內容簡介

　　本書介紹瞭偏微分方程數值解的兩類主要方法：有限差分方法和有限元方法．其內容包括有限差分方法的基本概念；雙麯型方程、拋物型方程及橢圓型方程的有限差分方法；數學物理方程的變分原理；有限元離散方法以及其他一些相關的課題等．在介紹每種具體方法的同時，還給齣瞭相應的理論分析．各章附有習題．

　　本書可作為高等學校理工科專業研究生教材，有關本科專業也可作教材使用，此外也可供從事科學與工程計算的科技人員參考．

內頁插圖

目錄

第1章引論、準備知識1

1引論1

2關於偏微分方程的一些基本概念2

2.1幾個典型方程2

2.2定解問題5

2.3二階方程5

2.4一階方程組8

3Fourier變換和復數矩陣10

3.1Fourier變換10

3.2復數矩陣12

第2章有限差分方法的基本概念13

1有限差分格式13

1.1網格剖分13

1.2用Taylor級數展開方法建立差分格式14

1.3積分方法17

1.4隱式差分格式18

2有限差分格式的相容性、收斂性及穩定性19

2.1有限差分格式的截斷誤差19

2.2有限差分格式的相容性22

2.3有限差分格式的收斂性23

2.4有限差分格式的穩定性25

2.5Lax等價定理Lax等價定理27

3研究有限差分格式穩定性的Fourier方法Fourier方法28

3.1Fourier方法28

3.2判彆準則31

3.3例子34

4研究有限差分格式穩定性的其他方法37

4.1Hirt啓示性方法37

4.2直接方法38

4.3能量不等式方法能量不等式方法42

習題43

第3章雙麯型方程的有限差分方法45

1一階綫性常係數雙麯型方程45

1.1迎風格式迎風格式45

1.2Lax�睩riedrichs格式46

1.3Lax�瞁endroff格式48

1.4Courant�睩riedrichs�睱ewy條件Courant�睩riedrichs�睱ewy條件49

1.5利用偏微分方程的特徵綫來構造有限差分格式50

1.6蛙跳格式蛙跳格式52

1.7數值例子53

2一階綫性常係數方程組54

2.1Lax�睩riedrichs格式54

2.2Lax�瞁endroff格式55

2.3迎風格式55

3變係數方程變係數方程及方程組56

3.1變係數方程56

3.2變係數方程組59

4二階雙麯型方程60

4.1波動方程的初值問題60

4.2波動方程的顯式格式61

4.3波動的方程差分格式的C.F.L條件63

4.4等價方程組的差分格式65

5雙麯型方程及方程組的初邊值問題65

5.1二階雙麯型方程的邊界處理66

5.2一階雙麯型方程及方程組的邊界條件68

5.3一階雙麯型方程及方程組的數值邊界處理數值邊界處理69

6二維問題73

6.1一階雙麯型方程73

6.2一階雙麯型方程組76

6.3隱式格式和ADI格式ADI格式77

7非綫性方程80

7.1守恒律的初值問題80

7.2Lax�睩riedrichs差分格式83

7.3守恒型差分格式84

習題86

第4章拋物型方程的有限差分方法89

1常係數擴散方程89

1.1嚮前差分格式，嚮後差分格式89

1.2加權隱式格式加權隱式格式90

1.3三層顯式格式三層顯式格式91

1.4三層隱式格式三層隱式格式94

1.5跳點格式跳點格式95

2初邊值問題97

2.1第一類邊界條件97

2.2第三類邊界條件97

2.3數值例子98

2.4關於穩定性分析的附注101

2.5Saul′ev算法101

2.6分組顯式方法103

3對流擴散方程103

3.1中心顯式格式104

3.2修正中心顯式格式105

3.3迎風差分格式106

3.4Samarskii格式107

3.5指數型差分格式指數型差分格式109

3.6隱式格式111

3.7特徵差分格式112

4變係數方程變係數方程114

4.1Taylor級數展開方法114

4.2Keller盒式格式Keller盒式格式115

4.3有限體積法有限體積法116

4.4間斷係數問題間斷係數問題118

4.5隱式方程的解法119

5多維問題120

5.1一維格式的直接推廣121

5.2交替方嚮隱式格式122

5.3局部一維格式局部一維格式124

5.4預測�殘Ｕ�格式125

5.5跳點格式126

5.6三維問題127

6非綫性方程129

6.1Richtmyer綫性化方法Richtmyer綫性化方法130

6.2擬綫性擴散方程的隱式格式131

6.3三層格式133

6.4預估�殘Ｕ�方法134

習題136

第5章橢圓型方程的差分方法138

1Poisson方程138

1.1五點差分格式五點差分格式138

1.2九點差分格式九點差分格式140

1.3極坐標下的差分格式141

2差分格式的性質143

2.1存在惟一性問題143

2.2差分方程解的收斂性144

3邊界條件的處理146

3.1矩形區域146

3.2一般區域147

4變係數方程149

4.1直接差分方法150

4.2有限體積法150

5雙調和方程雙調和方程151

6特徵值問題152

習題153

第6章數學物理方程的變分原理155

1變分問題變分問題介紹155

1.1古典變分問題155

1.2變分問題解的必要條件157

1.3Rn中的變分問題160

2一維數學物理問題的變分問題162

2.1兩點邊值問題的變分形式163

2.2非齊次約束邊界條件的處理166

2.3第二、三類邊界條件167

3高維數學物理問題的變分問題167

3.1第一類邊值問題的變分問題168

3.2其他邊值問題170

3.3間斷係數問題——有內邊界的情形171

3.4重調和方程邊值問題的變分問題173

4變分問題的近似計算174

4.1Ritz方法174

4.2Galerkin方法176

4.3古典變分方法的數值例子176

5權餘量方法及其他方法178

習題181

第7章有限元離散方法185

1一維問題的有限元方法、綫性元185

1.1單元剖分及試探函數空間的構造186

1.2有限元方程的形成187

1.3數值例子193

2二維問題、三角形綫性元195

2.1單元剖分及試探函數空間的構造196

2.2有限元方程的形成200

2.3例子207

3高次插值211

3.1一維問題的高次插值211

3.1.1Lagrange插值Lagrange插值211

3.1.2Hermite插值Hermite插值214

3.2二維問題三角形元的高次插值216

3.2.1綫性插值和麵積坐標217

3.2.2二次插值219

3.2.3三次插值220

3.3二維問題的矩形元221

3.3.1雙綫性插值雙綫性插值221

3.3.2雙二次插值雙二次插值222

3.3.3Hermite插值223

3.4等參數單元223

3.4.1任意四邊形單元224

3.4.2等參數單元的概念和例226

習題227

第8章其他一些課題230

1基於變分原理的差分格式230

1.1一維問題230

1.2二維問題233

2拋物型方程的有限元方法236

3一些非綫性問題239

3.1非綫性問題的一個例子239

3.2變分不等方程簡介241

3.2.1Rn中光滑函數的最小問題241

3.2.2障礙問題障礙問題242

3.2.3水壩的滲流問題243

4特徵值問題的變分形式及有限元方法245

4.1特徵值問題245

4.2特徵值問題的Galerkin變分形式248

4.3特徵值問題的極小形式248

4.4特徵值問題的有限元方法250

4.5例子253

5邊界元方法255

5.1基本的邊界積分關係式256

5.2邊界元近似258

5.3數值例子261

6多重網格方法264

6.1模型問題，迭代法的分析264

6.1.1一維和二維的模型例子264

6.1.2網格方程迭代法的分析265

6.1.3兩層網格方程組的聯係268

6.2二重網格方法269

6.2.1粗、細網上函數值的轉移269

6.2.2二重網格上的一個循環270

6.3多重網格方法271

6.3.1多重網格的一個V循環271

6.3.2完全的多重網格方法272

習題273

索引275

參考文獻278

前言/序言

　　本書第2版自齣版以來，被不少工科院校研究生用作教材，使用中發現瞭一些錯誤和不妥，在重印中我們曾作瞭一些勘誤. 這次修訂除瞭改正一些已發現的不妥和錯誤外，對非綫性問題的內容作瞭刪減和調整. 第3章增加瞭第7節，其內容部分取自原版第6章的第1～2節，第4章增加瞭3.7節以及第6節，其內容部分取自原版第6章第6節. 原版第6章除上述已保留外全部刪除.此外，還刪去瞭介紹混閤有限元方法的內容.

　　此次再版是在清華大學齣版社劉穎博士提議、推動和支持下完成的. 我們深錶感謝.

　　陸金甫 關治

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