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周春荔 著

圖書標籤:

• 整數
• 數論
• 算法
• 數學
• 競賽
• 奧數
• 編程
• 問題解決
• 進階
• 基礎

店鋪： 滿苑逞嬌圖書專營店

齣版社： 電子工業齣版社

ISBN：9787121243738

商品編碼：29885200901

包裝：平裝

齣版時間：2014-09-01

基本信息

書名：整數問題十講

定價：39.80元

作者：周春荔

齣版社：電子工業齣版社

齣版日期：2014-09-01

ISBN：9787121243738

字數：

頁碼：

版次：5

裝幀：平裝

開本：16開

商品重量：0.4kg

編輯推薦

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內容提要

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本書對幾類常見的整數整除試題進行瞭分類講解.例題新穎，解法巧妙，對數學思維訓練有良好的啓迪作用.各講都配有適量的練習題（有提示和解答），供讀者獨立研習. 書中的例題、習題大多數都有“短、平、快”的適於現代少年訓練思維的特點. 本書既是少年朋友學習整數問題常識的良師益友，也是參加數學競賽同學的備賽寶典.還為少年數學競賽的教練員提供瞭教學、培訓等豐富的參考資料.

目錄

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作者介紹

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文摘

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序言

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現代幾何拓撲學基礎與應用 作者： [此處填寫虛構的作者姓名，例如：張宏偉、李明德] 齣版社： [此處填寫虛構的齣版社名稱，例如：科學技術齣版社、高等教育齣版社] 版次： 第一版 字數： 約 1500 字 --- 捲首語 數學的魅力在於其無盡的抽象與深邃的邏輯，而幾何拓撲學正是連接空間直覺與嚴格證明的橋梁。本書旨在為讀者構建一個堅實而廣闊的現代幾何拓撲學框架，帶領大傢深入理解流形、縴維叢、同調論等核心概念，並領略這些理論在物理學、計算機圖形學乃至復雜係統分析中的強大應用。我們力求在保持數學嚴謹性的同時，用清晰的闡釋和豐富的實例，激發讀者對空間形態和形變規律的探索熱情。 第一部分：點集拓撲的奠基石 本書的開篇聚焦於拓撲學最基本的語言——點集拓撲。我們將從集閤論的基礎齣發，係統地構建拓撲空間的定義、性質以及重要的分類。 第一章：拓撲空間的基本概念 本章詳盡闡述瞭拓撲結構、開集、閉集、鄰域、閉包、內部與邊界等基本概念。特彆強調瞭相對拓撲、子空間拓撲以及商拓撲的構造方法，這些是後續研究流形和商空間的必備工具。我們深入分析瞭T1、豪斯多夫（Hausdorff）空間、正則空間和完全正則空間的區彆與聯係，尤其突齣瞭豪斯多夫空間在幾何中的關鍵地位。 第二章：連續性、連通性與緊緻性 連續函數的拓撲定義及其與開閉集的內在關係是本章的核心。通過實例，我們展示瞭連續性如何保持拓撲性質。隨後，引入連通性（path-connectedness）的概念，區分瞭路徑連通與一般連通，並討論瞭它們在構造空間分解中的作用。緊緻性，作為一種重要的“有限性”概念，將通過 Heine-Borel 定理（在 $mathbb{R}^n$ 中）和更一般的定義進行深入探討。緊緻集的閉子集仍是緊緻的性質，對於泛函分析中的收斂性至關重要。 第三章：度量空間與完備性 度量空間是連接幾何直覺與拓撲抽象的天然橋梁。本章定義瞭度量空間，討論瞭由度量誘導的拓撲，並分析瞭開球、閉球的概念。重點關注完備度量空間，引入 Baire 範疇定理，該定理是處理函數空間和存在性證明的有力工具。巴拿赫不動點定理作為完備性在微分方程中的直接應用，將被詳細論證。 第二部分：流形與微分結構 在掌握瞭點集拓撲的語言後，我們邁入現代幾何學的核心領域——微分流形。 第四章：流形與圖冊 本章係統定義瞭 $n$ 維微分流形的概念，強調瞭光滑圖冊（Atlas）和轉移函數（Transition Maps）的光滑性要求。我們從最直觀的 $mathbb{R}^n$ 開始，逐步過渡到球麵 $S^n$、環麵 $T^n$ 等經典例子。對可定嚮性（Orientation）的討論，為後續的積分和拓撲不變量的定義打下基礎。 第五章：切空間與嚮量場 切空間是研究流形上局部綫性結構的基石。本章定義瞭流形上某點 $p$ 的切空間 $T_pM$，並解釋瞭它如何通過導數（拉迴和推前）的概念被構造齣來。嚮量場的定義及其在流形上的光滑性是本章的重點。我們引入李導數和流（Flow）的概念，預示瞭微分方程在幾何中的應用。 第六章：張量場與微分形式 為瞭進行積分和外微分，我們需要更精細的代數工具。本章引入張量場的概念，特彆是協變張量和反變張量。隨後，深入探討微分 $k$ 形式，它們是光滑函數的“微分操作”的推廣。拉迴操作（Pullback）被精確定義，以便於理解函數如何作用於微分形式。 第三部分：同調與上同調：代數拓撲的視角 代數拓撲通過將拓撲空間“翻譯”成代數對象（如群、環），從而能夠利用代數的強大工具來區分拓撲空間。 第七章：單純復形與同調群 本章首先介紹單純復形（Simplicial Complexes）作為離散化流形的有效手段。我們詳細構造瞭單純同調群 $H_k(X)$，解釋瞭鏈復形、邊界算子和圈的定義。重點講解邊界群與循環群的商結構，以及同調群如何衡量空間中的“洞”的數量和維度。單連通性與 $H_0$ 的關係將被明確闡述。 第八章：鏈映射與同調的自然性 連續映射如何在拓撲空間之間建立橋梁，同樣，光滑映射（或更一般地，連續映射）如何在對應的同調群之間誘導齣群同態 $f_: H_k(X) o H_k(Y)$。這種自然性是代數拓撲方法論的核心。我們將運用同調論來證明一些重要的拓撲不變性，例如布勞威爾不動點定理的同調版本。 第九章：De Rham 上同調與積分幾何 本章將視角轉嚮微分流形上的 De Rham 上同調。我們定義瞭外微分 $mathrm{d}$，並利用 De Rham 復閤體 $(Omega^(M), mathrm{d})$ 構造上同調群 $H_{dR}^k(M)$。Poincaré 引理和 De Rham 定理是本章的重頭戲，後者證明瞭拓撲上同調群與光滑流形上的 De Rham 上同調群是同構的，揭示瞭微分結構對拓撲性質的深刻影響。 第四部分：幾何與應用前沿 最後一部分將探討幾何結構對流形的影響，並展示這些抽象理論在當代科學中的映射。 第十章：黎曼幾何初步 我們引入黎曼度量 $g$ 對流形結構的影響，將流形升級為黎曼流形。本章討論瞭度量的性質、黎曼麯率張量的定義及其對稱性。測地綫（Geodesics）作為最短路徑的概念將被引入，並探討麯率如何影響空間的全局結構（如球麵的麯率）。 第十一章：縴維叢與規範場論 縴維叢是描述局部結構如何通過轉換函數“粘閤”起來的通用框架。本章定義瞭嚮量叢、主叢，以及它們的一般化——縴維叢。我們探討瞭截麵（Section）的概念，並簡要介紹瞭縴維叢在物理學中與規範場（如電磁場）的緊密聯係，展示瞭拓撲語言在描述自然基本力中的不可替代性。 結語 本書提供的知識體係旨在為有誌於深入研究微分幾何、拓撲學、理論物理或應用數學的讀者，打下堅實而全麵的基礎。我們希望讀者在讀完此書後，能夠以幾何拓撲的全新視角，重新審視並理解周圍世界的復雜形態與內在規律。

評分☆☆☆☆☆

我一直對那些看似簡單卻蘊含著無限奧秘的數學問題特彆著迷，而《整數問題十講》這本書正是滿足瞭我這種好奇心。它並不是一本教科書，裏麵沒有那種循序漸進的“教學”模式，更像是一係列數學隨筆，作者以一種非常個人化的視角，分享他對整數領域各種問題的思考和探索。我特彆喜歡書中對一些“開放性”問題的探討。例如，關於“哥德巴赫猜想”的曆史和目前的進展，作者並沒有給齣明確的答案，而是帶領讀者迴顧瞭數學傢們為解決這個猜想所付齣的努力，以及其中涉及到的各種數學工具和思想。 書中的一些章節，更多的是在激發讀者的思考，而不是提供現成的答案。比如，作者會提齣一些看似簡單但卻難以證明的命題，然後引導讀者去尋找反例，或者嘗試給齣一些初步的猜想。這種“探險式”的學習過程，讓我感覺自己不僅僅是在閱讀，更是在參與到一場數學的探索之中。書中也包含瞭一些作者自己對整數問題的獨特見解，這些見解雖然不一定是最主流的，但卻能提供一種全新的思考角度。這本書的語言風格非常灑脫，充滿瞭人文關懷，讀起來並不感到枯燥，反而像是在與一位學識淵博的朋友進行思想交流。雖然這本書的內容對我來說可能有些挑戰，但我相信，它能夠極大地拓寬我的數學視野，並激發我更深入地研究整數理論的興趣。

評分☆☆☆☆☆

第一次翻開《整數問題十講》，我以為會遇到一本枯燥乏味的定理證明集，或者是一堆需要死記硬背的公式。但這本書帶給我的驚喜遠超我的預期。它更像是一場與數學思想的對話，每一講都像是一個精心設計的謎題，引導我去思考，去探索。書中的“講”並非是獨立的章節，而是在一個大的主題下，層層遞進，相互關聯。比如，關於素數的分布，書中並沒有直接給齣公式，而是從曆史上的猜想，到早期數學傢們零散的觀察，再到現代數學傢們如何利用微積分和解析方法來逼近這個難題，整個過程如同一部引人入勝的數學偵探小說。 我尤其對書中關於“周期性”在整數問題中的應用的講解印象深刻。作者通過一些非常直觀的例子，比如時鍾的指針轉動、樂麯的重復鏇律，來類比整數序列中的周期現象。這讓我這樣一個非數學專業的讀者，也能在腦海中構建齣清晰的圖像。書中還涉及到瞭一些與代數、組閤數學相關的概念，雖然涉及不深，但卻巧妙地將它們與整數問題聯係起來，展示瞭數學學科之間內在的統一性。這本書的語言風格也十分獨特，沒有生硬的學術腔調，反而充滿瞭啓發性和趣味性。讀完這本書，我感覺自己對“整數”這個看似簡單卻又蘊含無限奧秘的概念，有瞭全新的認識。它教會我，數學不僅僅是計算和證明，更是一種觀察世界、理解世界的方式。

評分☆☆☆☆☆

《整數問題十講》這本書，如果我一定要用一個詞來形容它，那就是“啓迪”。它不像很多數學書籍那樣，上來就拋齣一堆定義和定理，然後要求你一步步去推導。這本書的開篇，並沒有直接進入“整數”的定義，而是從一個看似與數學無關的生活現象入手，比如古人的計數方式、如何分配資源等等，然後循序漸進地引齣整數的概念。這種“潤物細無聲”的引入方式，讓我感覺非常舒服，也讓我對即將展開的內容充滿瞭好奇。 我在閱讀過程中，最 the most 吸引我的是書中對一些“不尋常”整數性質的探討。比如，書中花瞭不少篇幅講解“不可約數”和“素數”之間的細微差彆，以及在一些非標準算術係統中，這些概念會發生怎樣的變化。這讓我意識到，我們習以為常的整數性質，並非是絕對的，而是依賴於我們所處的數學框架。書中也穿插瞭一些數學史的故事，講述瞭曆史上偉大的數學傢們是如何一步步攻剋整數難題的，這些故事充滿瞭智慧和勇氣，讓我對數學這門學科産生瞭更深的敬意。雖然書中涉及的數學深度不一，有些地方我需要反復閱讀纔能理解，但每一次的理解都給我帶來瞭巨大的成就感。這本書更像是一位良師益友，在引導我思考，而不是簡單地灌輸知識。

評分☆☆☆☆☆

這本書的書名確實是《整數問題十講》，但我在閱讀過程中，發現這本書的側重點似乎與我最初的想象略有齣入。我本來以為它會像一本教科書那樣，係統地梳理整數理論的各個分支，從基礎的整除性、同餘到更高級的二次剩餘、丟番圖方程等等，並提供大量的例題和習題來幫助讀者鞏固知識。然而，這本書更像是一位經驗豐富的數學傢在分享他對於整數問題的一些深刻見解和獨特的思考角度。書中並沒有按照嚴格的邏輯順序展開，而是以一種更為靈活的方式，選擇瞭一些他認為“有趣”或者“重要”的整數問題進行深入探討。 我特彆喜歡書中對某些經典問題的“新”解法。例如，在討論某個數是否能錶示為兩個平方數之和的問題時，作者並沒有直接套用費馬定理，而是從幾何的角度引入，通過在一個網格點上構建特定的圖形來闡釋其原理。這種跳脫齣常規思維的講解方式，讓我耳目一新，也讓我對這個問題有瞭更深層次的理解。書中也包含瞭一些作者自己研究的未解決問題，雖然這些問題對於初學者來說可能有些難度，但它們展現瞭數學研究的前沿，激發瞭我繼續探索的興趣。總而言之，這本書更適閤那些已經對數論有一定基礎，並且渴望看到更多“數學之美”的讀者。它不是那種能讓你快速“學會”某個知識點的工具書，而是能讓你“感受”數學魅力的思想之書。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，在讀《整數問題十講》之前，我對“整數”的理解僅停留在小學、初中階段的加減乘除和正負數。這本書徹底顛覆瞭我的認知。它就像一座打開通往全新數學世界的大門。我尤其驚嘆於書中對“數論”這個分支的精彩呈現。它並沒有迴避復雜的數學證明，但又巧妙地將這些證明融入到生動的故事和直觀的例子中。例如，在講解“歐幾裏得算法”時，作者並沒有直接給齣公式，而是通過模擬實際場景，比如如何用最少的步驟測量齣兩根不同長度的木棒的公約數長度，讓我一下子就明白瞭算法的精髓。 書中對“模運算”的講解也讓我印象深刻。作者用一個非常形象的比喻，將模運算比作在一個圓形的跑道上行走，每次前進一定的步數，最終會迴到哪個位置。這個比喻讓我對同餘關係有瞭直觀的理解，也為後續學習更復雜的數論問題打下瞭基礎。書中也涉及瞭一些看似“微不足道”的整數性質，比如“完全數”、“虧數”、“盈數”等，但作者卻能從這些性質中挖掘齣深刻的數學內涵，並將其與一些有趣的數學謎題聯係起來。這本書的價值在於，它不僅僅是傳授知識，更重要的是培養讀者的數學思維方式，教會你如何去分析問題、解決問題。雖然有些內容需要反復琢磨，但每一次的深入理解都讓我覺得受益匪淺。