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杨子胥 编

图书标签:

• 近世代数
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• 学习辅导
• 习题集
• 高等数学
• 数学教材
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• 数学分析
• 群论

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040143706

版次：1

商品编码：10492802

包装：平装

开本：大32开

出版时间：2004-07-01

用纸：胶版纸

页数：265

字数：220000

正文语种：中文

内容简介

《近世代数学习辅导与习题选解》是与《近世代数》（第二版，杨子胥编著）配套的学习辅导书。《近世代数学习辅导与习题选解》与主教材平行，按节编写，分为三部分：内容提要、释疑解难、习题解答。最后一章给出关于群、环、域的数学史简介。
《近世代数学习辅导与习题选解》可作为高等学校数学系学生学习近世代数的参考书。

目录

第一章 基本概念
1 集合
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题1.1解答

2 映射与变换
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题1.2解答

3 代数运算
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题1.3解答

4 运算律
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题1.4解答

5 同态与同构
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题1.5解答

6 等价关系与集合的分类
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题1.6解答

第二章 群
1 群的定义和初步性质
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题2.1解答

2 群中元素的阶
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题2.2解答

3 子群
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题2.3解答

4 循环群
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题2.4解答

5 变换群
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题2.5解答

6 置换群
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题2.6解答

7 陪集、指数和Lagrange定理
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题2.7解答

第三章 正规子群和群的同态与同构
1 群同态与同构的简单性质
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题3.1解答

2 正规子群和商群
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题3.2解答

3 群同态基本定理
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题3.3解答

4 群的同构定理
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题3.4解答

5 群的自同构群
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题3.5解答

6 共轭关系与正规化子
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题3.6解答

7 群的直积
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题3.7解答

8 Sylow定理
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题3.8解答

9 有限交换群
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题3.9解答

第四章 环与域
1 环的定义
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题4.1解答

2 环的零因子和特征
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题4.2解答

3 除环和域
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题4.3解答

4 环的同态与同构
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题4.4解答

5 模n剩余类环
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题4.5解答

6 理想
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题4.6解答

7 商环与环同态基本定理
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题4.7解答

8 素理想和极大理想
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题4.8解答

9 环与域上的多项式环
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题4.9解答

10 分式域
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题4.10解答

11 环的直和
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题4.11解答

12 非交换环
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题4.12解答

第五章 惟一分解整环
1 相伴元和不可约元
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题5.1解答

2 惟一分解整环定义和性质
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题5.2解答

3 主理想整环
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题5.3解答

4 欧氏环
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题5.4解答

5 惟一分解整环的多项式扩张
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题5.5解答

第六章 域的扩张
1 扩域和素域
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题6.1解答

2 单扩域
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题6.2解答

3 代数扩域
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题6.3解答

4 多项式的分裂域
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题6.4解答

5 有限域
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题6.5解答

6 可离扩域
一、主要内容
二、释疑解难
三、习题6.6解答

第七章 有关历史资料
1 群、环、域发展史简介
2 代数方程的根式解
3 几位数学家简介
阿贝尔、伽罗瓦、弗罗贝尼乌斯、哈密顿、诺特、阿廷、雅各布森
参考文献

《近世代数学习辅导与习题选解》内容简介 本书专注于代数领域内一个核心且关键的分支——近世代数（Abstract Algebra）的学习、理解与应用。 本书旨在为高等院校数学专业本科生，以及对代数结构有深入学习需求的读者提供一套全面、系统且极具实操性的学习资源。我们深知近世代数抽象性强、概念繁多、逻辑链条严密的特点，因此本书的编写严格遵循“理论体系构建—核心概念剖析—典型例题精讲—习题设计与解答”的递进式教学逻辑。 本书的内容涵盖了近世代数最基础也最重要的三大支柱：群论（Group Theory）、环论（Ring Theory）和域论（Field Theory）。 第一部分：群论基础与深入探索 群论是近世代数的基石，也是理解后续结构的基础。本书在这一部分投入了大量篇幅，力求构建起坚实的概念框架。 一、基础概念与构造： 首先，我们详细阐述了群的定义、基本性质（如单位元、逆元、结合律），并对一些初等群（如整数加法群、非零有理数乘法群）进行了直观的介绍。随后，本书深入探讨了子群、陪集与拉格朗日定理。拉格朗日定理的证明清晰展示了有限群结构分析的强大威力，本书特别提供了多种不同的证明思路，帮助读者理解其背后的群作用几何意义。 二、同态、同构与正规子群： 群态射（同态与同构）是揭示不同群之间结构关系的关键工具。我们不仅详细定义了这些概念，还着重分析了核（Kernel）和像（Image）的性质，特别是同态基本定理，这是连接商群与同态关系的核心桥梁。正规子群的引入是构造商群（Factor Group）的前提，本书通过大量实例说明了正规子群的充要条件，并对商群的运算规则进行了细致的梳理和演算示范。 三、重要群结构与应用： 本书精选了几个具有代表性的群进行深入分析。 1. 有限交换群的结构定理： 这是群论中一个非常重要的结论，本书提供了清晰的逻辑推导过程，展示了任意有限交换群都可以分解为初等因子群的直积，极大地简化了有限交换群的研究。 2. 西洛夫定理（Sylow Theorems）： 作为处理有限非交换群结构的核心工具，西洛夫三定理的证明过程复杂且精妙。本书采用了经典的构造性证明方法，并提供了丰富的应用实例，例如判断群的可解性、确定特定阶群的结构。 3. 群作用： 群作用是连接代数结构与具体对象（如集合、几何图形）的桥梁。我们通过作用来定义轨道、稳定子，并引出重要的泊亚定理（Orbit-Stabilizer Theorem），这些概念是理解置换群、矩阵群以及后续在几何和组合学中应用的基石。 第二部分：环论的拓展与深化 环是群论概念在更丰富运算结构上的自然延伸。本书在环论部分着重于理解加法与乘法运算如何相互作用，以及何种“良好”的子结构能够保证运算的良好继承性。 一、环的基本结构与性质： 环的定义、零因子、整环（Integral Domain）和域（Field）的区分是本章的重点。本书清晰界定了这些概念之间的包含关系，并对有限整环必是域的结论进行了严谨证明。 二、理想与商环： 理想是环论中类似于群论中正规子群的概念，是构造商环的先决条件。本书深入探讨了主理想（Principal Ideal）、极大理想（Maximal Ideal）和素理想（Prime Ideal）之间的关系，并阐明了它们与商环具有特定性质（如商环为域或整环）的内在联系。 三、环的同态与同构： 环同态的性质继承了群同态的许多特性，但需要额外关注乘法的保持性。环同态基本定理的表述和应用与群论部分相互印证，加深了读者对“结构保持映射”的理解深度。 四、特殊环结构与多项式环： 多项式环是代数计算和构造域扩张的关键载体。本书重点分析了欧几里得环、主理想环（PID）和唯一因子化整环（UFD），特别是对于 $mathbb{Z}[x]$ 和 $F[x]$（F为域）的研究。这些分类帮助读者理解代数数论和代数几何中遇到的代数结构的复杂性。 第三部分：域论与扩张的构建 域论是近世代数应用于解方程和构造新的代数系统的核心领域。本书从最基础的域概念出发，逐步构建起域扩张的理论框架。 一、域的扩张： 域扩张的定义、次数（Degree of Extension）是本章的起点。我们详细讲解了有限扩张、代数扩张和超越扩张的概念。特别是对代数元的概念进行了细致的辨析，并引出了最小多项式（Minimal Polynomial）这一核心工具。 二、构造性域扩张： 如何通过既有域 $F$ 构造出包含特定代数元的更“大”的域 $F(alpha)$ 是本章的精髓。本书通过具体示例演示了如何将根多项式 $p(x)$ 的根 $alpha$ 嵌入到构造出的域 $F[x]/langle p(x) angle$ 中，并证明了 $F(alpha) cong F[x]/langle p(x) angle$，这是构造有限域和伽罗瓦理论基础的关键一步。 三、伽罗瓦理论的引入： 尽管本书是基础辅导性质，但仍需触及伽罗瓦理论的入门思想。我们介绍了伽罗瓦群（Galois Group）的概念，阐述了它如何与域扩张的自同构群联系起来。虽然深入的伽罗瓦理论超出了本书的范围，但清晰地展示了伽罗瓦理论的动机——利用群论来解决多项式方程的可解性问题，特别是五次及以上方程的不可解性。 习题选解与学习策略 本书的精髓在于其配套的习题部分。我们精选了来自国内外权威教材的典型习题，并根据难度和知识点进行了分类。 辅导特色： 1. 步骤分解： 对于计算量大或逻辑跳跃的习题，我们提供详尽的步骤分解，确保读者能清晰地跟踪每一步的推理依据。 2. 概念连接： 解题思路中，明确指出本题运用了哪条定理或哪两个核心概念（如：利用拉格朗日定理推导出子群阶数，再结合正规化群的定义来求解）。 3. 反例与辨析： 特别设置了“易混淆概念辨析”部分，通过构造性的反例来帮助读者区分近似概念（如：PID与UFD的区别，群同态的核与商群的关系）。 4. 拓展性思考： 针对部分难题，提供“进一步思考”的提示，引导读者探索该知识点的更广泛应用或更深层次的结构。 本书力求成为一本既能系统学习理论，又能高效提升解题能力的优秀教材配套资源，有效弥合理论学习与实际解题之间的鸿沟。

评分☆☆☆☆☆

我原本以为近世代数是一门枯燥乏味、只适合少数“数学天才”的学科，但这本书彻底颠覆了我的认知。它用一种非常亲切、易懂的语言，将那些看似遥不可及的抽象数学概念，一点点地拉近了距离。作者在讲解时，始终保持着一种鼓励和引导的态度，让我觉得学习数学不再是一件令人畏惧的事情。我特别欣赏书中那些“思考题”，它们不像普通的练习题，更像是引导我去主动思考、去挖掘数学背后的逻辑和美。有时候一道题可能困扰我很久，但一旦我通过思考找到了解题思路，那种成就感是无与伦比的。这本书不仅仅是传授知识，更重要的是培养了我的数学思维能力，让我学会如何去分析问题、解决问题，这种能力对我未来的学习和工作都将受益匪浅。

评分☆☆☆☆☆

这本书的编排和设计也让我印象深刻，感觉作者确实是站在学生的角度去思考问题的。整体的结构清晰明了，章节之间的过渡也很自然，不会让人感到突兀。每一章的开头都会有一个简要的概述，让你提前了解本章的学习目标和主要内容，这对于我这种容易走神的人来说，非常有帮助。在学习过程中，书中还设计了一些“小提示”和“拓展阅读”，这些虽然不是必学内容，但却能极大地丰富我的学习体验，让我对近世代数这个领域产生更浓厚的兴趣。我尤其喜欢它在讲解一些难点问题时，会采用一些形象的比喻或者类比，让原本晦涩的概念变得生动有趣。读这本书的时候，我感觉自己不是在死记硬背，而是在进行一场有趣的数学探索之旅。

评分☆☆☆☆☆

不得不说，这本书在习题的选择和解析方面做得相当出色，完全超出了我的预期。我一直觉得，学数学光看懂理论是不够的，关键还是要通过大量的练习来巩固和深化理解。而这本书恰恰在这方面提供了极大的帮助。它精选的习题覆盖了近世代数各个核心知识点，难度梯度设计得很合理，从基础题到综合题，再到一些具有挑战性的思考题，应有尽有。我喜欢它不仅提供了标准答案，更重要的是，对于每一道题都进行了详尽的解析。这些解析不仅仅是告诉你怎么算，更重要的是解释了为什么这么算，背后蕴含了哪些数学思想和技巧。有时候一道题有多种解法，书中也会给出不同的解法，并对比它们的优劣，这让我学到了很多解题的“套路”和“窍门”。尤其是那些“错题分析”和“易错点提醒”，简直是为我这样的“粗心鬼”量身定做的，避免了我重复犯同样的错误。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的整体感觉就是“实用”和“深入”。它不是那种泛泛而谈的教材，而是真正深入到近世代数的核心，并且能够将这些核心内容以一种读者容易理解的方式呈现出来。我之前在学习过程中遇到的很多困惑，在这本书里都得到了很好的解答。它帮助我建立起了一个扎实的近世代数知识体系，让我能够更自信地去面对相关的课程和考试。我特别喜欢它在章节末尾提供的“总结回顾”，能够帮助我快速梳理本章的重点，温故而知新。而且，书中提供的习题选解，不仅仅是简单的答案，更是一种学习方法的示范，让我知道如何才能有效地利用习题来提升自己的数学能力。这本书绝对是我近世代数学习过程中最值得信赖的伙伴。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是数学学习的“及时雨”！我一直对近世代数这个科目感到头疼，感觉那些抽象的概念就像隔着一层雾，怎么也抓不住。市面上相关的参考书也看了不少，但总觉得要么过于理论化，要么讲解不够深入，很多题目做起来还是云里雾里。直到我遇到了这本书，才算是真正找到了“救星”。首先，它对每个章节的知识点讲解都非常透彻，不是简单地罗列定义和定理，而是花了大量篇幅去解释概念的由来、内在逻辑以及与其他知识点的联系。读的时候，仿佛有位经验丰富的老师在旁边循循善诱，一点点地将复杂的概念剥离开来，让我能真正理解其精髓。而且，书中还穿插了大量的例子，这些例子不是那种刻意设计的、脱离实际的“玩具”例子，而是非常贴近近世代数的核心思想，能够帮助我将抽象的概念具象化，茅塞顿开的感觉真的太棒了。我特别喜欢它讲解某些定理时，会追溯其证明过程的思路，而不是直接给出结论，这样能让我更深刻地理解定理的意义和适用范围。

评分☆☆☆☆☆

二、释疑解难

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

一、主要内容

评分☆☆☆☆☆

第二次进攻更是直接象坦克一样碾了过去，虽然撞人是犯规的，可是这样的斗牛场上那里有什么裁判，史蒂芬怕自已被飞出去，只好躲了一下，想伺机掏球却没有办到，被弗洛伊德重重地一个扣篮，篮架都吱呀了半天。

评分☆☆☆☆☆

布衣学者张中行张中行先生是真正学贯中西的大家，其对语言、文学、哲学、宗教、历史、戏剧、文物、书法……的学识之渊博，文化界早有公论。已故著名学者吴祖光曾经说：“我那点儿学问纯粹是蒙事，张中行先生那才是真学问。” 　　可是，张先生却永远认为自己还太不够了，老是说：“我这辈子学问太浅，让高明人笑话。”当别人摇头时，他便极认真地解释：“可不是吗?要是王国维先生评为一级教授，那么二级没人能当之。勉强有几位能评上三级，也轮不上我。” 　　改革开放以后，随着中国社会的逐渐清明，已到古稀之年的张中行先生亦老树发新芽，开始了散文随笔的创作。这一写竟如大河开冻，滚滚滔滔，流出了“负暄三话”为代表的上百万字文章，一时举国上下，书店书摊，到处摆着张中行著作，国人争读，影响巨大。著名作家、藏书家姜德明先生说：“张先生的代表作‘负暄三话’对当代散文深有影响，扩大了散文天地，开阔了读者眼界，提高了人们的鉴赏和写作水平，是功不可没的，值得后人永远珍视。”北京文联研究部主任张恬女士评价：“他的文人气质有承接传统的一面，但比起传统的学者散文，他却多了思考，且不乏真知灼见。他的离去，似乎结束了一个时代。” 　　三 　　在中国文化界，张中行先生被称为“布衣学者”。他出身农家，一生始终保持着平民知识分子本色，不贪热闹，不慕名利，不钻官场，不经营自己。他打从心底里把自己看得普普通通，自道“我乃街头巷尾的常人”。 　　大概正因为如此，张先生有着很多崇拜者，后来竟至成为他的挚友。中国人民解放军总参原兵种部政委田永清将军说：“在十几年的交往中，知识渊博、人品高尚的张老给了我极多的教益。我感到现在有些人是有知识没文化更缺乏道德，而张老身上处处体现着中国传统知识分子的美德。”另一位孙健民将军说：“虽然张老是文人，我是军人，但他的确感召着我，也感召着我们部队的许多干部和战士。我们不但学他的文章，也学怎样做人。” 　　说到做人，《读书》杂志资深编辑吴彬女士说：“张先生做人的精到之处，在于他真正体悟到了‘顺生’二字，第一顺其自然的生命规律，淡薄名利，不跟自己较劲；第二顺从内心的道德律令，不做违背良心的事，不与别人为难。这是他能长寿的重要原因，这也是中国传统文化的精髓。” 　　全国政协委员、香港美术家协会主席吴欢也由张先生的逝去，说到了中国传统文化的承继问题：“张先生把一生都献给了中国文化，对这样一位文化老人的去世，应该引起年轻人的足够重视。在当前市民文化、网络文化的热闹中，有些人正因为切断了自己与传统文化的联系，才在闹腾中迷失了方向，应该回归对传统的尊重。” 　　一个人能活到将近百年而受到如此的景仰，念着他的名字与承接传统的话题相衔相接，这个人是我们伟大中华文化的精英。 　　(来源/光明日报，作者/韩小蕙)

评分☆☆☆☆☆

三、习题1.1解答

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第二个球，史蒂芬再次用他的速度戏弄了弗洛伊德，看到弗洛伊德过来，一个交叉步变向就穿过了弗洛伊德的防线，伸出手来轻轻的地挑，球在篮框上面轻盈地转了一圈，又重新滚了进去。

评分☆☆☆☆☆

二、释疑解难

评分☆☆☆☆☆

就这样一来一往几个回合过去了，双方的比分不断交替着上升，弗洛伊德拿史蒂芬的灵活和技术没办法，史蒂芬也奈何不了弗洛伊德的强大力量。