内容简介

　　本书介绍了偏微分方程数值解的两类主要方法：有限差分方法和有限元方法．其内容包括有限差分方法的基本概念；双曲型方程、抛物型方程及椭圆型方程的有限差分方法；数学物理方程的变分原理；有限元离散方法以及其他一些相关的课题等．在介绍每种具体方法的同时，还给出了相应的理论分析．各章附有习题．

　　本书可作为高等学校理工科专业研究生教材，有关本科专业也可作教材使用，此外也可供从事科学与工程计算的科技人员参考．

内页插图

目录

第1章引论、准备知识1

1引论1

2关于偏微分方程的一些基本概念2

2.1几个典型方程2

2.2定解问题5

2.3二阶方程5

2.4一阶方程组8

3Fourier变换和复数矩阵10

3.1Fourier变换10

3.2复数矩阵12

第2章有限差分方法的基本概念13

1有限差分格式13

1.1网格剖分13

1.2用Taylor级数展开方法建立差分格式14

1.3积分方法17

1.4隐式差分格式18

2有限差分格式的相容性、收敛性及稳定性19

2.1有限差分格式的截断误差19

2.2有限差分格式的相容性22

2.3有限差分格式的收敛性23

2.4有限差分格式的稳定性25

2.5Lax等价定理Lax等价定理27

3研究有限差分格式稳定性的Fourier方法Fourier方法28

3.1Fourier方法28

3.2判别准则31

3.3例子34

4研究有限差分格式稳定性的其他方法37

4.1Hirt启示性方法37

4.2直接方法38

4.3能量不等式方法能量不等式方法42

习题43

第3章双曲型方程的有限差分方法45

1一阶线性常系数双曲型方程45

1.1迎风格式迎风格式45

1.2Lax�睩riedrichs格式46

1.3Lax�瞁endroff格式48

1.4Courant�睩riedrichs�睱ewy条件Courant�睩riedrichs�睱ewy条件49

1.5利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式50

1.6蛙跳格式蛙跳格式52

1.7数值例子53

2一阶线性常系数方程组54

2.1Lax�睩riedrichs格式54

2.2Lax�瞁endroff格式55

2.3迎风格式55

3变系数方程变系数方程及方程组56

3.1变系数方程56

3.2变系数方程组59

4二阶双曲型方程60

4.1波动方程的初值问题60

4.2波动方程的显式格式61

4.3波动的方程差分格式的C.F.L条件63

4.4等价方程组的差分格式65

5双曲型方程及方程组的初边值问题65

5.1二阶双曲型方程的边界处理66

5.2一阶双曲型方程及方程组的边界条件68

5.3一阶双曲型方程及方程组的数值边界处理数值边界处理69

6二维问题73

6.1一阶双曲型方程73

6.2一阶双曲型方程组76

6.3隐式格式和ADI格式ADI格式77

7非线性方程80

7.1守恒律的初值问题80

7.2Lax�睩riedrichs差分格式83

7.3守恒型差分格式84

习题86

第4章抛物型方程的有限差分方法89

1常系数扩散方程89

1.1向前差分格式，向后差分格式89

1.2加权隐式格式加权隐式格式90

1.3三层显式格式三层显式格式91

1.4三层隐式格式三层隐式格式94

1.5跳点格式跳点格式95

2初边值问题97

2.1第一类边界条件97

2.2第三类边界条件97

2.3数值例子98

2.4关于稳定性分析的附注101

2.5Saul′ev算法101

2.6分组显式方法103

3对流扩散方程103

3.1中心显式格式104

3.2修正中心显式格式105

3.3迎风差分格式106

3.4Samarskii格式107

3.5指数型差分格式指数型差分格式109

3.6隐式格式111

3.7特征差分格式112

4变系数方程变系数方程114

4.1Taylor级数展开方法114

4.2Keller盒式格式Keller盒式格式115

4.3有限体积法有限体积法116

4.4间断系数问题间断系数问题118

4.5隐式方程的解法119

5多维问题120

5.1一维格式的直接推广121

5.2交替方向隐式格式122

5.3局部一维格式局部一维格式124

5.4预测�残Ｕ�格式125

5.5跳点格式126

5.6三维问题127

6非线性方程129

6.1Richtmyer线性化方法Richtmyer线性化方法130

6.2拟线性扩散方程的隐式格式131

6.3三层格式133

6.4预估�残Ｕ�方法134

习题136

第5章椭圆型方程的差分方法138

1Poisson方程138

1.1五点差分格式五点差分格式138

1.2九点差分格式九点差分格式140

1.3极坐标下的差分格式141

2差分格式的性质143

2.1存在惟一性问题143

2.2差分方程解的收敛性144

3边界条件的处理146

3.1矩形区域146

3.2一般区域147

4变系数方程149

4.1直接差分方法150

4.2有限体积法150

5双调和方程双调和方程151

6特征值问题152

习题153

第6章数学物理方程的变分原理155

1变分问题变分问题介绍155

1.1古典变分问题155

1.2变分问题解的必要条件157

1.3Rn中的变分问题160

2一维数学物理问题的变分问题162

2.1两点边值问题的变分形式163

2.2非齐次约束边界条件的处理166

2.3第二、三类边界条件167

3高维数学物理问题的变分问题167

3.1第一类边值问题的变分问题168

3.2其他边值问题170

3.3间断系数问题——有内边界的情形171

3.4重调和方程边值问题的变分问题173

4变分问题的近似计算174

4.1Ritz方法174

4.2Galerkin方法176

4.3古典变分方法的数值例子176

5权余量方法及其他方法178

习题181

第7章有限元离散方法185

1一维问题的有限元方法、线性元185

1.1单元剖分及试探函数空间的构造186

1.2有限元方程的形成187

1.3数值例子193

2二维问题、三角形线性元195

2.1单元剖分及试探函数空间的构造196

2.2有限元方程的形成200

2.3例子207

3高次插值211

3.1一维问题的高次插值211

3.1.1Lagrange插值Lagrange插值211

3.1.2Hermite插值Hermite插值214

3.2二维问题三角形元的高次插值216

3.2.1线性插值和面积坐标217

3.2.2二次插值219

3.2.3三次插值220

3.3二维问题的矩形元221

3.3.1双线性插值双线性插值221

3.3.2双二次插值双二次插值222

3.3.3Hermite插值223

3.4等参数单元223

3.4.1任意四边形单元224

3.4.2等参数单元的概念和例226

习题227

第8章其他一些课题230

1基于变分原理的差分格式230

1.1一维问题230

1.2二维问题233

2抛物型方程的有限元方法236

3一些非线性问题239

3.1非线性问题的一个例子239

3.2变分不等方程简介241

3.2.1Rn中光滑函数的最小问题241

3.2.2障碍问题障碍问题242

3.2.3水坝的渗流问题243

4特征值问题的变分形式及有限元方法245

4.1特征值问题245

4.2特征值问题的Galerkin变分形式248

4.3特征值问题的极小形式248

4.4特征值问题的有限元方法250

4.5例子253

5边界元方法255

5.1基本的边界积分关系式256

5.2边界元近似258

5.3数值例子261

6多重网格方法264

6.1模型问题，迭代法的分析264

6.1.1一维和二维的模型例子264

6.1.2网格方程迭代法的分析265

6.1.3两层网格方程组的联系268

6.2二重网格方法269

6.2.1粗、细网上函数值的转移269

6.2.2二重网格上的一个循环270

6.3多重网格方法271

6.3.1多重网格的一个V循环271

6.3.2完全的多重网格方法272

习题273

索引275

参考文献278

前言/序言

　　本书第2版自出版以来，被不少工科院校研究生用作教材，使用中发现了一些错误和不妥，在重印中我们曾作了一些勘误. 这次修订除了改正一些已发现的不妥和错误外，对非线性问题的内容作了删减和调整. 第3章增加了第7节，其内容部分取自原版第6章的第1～2节，第4章增加了3.7节以及第6节，其内容部分取自原版第6章第6节. 原版第6章除上述已保留外全部删除.此外，还删去了介绍混合有限元方法的内容.

　　此次再版是在清华大学出版社刘颖博士提议、推动和支持下完成的. 我们深表感谢.

　　陆金甫 关治

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