流形上的热核和分析 [Heat Kernel and Analysis on Manifolds] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[英] 亚历山大·格里戈里安（Alexander Grigor'yan） 著，林勇，倪天佳 译

图书标签:

• 热核
• 流形
• 偏微分方程
• 调和分析
• 几何分析
• 概率论
• 函数分析
• 数学分析
• 微分几何
• 拓扑学

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040477474

版次：1

商品编码：12122383

包装：平装

外文名称：Heat Kernel and Analysis on Manifolds

开本：16开

出版时间：2017-06-01

用纸：胶版纸

页数：495

字数：670000

正文语种：中文

内容简介

　　热核长期以来一直都是古典和现代数学的基本工具，而从20世纪70年代开始几何分析成为重要的创新学科以来，热核在其中变得尤为重要。基于热核的方法广泛应用于分析、几何、概率论以及物理学中。《流形上的热核和分析》是对黎曼流形上的热核技术的全面概述，这必然包括对Laplace-Beltrami算子和相应热方程的分析。
　　《流形上的热核和分析》的前十章包含了这一学科的基本内容，后面几章讨论了热核在各种各样情况下更高深的结果。全书从基本的黎曼几何概念出发，详尽研究了黎曼流形上的拉普拉斯算子和热方程的谱理论、马尔可夫性和光滑性，最终得到高斯热核估计。
　　《流形上的热核和分析》考虑到学生的需求，还特别包含了400多道练习题，是一本联系基础成果和现代研究的桥梁之作。

作者简介

　　亚历山大·格里戈里安生于1957年，俄裔英国数学家，毕业于莫斯科大学数学力学系，曾任伦敦帝国理工大学教授，现任德国比勒菲尔德大学教授，是国际数学界热核研究领域的知名专家。1974年获得国际数学奥林匹克竞赛金奖，1988年获得莫斯科数学会奖，1997年获得伦敦数学会Whitehead奖。研究方向为黎曼流形上的几何分析，以及图和度量空间上的分析。

内页插图

精彩书评

　　★“这本书确实是学习热核非常好的素材。作者的叙述既有广度又有深度，内容详尽并且十分严谨。……该书势必成为该领域的重要著作，并将在教学上做出非常有价值的贡献，它无疑会在未来若干年在此领域中起到重要的作用。”
　　——MAA Revives

目录

好的，这是一份关于《流形上的热核和分析》的图书简介草稿，严格按照您的要求，侧重于详细介绍该主题的各个方面，同时避免提及该特定书名的内容本身，并力求自然、专业。 --- 现代几何分析中的核心工具：黎曼几何背景下的热核方法与微分方程应用 图书简介 本书聚焦于现代数学物理和几何分析领域中一个极其重要且深远的工具——微分几何中的热核理论及其在分析问题中的应用。在黎曼几何的宏大框架下，热核，作为拉普拉斯-贝特拉米算子（Laplace-Beltrami operator）的积分核，不仅是解决扩散方程（热传导方程）的本征解，更是连接光滑几何结构与谱理论、概率论以及拓扑不变量之间的关键桥梁。 本书旨在为读者系统地介绍热核理论的理论基础、关键性质及其在复杂流形上的精确计算方法，同时深入探讨这些工具如何被应用于解决一系列深刻的微分几何和偏微分方程问题。 第一部分：黎曼几何基础与算子理论的建立 理解流形上的热核，首先必须牢固掌握其赖以生存的几何背景。本书从黎曼几何的入门概念出发，系统地回顾了光滑流形、黎曼度量、测地线、曲率张量（里奇曲率、斯卡拉曲率）等基本要素。这些概念为定义和分析流形上的微分算子奠定了必要的基础。 随后，我们将重点介绍流形上的微分算子，特别是拉普拉斯-贝特拉米算子（$Delta_g$）。该算子是流形上热方程的核心驱动力，其性质（如椭圆性、自伴随性）直接决定了热核的存在性与唯一性。本书将详细阐述该算子在不同坐标系下的表达形式，并探讨其在非紧流形上的谱理论性质，包括谱隙、特征值分布规律等。 第二部分：热核的定义、性质与渐近展开 热核 $K(x, y; t)$ 被定义为热方程 $left( frac{partial}{partial t} + Delta_g ight) K(x, y; t) = 0$ 在初始条件 $K(x, y; 0) = delta(x, y)$ 下的解。本书将详细剖析热核的几个核心性质： 1. 对称性与平移不变性（在欧氏空间中）和局部性质（在流形上）： 探讨热核如何反映流形的局部几何结构，特别是其对度量 $g$ 的依赖性。 2. 概率解释： 在嵌入概率论的视角下，热核是布朗运动在流形上从点 $y$ 扩散到点 $x$ 的概率密度函数。我们将介绍福克-普朗克方程与热方程的联系。 3. 短时间渐近展开（如著名的威伊耳展开/Weitzenböck-Weitzenböck公式的推广）： 这是一个极为关键的工具。本书将详尽推导热核在时间 $t o 0^+$ 时的局部泰勒展开，展示其系数如何精确地由流形的曲率、体积形式以及高阶几何不变量决定。这些展开式是连接局部几何信息与全局分析性质的关键所在。 第三部分：热核的应用：谱分析与几何不变量 热核在几何分析中的核心价值在于它能够高效地计算和分析算子的谱特性，并导出重要的几何不变量。 1. 谱分析与热迹公式 (Heat Trace Formula) 热核的时间积分，即“热迹” $ ext{Tr}(e^{-tDelta_g}) = int_M K(x, x; t) dmu_g(x)$，是研究算子谱 ${lambda_k}$ 的重要手段，因为它满足 $ ext{Tr}(e^{-tDelta_g}) = sum_k e^{-tlambda_k}$。本书将深入探讨热迹公式（或称林曼热迹公式/Lichnerowicz heat trace formula），它描述了短时间 $t o 0^+$ 内热迹的渐近行为。通过比较渐近展开的系数，可以提取出关于流形拓扑和几何的深刻信息，例如体积、曲率积分等（如高斯-博内定理的推广）。 2. 热核与调和函数 热核在处理流形上的调和函数（满足 $Delta_g f = 0$ 的函数）时也扮演了重要角色。通过对热核积分，可以构造出流形上的波恩核（Poisson kernel）或格林函数，进而解决狄利克雷问题或诺伊曼问题。本书将阐述热核如何稳定地定义和逼近这些边界值问题的解算子。 第四部分：热核在高维流形上的精确与近似计算 在欧氏空间 $mathbb{R}^n$ 中，热核具有明确的解析形式。然而，在弯曲流形上，精确计算变得异常困难。本书将介绍几种主要的计算策略： 1. 费曼-卡茨公式（Feynman-Kac Formula）的推广： 将热核与流形上的随机过程联系起来，尤其在测地线和概率上进行分析。 2. 微扰理论与几何展开： 针对度量微小偏离欧氏度量的流形，使用微扰方法（如配对几何/Perturbative methods near flat space）来近似热核。 3. 紧致流形上的本征函数展开： 在紧致流形上，$Delta_g$ 有离散谱和完整的本征函数基 ${phi_k}$。热核可以通过谱展开表示为 $K(x, y; t) = sum_k e^{-tlambda_k} phi_k(x) overline{phi_k(y)}$。本书将讨论如何利用这些展开式进行数值模拟和渐近分析。 第五部分：前沿应用：拓扑不变量与几何分析 本书最后将探讨热核方法在现代研究中的前沿应用，特别是如何提取拓扑信息： 1. 热扩散与规范场理论： 在向量丛上的拉普拉斯算子（如乐夫算子/Hodge Laplacian）上，热核的应用可以导出关于拓扑、例如陈类（Chern classes）的积分公式，这与规范场理论中的安德森-阿蒂亚定理（Atiyah–Singer Index Theorem）的分析证明密切相关。 2. 热核与调和分析： 介绍如何利用热核的平滑性质来分析函数空间（如索伯列夫空间）上的算子性质，特别是乘积算子和嵌入定理。 通过对这些核心概念和方法的深入探讨，本书旨在为几何分析、偏微分方程、数学物理以及微分拓扑的研究者提供一个全面、深入且实用的工具箱，用以解决涉及几何结构的复杂分析问题。本书强调几何直觉与严格数学分析的结合，鼓励读者利用热核这一强大工具，探索流形上的动态过程与静态结构之间的深刻联系。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计就有一种深邃而迷人的数学美感，纯粹的白色背景上，一行行简洁而优雅的字体，仿佛勾勒出一种抽象的宇宙。我最近一直在探索一些更前沿的数学领域，而“流形上的热核和分析”这个标题，恰好触动了我对几何与分析交叉之美的强烈好奇心。我并非此领域的专家，但作为一个对数学充满热情、渴望拓展知识边界的读者，我期待这本书能够以一种清晰且引人入胜的方式，为我揭示流形这个概念的内在奥秘，以及热核如何在其中扮演着至关重要的角色。我希望这本书不仅仅是枯燥的公式堆砌，而是能够通过精妙的论证和丰富的例子，让我能够深刻理解这些抽象概念的几何意义和直观图像。想象一下，在弯曲的表面上，热量如何扩散，这种过程如何被数学工具精确地描述和分析，这本身就充满了一种诗意。我期待能够从中窥见，数学如何能够如此细腻地捕捉和理解我们所处的空间结构，以及它在物理学、几何学等领域产生的深远影响。这本书的标题已经在我脑海中激起了无数遐想，仿佛预示着一场关于空间、时间和信息的智力冒险即将展开。

评分☆☆☆☆☆

我刚开始接触到“流形上的热核和分析”这个课题，就被它所蕴含的深邃思想深深吸引。我理解，流形是现代几何学的基石，而热核则是连接几何与分析的关键桥梁。我期待这本书能够以一种循序渐进的方式，带领我从基础概念开始，逐步深入到复杂的理论。我希望能够理解热核是如何在流形上定义的，它与拉普拉斯算子等微分算子之间有什么样的关系。更重要的是，我希望能够看到热核在解决实际问题中的应用，例如，它如何帮助我们理解流形的曲率、同调性，或者在量子场论中扮演的角色。我更希望这本书能够提供一些直观的解释，将抽象的数学公式与具体的几何图像联系起来，帮助我建立起对这个领域的深刻理解。如果本书能够包含一些图示或者案例分析，那将对我这样的初学者来说是莫大的福音。

评分☆☆☆☆☆

当我看到“流形上的热核和分析”这本书名时，我的脑海中立即浮现出那些在光滑曲面上热量缓慢扩散的画面，以及数学家们如何用精确的语言来描述这一过程。我推测，这本书会是一本高度专业化的学术专著，专注于探讨热核在微分几何中的作用。我期待书中能够详细阐述热核的定义、性质，以及它与流形上各种不变量（如体积、谱隙）之间的关系。我希望能够了解到，如何利用热核来研究流形的拓扑特性，例如，它是否能帮助我们区分不同的流形，或者计算它们的同调群。对于希望深入理解几何分析的学生和研究人员来说，一本能够提供严谨的数学论证和深刻洞见的书籍，无疑是他们学术生涯中的重要一环。我期待本书能够成为一座连接抽象概念与具体应用的桥梁。

评分☆☆☆☆☆

这本书的题目让我联想到一个精密的工具箱，里面装满了能够剖析最复杂几何结构的数学利器。我猜想，“流形上的热核和分析”这本书，必将是一部严谨且深度的学术著作。我期待它能够深入到热核在黎曼流形上的性质，以及它如何通过傅里叶级数、谱分解等方法被计算和应用。我尤其好奇，书中是否会涵盖如李群、纤维丛等更高级的数学对象，以及热核在这些结构上的行为。对于那些希望在拓扑学、微分几何、数论甚至理论物理等领域进行深入研究的学者而言，本书无疑是不可或缺的参考。我希望本书能够提供最新的研究成果和前沿的理论视角，为读者在各自的研究方向上提供灵感和指导。一本能够激发新思想、拓展研究边界的著作，其价值是无可估量的。

评分☆☆☆☆☆

这本书的出版，无疑是为那些在微分几何和偏微分方程领域深耕的研究者和学生们提供了一份宝贵的财富。我了解到，“流形”本身就是一个极其抽象且强大的概念，它能够描述各种曲面和更复杂的空间结构，而“热核”则是研究这些空间上函数行为，特别是热方程解的一个核心工具。我设想，本书将会深入探讨热核的定义、性质，以及它如何被用来研究流形上的各种分析问题，比如谱几何、拓 असू理论等。我特别感兴趣的是，本书是否会提供一些计算热核的具体方法，或者介绍一些经典的流形（如球面、环面）上的热核的显式表达式。对于高级研究者而言，一本扎实且全面的著作，能够系统地梳理这一领域的发展脉络，并可能提出新的研究方向，无疑具有极高的价值。我希望本书能够深入到每一个细节，严谨地推导每一个公式，并给出清晰的解释，让读者能够掌握该领域最核心的知识和技术。

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这是一本非常经典的数学书籍，对于数学专业的学生非常有好处，值得推荐！

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不错，挺好用的，下次还会继续买的

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好书！好书！

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书很不错，下次还会来买的。

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很好 经典的书籍

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学习一些基础知识，好做数值计算

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