当代七彩数学：迭代·浑沌·分形 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

李忠 著

图书标签:

• 数学
• 混沌
• 分形
• 迭代
• 非线性动力系统
• 复杂性科学
• 数学建模
• 可视化
• 科学计算
• 高等数学

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030178848

版次：1

商品编码：10121953

包装：平装

出版时间：2007-03-01

用纸：胶版纸

页数：112

字数：52000

内容简介

　　本书是一本为大学生写的数学通俗读物，它以浅显的语言，通过函数迭代，特别是复变函数的迭代，介绍动力系统中浑沌现象的产生及其数学含义，介绍复兴迭代中所产生的复杂几何图形——分形，并以介绍受到广泛关注的Mandelbrot集合。
　　本书读者对象为理工科及师范院校的大学、研究生、教师及一般科技工作者。具有微积分基本知识的人能读懂书中的大部分内容。

作者简介

　　李忠，北京大学数学科学学院教授，博士生导师。1936年8月出生。1960年毕业于北京大学数学力学系，之后一直在北京大学任教。其研究领域为基础数学复分析，对拟共形映射与黎曼曲面的模空间理论有系统的研究，其研究成果曾获得国家教委科技进步奖(一等奖)，并两次获得国家自然科学奖(三等奖)。1991年被国家人事部与国家教委评为“有突出贡献的中青年专家”。1993年被国家教委评为“国家优秀教师”。

　　李忠教授曾任北京大学数学系主任，中国数学会常务理事兼秘书长及北京数学会理事长。

目录

1　为什么要研究迭代
§1　迭代及其轨道
§2　Logistics方程
§3　什么是动力系统
§4　轨道行为的复杂性
§5什么是浑沌
练习一
2　有趣的复迭代
§1　Cayley问题
§2　Fatou与Julia的研究
§3　美丽多样的Julia集
§4　周期轨道
§5　Julia集上的浑沌现象
§6　稳定域
练习二
3　什么是分形
§1　Hausdorff维数
§2　Hausdorff维数的计算
§3　自相似的分形
§4　Julia集与分形
练习三
4　Mandelbrot集中的奥秘
§1　什么是Mandelbrot
§2　Mandelbrot集与二次式的迭代
§3　双曲分支与双曲猜想
§4　Mandelbrot集的连通性与外射线
§5　Mandelbrot集的边界
练习四
参考书目

前言/序言

当代七彩数学：迭代·混沌·分形 导言 数学，一门古老而又常新的学科，它不仅是逻辑与抽象的艺术，更是理解宇宙运行规律的有力工具。长久以来，数学以其严谨的推理和精妙的结构，构建了我们认知世界的宏伟图景。然而，随着科学技术的飞速发展和人类探索边界的不断深入，一些看似“边缘”的数学概念，如今正以前所未有的力量，渗透到我们生活的方方面面，揭示着隐藏在纷繁复杂现象背后深刻的数学本质。 《当代七彩数学：迭代·混沌·分形》并非一本传统的数学教科书，它不致力于传授一套固定的公式体系或证明技巧，而是将读者引入一个更广阔、更生动的数学视野。本书聚焦于当代数学中三个极具影响力且相互关联的概念——迭代、混沌与分形。这三个概念共同描绘了一个充满动态、不可预测但又内含着惊人秩序的数学世界，它们深刻地挑战了我们对确定性、简单性和规律性的传统认知。 本书的“七彩”之名，寓意着数学的丰富多彩，以及这些数学概念在不同学科领域中所展现出的斑斓色彩。从自然界的鬼斧神工到经济系统的波动起伏，从生物体的生长发育到信息网络的传播演化，迭代、混沌与分形的身影无处不在，它们以独特的视角，帮助我们理解那些曾经被视为“难以捉摸”的现象，并为解决复杂问题提供了全新的思路和方法。 第一章：迭代的魔法——从简单规则到复杂行为 迭代，简单来说，就是重复应用一个过程或函数。这个概念看似平凡，却蕴含着强大的生成能力。在一开始，我们或许会认为，重复相同的操作只会带来相同的结果，或者最多是线性的增长。然而，《当代七彩数学：迭代·混沌·分形》将带领读者，通过一系列引人入胜的例子，深入探索迭代过程中蕴含的惊人潜力。 我们将从最基础的迭代形式开始，例如简单的数列生成，如斐波那契数列，它通过简单的加法规则，却能展现出与黄金分割比例的奇妙联系。接着，我们会探讨更为复杂的迭代过程，例如在计算机科学中广泛应用的算法，它们依靠无数次的迭代计算来解决复杂的优化问题或生成精美的图形。 本书将重点关注迭代如何成为构建复杂系统的基石。想象一下，一个简单的细胞分裂过程，每一次分裂都遵循一套基本的生物化学规则。经过无数次的迭代，一个单细胞最终可以演变成一个庞大而精密的生物体。同样，在经济模型中，个体的理性决策每一次都会影响市场价格，而市场价格的变化又会反过来影响个体的决策，这种迭代反馈循环，构成了经济系统的动态演化。 我们还将触及迭代在图形生成中的应用。著名的“谢尔宾斯基三角形”和“科赫雪花”等分形图形，正是通过简单的迭代规则，从一个基本的几何形状出发，经过不断地复制、缩放和组合，最终生成出具有无限细节和自相似性的迷人图案。这些例子将直观地展示，看似简单的数学规则，在迭代的“魔法”下，能够创造出何等丰富和意想不到的复杂性。 通过本章的学习，读者将深刻理解迭代不仅是数学运算的基本手段，更是理解自然界和人类社会中许多动态过程的核心驱动力。它揭示了“小”可以如何孕育“大”，简单如何生成复杂，并为我们理解后续章节中更为深奥的概念奠定了基础。 第二章：混沌的魅影——确定性系统中的不可预测性 混沌理论，这个听起来充满矛盾的名称，描述的是这样一种现象：在一个完全确定的动力学系统中，初始条件的微小差异，经过一段时间的演化后，可能导致结果的巨大偏差，从而使得系统的长期行为变得难以预测。这似乎与我们对“确定性”的理解背道而驰，但《当代七彩数学：迭代·混沌·分形》将以清晰易懂的方式，剥开混沌的神秘面纱。 本章将从“蝴蝶效应”这一脍炙人口的例子切入，解释为何一个发生在巴西的蝴蝶扇动翅膀，理论上可能引起远在德克萨斯州的龙卷风。我们将探讨混沌系统的关键特征，例如对初始条件的敏感依赖性（敏感依赖性）和不可周期性。这意味着，即使我们能够精确地知道系统的每一个参数，并且知道系统的演化规则，只要我们在测量初始状态时存在任何一点点误差，都会在一段时间后导致预测的失败。 本书将深入剖析一些经典的混沌模型，例如洛伦兹吸引子。洛伦兹是一位气象学家，他试图简化大气运动的数学模型，结果却意外地发现了混沌现象。洛伦兹吸引子图形呈现出一种优美的三维形状，但其轨迹却永不重复，并且对初始条件的微小扰动极其敏感。我们将解析为什么这样的系统，尽管其方程是完全确定的，其长期行为却表现出如此强的不可预测性。 此外，我们还会探讨混沌理论在各个领域的应用。在气象预报中，正是由于大气系统的混沌特性，才使得长期天气预报如此困难。在金融市场中，股价的波动也常常表现出混沌的特征，使得精确预测市场走向成为一项艰巨的任务。在生物学中，心脏搏动的节律、大脑神经元的放电模式，都可能与混沌动力学有关。 本章将引导读者认识到，不可预测性并非一定源于随机性。在一个确定性的框架内，也可以涌现出强大的混沌行为。这不仅改变了我们对“决定论”的理解，也让我们更加深刻地认识到，在复杂的系统中，局部信息的精确度往往难以保证全局结果的可控性。它将挑战我们对“规律”的狭隘理解，并为我们开启理解复杂世界的新视角。 第三章：分形的奇境——无限细节与自相似的艺术 分形，这个词汇本身就充满了数学的诗意。它描述的是一种几何形状，其局部和整体具有相似的结构，并且在任意尺度下都展现出无限的细节。分形的美学价值和科学意义同样巨大，《当代七彩数学：迭代·混沌·分形》将引领读者进入一个充满想象力的分形世界。 本书将从经典的分形例子开始，如曼德尔布罗集和朱利亚集。我们将通过迭代函数，一步步揭示这些图案的生成过程，并惊叹于其表面下隐藏的无限复杂性。你会发现，无论你将画面放大多少倍，总能看到新的、与整体相似的图案不断涌现。这种“自相似性”是分形最核心的特征。 我们将进一步探讨分形在自然界中的广泛存在。海岸线的曲折、雪花的精美、树枝的生长、血管网络的分布、甚至云朵的形状，都具有分形的特征。本书将结合具体的实例，说明分形如何成为描述这些自然现象的有力工具，并解释为何分形能够如此高效地填充空间，或者如此有效地进行物质传输。 在数学层面，我们将介绍分形维度（也称为豪斯多夫维度）。与我们熟悉的整数维度（如点的一维、线的一维、面的二维、体的三维）不同，分形可以拥有非整数的维度，这恰恰反映了它们在填充空间时的“效率”和“粗糙度”。例如，一个海岸线的长度，如果以越来越小的尺子去测量，会发现其长度趋于无穷大，这表明它的分形维度大于一，但小于二，因为它虽然比一条线复杂，但并没有完全“填满”一个二维平面。 本书还将深入探讨分形在科学和工程领域的应用。在计算机图形学中，分形被用来生成逼真的自然景观，如山脉、树木和云朵。在医学影像分析中，分形特征可以帮助识别病灶。在通信领域，分形天线的设计可以实现更小的体积和更宽的频带。在材料科学中，分形结构可以影响材料的性能，如多孔材料的吸附能力。 通过本章的探索，读者将摆脱对传统欧几里得几何的束缚，认识到自然界和许多复杂现象的真实几何形态往往是分形的。分形的美，在于其复杂中的秩序，在于无限的重复中蕴含的简洁规则，在于局部与整体的和谐统一。它将让我们以全新的视角审视我们身处的世界，发现隐藏在平凡事物中的非凡数学之美。 结语 《当代七彩数学：迭代·混沌·分形》是一次关于数学思想的旅程，一次对隐藏在日常现象背后深刻数学原理的探索。迭代、混沌与分形并非孤立的概念，它们相互关联，共同揭示了一个更加丰富、动态且充满秩序的数学世界。 迭代是生成复杂性的引擎；混沌是确定性系统中不可预测性的根源；分形是无限细节与自相似的美妙展现。这三者共同构建了当代数学的一个重要分支，深刻地影响着物理学、生物学、经济学、计算机科学、工程学乃至艺术等众多领域。 本书的目的是激发读者对数学的好奇心，展示数学的活力与创造力，以及它解决现实世界问题的强大能力。希望通过这次“七彩”的数学之旅，读者能够跳出传统的思维模式，以更加开放和深刻的视角去理解我们所生活的这个复杂而迷人的世界。数学不再是冰冷的符号和抽象的公式，而是连接万物、洞察本质的生动语言。

评分☆☆☆☆☆

这本书的结构安排体现了一种高超的节奏控制能力，使得阅读过程张弛有度，读起来毫不拖沓。作者似乎深知读者的注意力是有限的，因此在引入大量复杂信息之后，总会穿插一些精炼的小结或引人深思的段落来帮助消化和沉淀。整体来看，它成功地营造出一种“渐进式揭秘”的氛围，每一章的内容都好像是上一章的自然延伸和深化，而不是孤立的知识点集合。这种环环相扣的编排，极大地增强了阅读的连贯性和整体性，让人在合上书本之后，依然能清晰地勾勒出整个数学分支的内在逻辑骨架，而非一堆零散的知识碎片，这对于知识的长期记忆和内化是非常有益的。

评分☆☆☆☆☆

在阅读过程中，我最大的感受是作者对于“跨学科视野”的执着追求。这本书的厉害之处在于，它巧妙地搭建了一座座连接看似不相干领域的桥梁。例如，它会毫不突兀地将理论应用到自然现象的观察，或者探讨其在现代工程设计中的潜在影响。这种广阔的视角极大地拓宽了我对“数学”这个概念的传统认知，不再觉得它仅仅是计算或逻辑的工具，而更像是一种理解世界万物运行规律的通用语言。每一次理论的引入，都伴随着清晰的现实世界案例支撑，这种理论与实践的紧密结合，让学习过程充满了即时反馈的满足感，也让读者能够真切体会到这些复杂数学分支在当代科技和社会发展中的核心驱动力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的叙事脉络处理得极其高明，它没有像传统教科书那样按部就班地堆砌知识点，而是更像一位经验丰富的向导，带着读者进行一场充满探索欲的智力漫游。作者的笔触非常流畅自然，即便在讨论一些前沿或深奥的数学概念时，也能找到绝佳的类比和生活化的切入点，使得晦涩的原理变得触手可及。我特别欣赏作者在处理历史背景和理论起源时的细腻，这不仅仅是知识的简单罗列，更是将数学思想的发展融入到人类文明进步的大背景中去审视，让人在理解公式的同时，也感受到了数学家们在思维突破时的那种心路历程和挣扎，这种人文关怀让整本书的厚度大大增加，从一本纯粹的学术著作升华为一部思想史的侧记。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计着实让人眼前一亮，那种大胆的色彩运用和富有张力的几何图形排版，让人在书架上就能感受到一股扑面而来的现代气息。初次翻开，我就被它那种近乎艺术品的视觉呈现所吸引，仿佛它不仅仅是一本探讨数学理论的书籍，更是一件可以把玩的现代艺术品。内页的纸张质感也非常考究，印刷清晰，排版疏密有致，即便是面对那些复杂的图表和公式，阅读体验也保持了极高的舒适度。而且，书中的插图选择非常精妙，它们不仅仅是枯燥公式的视觉辅助，更是将抽象概念具象化的绝佳范例，让那些原本可能让人望而生畏的数学模型，瞬间变得生动有趣起来，这对于非专业背景的读者来说，无疑是极大的友好信号，让人愿意沉下心来，细细品味每一个章节。

评分☆☆☆☆☆

这本书的论述风格是那种非常自信且富有洞察力的，它不迎合初学者的浅薄理解，但也不会因此而故作高深。作者在关键概念的阐释上，展现出一种近乎哲学的思辨深度，鼓励读者去质疑既有的框架，去探索更多可能性。尤其是一些关于“无限”和“结构”的讨论部分，其逻辑推演层层递进，每一次深入都像剥开洋葱一样，揭示出更深层次的美感与秩序。对于那些已经有一些基础的读者来说，这本书无疑是一剂强效的“思想兴奋剂”，它提供的不是标准答案，而是更深刻的问题。它迫使你停下来，不仅仅是“知道”某个定理如何运作，而是要“理解”它为什么必须以这种方式存在，这是一种非常高级的智力训练。

评分☆☆☆☆☆

每一章后面作者建议了一些练习，其中包括一些计算机绘图．通过这些练习，读者将会对书中提到的理论有更具体的理解．...

评分☆☆☆☆☆

序言回到顶部↑这本书是写给大学生的一本数学通俗读物．其目的是以函数的迭代为模型，向读者介绍什么是浑沌和分形，以及研究它们的意义．具有微积分基本知识的读者均可读懂它的主要内容．.

评分☆☆☆☆☆

在20世纪60年代，Lorenz在研究大气流动时发现了奇异吸引子的现象．它告诉人们在一个确定性的系统中可能存在着某种不可预测的行为，后来人们把这类混乱和无序的现象称为浑沌(chaos)．分形(fractal)是指一类复杂而不规则的图形，其Hausdorff维数大于其拓扑维数．随着非线性科学的兴起，近几十年来浑沌与分形广泛地出现在许多领域，如天体力学、宇宙学、热力学、生命科学、流体力学、材料科学及各种应用科学．浑沌与分形这两个词汇成为种种非线性科学中的一种语言，并成为理解非线性过程中复杂现象的一条途径．然而，对于大多数非数学专业的工作者而言，人们对于这两个时髦的名词充满着好奇、迷惑和某种神秘感．通过一个简单的数学模型，来解释浑沌与分形的确切含义以及它们是怎样形成的，就是本书写作的初衷．

评分☆☆☆☆☆

确吗？根据飞得快距离就会缩短的事实，难道不能更快地到达远处的星体

评分☆☆☆☆☆

每一章后面作者建议了一些练习，其中包括一些计算机绘图．通过这些练习，读者将会对书中提到的理论有更具体的理解．...

评分☆☆☆☆☆

现在很多高新科技都和分型有关啊，连一棵普通的树都可以用分形来解释，神奇

评分☆☆☆☆☆

模样。然而黑洞却像得不到任何信息的暗球（？），所附属的性质只有质

评分☆☆☆☆☆

定性、光滑性、解析性、对称性及特征理论。本书可供理工

评分☆☆☆☆☆

专家对此进行了研究。比如地球，有陆地、海洋、大气、表面有冷热之分