　　《中国科学技术大学数学教学丛书：随机过程（第3版）/普通高等教育“十一五”***规划教材》为普通高等教育“十一五”***规划教材，是《中国科学技术大学数学教学丛书》之一，主要介绍在应用中经常遇到的几种基本随机过程，如Poisson过程、更新过程、Markov过程、平稳过程、Brown运动、It□微分公式、线性随机微分方程，以及鞅过程和停时，全书材料丰富，每章结合大量有实际背景的例子来解释基本概念，并配有一定量的习题。
　　《中国科学技术大学数学教学丛书：随机过程（第3版）/普通高等教育“十一五”***规划教材》可作为理工科大学生和研究生的教学用书或教学参考书，也可作为工程技术人员和金融证券从业人员应用随机过程的入门参考书。

作者简介

方兆本，男，汉族， 1945年1月生，浙曾金华人，1966年9月参加工作，1995年5月加入民建，研究生学历、统计学博士，教授。现任十届省政协副主席，民建省委主委，中国科技大学管理学院院长、博导。研究方向为理论统计、可靠性、多元分析、金融工程、风险管理。主要研究成果:推广Hofffding引理被收入Cox著统计渐进技术。对多维相依序、泊松过程刻画、非参数回归等问题作出深入研究。写作作品多部，其中既有获得***“十一五”规划教材，又有获得全国高等教育精品教材的图书。

第三版说明
第二版说明
第一版前言

第1章引论
1.1 引言
1.1.1 基本概念和例子
1.1.2 有限维分布和数字特征
1.1.3 平稳过程和独立增量过程
1.2 条件期望和矩母函数
1.2.1 条件期望
1.2.2 矩母函数及生成函数
1.3 收敛性
习题1

第2章 Poisson过程
2.1 Poisson过程
2.2 与Poisson过程相联系的若干分布
2.3 Poisson过程的推广
2.3.1 非齐次Poisson过程
2.3.2 复合Poisson过程
2.3.3 标值（Marked）Poisson过程
2.3.4 空间Poisson过程
2.3.5 更新过程
习题2

第3章 Markov过程
3.1 Markov链的定义和例子
3.2 Markov链的状态分类
3.2.1 互达性和周期性
3.2.2 常返（recurrent）与瞬过（transient）
3.3 Markov链的极限定理与平稳分布
3.4 分支过程
3.5 连续时间Markov链
3.5.1 连续时间Markov链
3.5.2 纯生过程
3.6 生灭过程
3.6.1 生灭过程（birthanddeathprocess）
3.6.2 Kolmogorov向后向前微分方程
习题3

第4章平稳过程
4.1 定义和例子
4.2 遍历性定理
4.3 平稳过程的协方差函数和功率谱密度
4.3.1 协方差函数
4.3.2 几个常见随机信号的协方差函数
4.3.3 功率谱密度
4.4 平稳序列的预报
4.4.1 一般预报理论
4.4.2 平稳序列的预报
习题4

第5章 Brown运动
5.1 定义
5.2 Brown运动的性质
5.3 随机积分和随机微分方程
5.3.1 积分
5.3.2 微分
5.3.3 关于Brown运动的积分
5.3.4 常系数线性随机微分方程
5.3.5 n阶常系数线性随机微分方程
5.4 It□微分公式和一般随机微分方程
5.4.1 It□微分公式
5.4.2 一般随机微分方程简介
5.5 Brown运动的其他一些应用
习题5

第6章鞅过程及其性质
6.1 条件期望及其性质
6.2 鞅和鞅差过程的定义和例子
6.3 鞅和鞅差的性质
6.3.1 鞅的性质
6.3.2 鞅差的性质
6.4 下（上）鞅及其初等性质
6.5 连续时间下的鞅过程和下鞅过程
6.6 停时
习题6
参考文献
附录A
附录B
附表

精彩书摘

随机过程是对一连串随机事件间动态关系的定量描述。它是在自然科学、工程
科学、社会科学各领域研究随机现象的有力工具。其应用包罗万象：气象预报、
天文观测、通讯工程、原子物理、宇航遥控、生物医学、管理科学、运筹决策、
计算机科学、经济分析、金融工程、人口理论、可靠性与质量控制等许许多多领域都离不开
用随机过程的理论来建立各种数学模型。

一般，把一族随机变量定义为随机过程。英文叫stochastic process。“stocha-stic"
一词源于希腊语“$sigma au ochialphasigma auiotakappa o xi $”意
思是“猜”。但这门科学不是乱猜。在研究随机过程时人们透过表面的偶然性找
出必然的内在规律并以概率的形式来描述这些规律。从偶然中悟出必然正是这一
学科的魅力所在。

随机过程的早期历史属于物理领域。人们可以追述到Gibbs，Boltzman， Poincar'{e}
等人在统计力学中的研究以及后来Einstein, Wiener, L'{e}vy 等人的开创性工作。
而Erlang等则在电话流中研究了Poisson 过程。而整个学科的理论基础则是由
Kolmorgorov和Doob奠定的。“Stochastic”这一用词也在这时流行。生灭过程是
Feller首先引进的。Cramer和 L'{e}vy研究了平稳过程。Xinchin,Palm发展了
排队论中的过程理论。Doob则研究Markov过程和鞅。这些都是早期研究的重要里
程碑。目前，这一学科仍在理论和应用两方面以空前的深度和广度在迅速发展着。
下面对随机过程作正式定义：

egin{Def}~~随机过程就是一族随机变量${X(t),t in T }$,其中$t$
是参数，它属于某个指标集$T$, $T$称为参数集。
end{Def}

一般，$t$代表时间。当$T={0,1,2,cdotcdotcdot}$时也称随机过程为
随机序列。对$X(t)$可以这样看：随机变量是定义在空间$Omega$上的，所以是随$t$
与$omegainOmega$而变化的，于是可以记为$X(t,omega)$。当固定一次随机试验，
即取定$omega_0 in Omega$时，$X(t,omega_0)$就是一条样本路径。它是$t$的函数，
它可能是连续的，也可能是有间断点和跳跃的。这是我们通常所观测到的过程。另一方
面固定了时间$t=t_0$,$, X(t_0,omega)$就是一个随机变量，其取值随着随机试验的结
果而变化。变化有一定的规律，叫做概率分布。随机过程在时刻$t$取的值称作是过程
所处的状态，状态的全体称为状态空间。根据$T$及状态空间的不同我们可以对过程进
行分类。依照状态空间可分为连续状态和离散状态；依参数集$T$,当$T$为有限集或
可数集则称之为离散参数过程否则称为连续参数过程。当$T$是高维向量则$X(t)$称作
是随机场。

egin{exam}

英国植物学家Brown注意到漂浮在液面上的微小粒子不断进行不规则的
运动。这种运动叫做Brown运动。它是分子大量随机碰撞的结果。若记$(X(t),Y(t))$为
粒子在平面座标上的位置，则它是平面上的Brown运动。在统计物理中对它有深入的研
究。
end{exam}

egin{exam}一醉汉在路上行走，以概率$p$前进一步，概率$1-p$后退一步。以$X(t)$
记他在街上的位置,则$X(t)$就是直线上的随机游动。
end{exam}

egin{exam}

神经细胞在细胞膜的位势达到某一临界值$C$时就要兴奋。刺激和抑制两种
脉冲以一定的速率（比如Poisson过程）抵达细胞。前者使位势升高，后者使位势降低。升降
的幅度服从相同的分布$H(x)$。神经细胞在兴奋过后位势恢复到0，过程再度重复。记$T_i$为
两次兴奋的间隔时间，并记$X(t)$为时刻$t$时细胞膜的位势，则过程的一次实现如图1.1所示：

前言/序言

随着我国经济建设的不断深入发展，随机过程理论在我国各方面的应用也越来越多。本教材再版后,
已故陈希孺院士就对我们提到为什么没有把鞅过程纳入教材。确实，在金融衍生品的定价，信号处理等领域，已在大量使用
鞅过程，大家对Brown运动和有关过程也希望有更多的了解。借此再版的机会我们增加了鞅过程和停时的内容.教材出版后,我们感谢多所院校使用了这本教材,在使用过程中多位老师也发现了一些
错误,借此再版的机会我们作了最必要的修改.随着社会与经济的发展,
在各个领域人们面对越来越多的不确定性,对它们的建模也引起了人们广泛的兴趣.金融领域
计算期权定价的$Black-Scholes$公式因$Scholes$与$Merton$获得1997年的诺贝尔奖而声名远扬.其
主要知识背景就是随机积分和$Ithat{o}$公式.为了使读者能为学习现代金融理论
作些准备,借这次再版之际我们加入了相关的内容.

作者还想借此机会感谢郑坚坚老师的帮助.本书是作者与中国科学技术大学数学系同事们多年从事本课程教学的积累。
它是为大学理工科本科生、研究生概率统计公共课所编写的教材、是陈希孺
教授所著的《概率论与数理统计》的续篇。本书可以作非数学系应用数学辅
修专业的随机过程的教本，主要讨论随机过程的基本理论及其应用。每章正
文之后有配套的习题供读者练习。随机过程是一门应用性很强的学科、各个
领域中的科技工作者都能从中发现有启发性的模型。单纯照搬模型比较容易，
难的是在实际问题中简化条件提炼出恰当的随机模型。学习这门课程应在这
方面多做努力，这也是本书编写的宗旨。

学习本书要有微积分和初等概率论的基础，兼顾内容阐述的需要和学生的实际
接收能力书中用到了矩母函数、生成函数、复变函数、微分方程求解和矩阵代
数等数学工具。对某些工具不熟悉的读者可以跳过证明推理直接阅读有关结论。
这并不影响对本课程的基本理解。

使用本教材的教员自然可以根据课时限制及各系各科的不同需求而有所侧重。
比如，删去2.3节，3.3节中定理3.3和3.4的证明，3.4、3.6节、4.2节的定理
4.2、4.4节、以及5.3节将仍是一份应用随机过程的ABC教材。书末曾备有习题
答案或提示，但考虑到附在书后出版对教与学无益故予以删除。作者感谢胡太
忠教授帮助演算了书中的全部习题。

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