贝尔实验室Mitra关于特殊马氏环境流体模型的有效算法。这里为了避免复杂的边界条件采用了分布演化方法，
　　第六章其它排队模型包括从实际工程背景引进的休假排队、可修排队和再入排队。这些复杂模型使用别的方法很难奏效，同时针对VMP方法在求解有困难时，我们还采用了简化的办法使问题最终得以解决。
　　因篇幅所限，本书只能介绍一些有代表性的模型和技巧。希望读者能从中领悟如何构造向量马氏过程，如何求解微分方程组，以及如何运用转移频度公式、吸收分布公式、更新分布公式和进入概率公式，并将其发扬光大。特别是将密度演化方法与概率方法相结合使它们相互补充，相互促进，
　　本书包含了作者及其合作者近20年的某些工作。合作者有：香港科技大学刘黎明博士；原上海科技大学毕业的郭进利博士；以及美国AT&T;贝尔实验室刘丹博士；中科院应用数学所李伟博士和刘斌博士，
　　感谢中国国家自然科学基金会对“可修排队理论”课题的支持。感谢香港科技大学工业工程与工程管理系邀请我客座访问期间所提供的良好条件和支持；感谢我工作过的单位所给予的理解和支持，对本书引用其工作的国内外教授和专家，在此深表谢意，衷心感谢陈希孺院士和邓永录教授仔细审阅了本书，他们提出了许多宝贵的改进意见。最后还要感谢科学出版社刘嘉善先生为出版本书所作的努力。
　　本书的出版得到了上海市学位委员会给予的“上海市研究生教育专项经费资助”和上海市教委设立的“上海市重点学科建设基金资助”。同时，上海大学研究生部也给予了部分经费资助。没有他们的大力提倡和鼎力相助本书是不可能完成和出版的，在此谨向他们表示由衷的谢意，
　　为了简便，定义、定理、公式和图表均按小节编号。书中错误之处敬请读者批评指正，我们将衷心感谢诸君的帮助。
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