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内容简介

《拓扑空间》是一部本科生学习拓扑空间的基础教程。引导读者很好的学习拓扑中有关几何的东西什么是最重要的。《拓扑空间》的内容分为三大部分，线和面、矩阵空间和拓扑空间。书中将大量的数学词汇概念囊括其中，不要求读者对简单定理或者集合知识十分了解，从而减少读者理解上的难度。收敛定理的应用在帮助读者抓住重点的同时，逐渐接触并理解拓扑的概念，书中的知识点步步逼近，前九节重在为本科生讲述矩阵空间的知识，同时也包括了大量的材料，这些将成为研究生学习的教程。

内页插图

目录

Preface
PART Ⅰ THE LINE AND THE PLANE
Chapter 1 What Topology Is About
Topological Equivalence
Continuity and Convergence
A Few Conventions
Extra: Topological Diversions
Exercises
Chapter 2 Axioms for R
Extra: Axiom Systems
Exercises
Chapter 3 Convergent Sequences and Continuity
Subsequences
Uniform Continuity
The Plane
Extra: Bolzano （1781-1848）
Exercises
ChaPter 4 Curves in the Plane
Curves
Homeomorphic Sets
Brouwer's Theorem
Extra: L.E.J. Brouwer （1881-1966）

PART Ⅱ METRI SPACES
Chapter 5 Metrics
Extra: Camille Jordan （1838-1922）
Exercises
Chapter 6 Open and Closed Sets
Subsets of a Metric Space
Collections of Sets
Similar Metrics
Interior and Closure
The Empty Set
Extra: Cantor （1845-1918）
Exercises
Chapter 7 Completeness
Extra: Meager Sets and the Mazur Game
Exercises
Chapter 8 Uniform Convergence
Extra: Spaces of Continuous Functions
Exercises
Chapter 9 Sequential Compactness
Extra: The p-adic Numbers
Exercises
Chapter 10 Convergent Nets
Inadequacy of Sequences
Convergent Nets
-Extra: Knots
Exercises
Chapter 11 Transition to TOpology
Generalized Convergence
Topologies
Extra: The Emergence of the Professional Mathematician
Exercises

PART Ⅲ TOPOLOGICAL SPACES
Chapter 12 Topological Spaces
Extra: Map Coloring
Exercises
Chapter 13 Compactness and the Hausdorff Property
Compact Spaces
Hausdorff Spaces
Extra: Hausdorff and the Measure Problem
Exercises
Chapter 14 Products and Quotients
Product Spaces
Quotient Spaces
Extra: Surfaces
Exercises
Chapter 15 The Hahn-Tietze-Tong-Urysohn Theorems
Urysohn's Lemma
Interpolation and Extension
Extra: Nonstandard Mathematics
Exercises
Chapter 16 Connectedness
Connected Spaces
The Jordan Theorem
Extra: Continuous Deformation of Curves
Exercises
Chapter 17 Tvchonoffs Theorem
Extra: The Axiom of Choice
Exercises

PAler Ⅳ PosTsciuer
Chapter 18 A Smorgasbord for Further Study
Countability Conditions
Separation Conditions
Compactness Conditions
Compactifications
Connectivity Conditions
Extra: Dates from the History of General Topology
Exercises
Chapter 19 Countable Sets
Extra: The Continuum Hypothesis
A Farewell to the Reader
Literature
Index of Symbols
Index of Terms

前言/序言

拓扑空间 [Topological Spaces: From Distance to Neighborhood] 电子书 下载 mobi epub pdf txt

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3 An Introduction to Gröbner Bases, William W. Adams, Philippe Loustaunau (1994, ISBN 978-0-8218-3804-4)

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不动点问题

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设X是拓扑空间，如果X可写为非空开集的分离并，则X称为连通空间；如果对X中任意两点 ，存在X中的道路相连接，则称X为道路连通空间 ；如果X的任意开集作成的覆盖存在有限子覆盖 ，则称X为紧空间；如果X中的任意序列有收敛子列，则称X是列紧空间 ；如果X中任意两点都存在不相交的邻域 ，则称X是豪斯多夫空间（或T2空间）。上面所提连通性，道路连通性、紧性、列紧性、T2性均是拓扑不变性。连通空间上的实值连续函数具有介值性，即若f∶X→R1连续，X是连通空间，r∈（f（x1），f（x2），则存在c∈（x1，x2）（或c∈（x2，x1）），使f（c）=r。紧空间上的实值连续函数具有最大值、最小值。紧空间上的连续函数一致连续。若AÌRn，则A为紧，当且仅当A是有界闭集。

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对任意x∈X，如果Z的子集U包含含有x的一个开集则U称为x的一个邻域。如果X的子集A满足X－A是开集，则称X是闭集。

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拓扑学的需要大大刺激了抽象代数学的发展，并且形成了两个新的代数学分支：同调代数与代数K理论。代数几何学从50年代以来已经完全改观。托姆的配边理论直接促使代数簇的黎曼－罗赫定理的产生，后者又促使拓扑K 理论的产生。现代代数几何学已完全使用上同调的语言，代数数论与代数群也在此基础上取得许多重大成果，例如有关不定方程整数解数目估计的韦伊猜想和莫德尔猜想的证明。范畴与函子的观念，是在概括代数拓扑的方法论时形成的。范畴论已深入数学基础、代数几何学等分支，对拓扑学本身也有影响。如拓扑斯的观念大大拓广了经典的拓扑空间观念。

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考虑光滑曲面上的连续的切向量场，即在曲面的每一点放一个与曲面相切的向量，并且其分布是连续的，其中向量等于0的地方叫作奇点。例如，地球表面上每点的风速向量就组成一个随时间变化的切向量场，而奇点就是当时没风的地方。从直观经验看出，球面上的连续切向量场一定有奇点，而环面上却可以造出没有奇点的向量场。 进一步分析，每个奇点有一个“指数”，即当动点绕它一周时，动点处的向量转的圈数；此指数有正负，视动点绕行方向与向量转动方向相同或相反而定。球面上切向量场，只要奇点个数是有限的，这些奇点的指数的代数和（正负要相消）恒等于2；而环面上的则恒等于0。这2与0恰是那两个曲面的欧拉数，这不是偶然的巧合。这是拓扑学中的庞加莱-霍普夫定理。

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考虑一个曲面到自身的连续变换（映射），即曲面的每一点被移到该曲面上的新的位置，连续是指互相邻近的点被移到互相邻近的点，新旧位置相同的点叫作这变换的不动点。随后，每个不动点也有个“指数”，即当动点绕它一周时，从动点指向其像点的向量转动的圈数。拓扑学家们发现，曲面到自身的映射的不动点个数如果是有限的，它们的指数的代数和不会因对这映射做细微的修改而改变，因而可从这映射的某些粗略的特征计算出来。特别是对于实心圆上的映射，指数和恒为1，所以实心圆到自身的映射总有不动点。

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拓扑学的需要大大刺激了抽象代数学的发展，并且形成了两个新的代数学分支：同调代数与代数K理论。代数几何学从50年代以来已经完全改观。托姆的配边理论直接促使代数簇的黎曼－罗赫定理的产生，后者又促使拓扑K 理论的产生。现代代数几何学已完全使用上同调的语言，代数数论与代数群也在此基础上取得许多重大成果，例如有关不定方程整数解数目估计的韦伊猜想和莫德尔猜想的证明。范畴与函子的观念，是在概括代数拓扑的方法论时形成的。范畴论已深入数学基础、代数几何学等分支，对拓扑学本身也有影响。如拓扑斯的观念大大拓广了经典的拓扑空间观念。

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