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齣版社： 1

ISBN：9789573268024

商品編碼：28146867887

正文語種：繁體中文

陶哲軒教你聰明解數學

• 作者： 
• 原文作者：
• 譯者：
• 齣版社：
• 齣版日期：2011/07/01
• 語言：繁體中文

• 定價：280元

• ISBN：9789573268024
• 叢書係列：
• 規格：平裝 / 16k菊 / 14.8 x 21 cm / 普通級 / 單色印刷 / 初版
• 齣版地：颱灣

內容簡介

陶哲軒是華裔數學天纔、目前數學界響噹噹的人物，也是極受學生歡迎的UCLA數學教授。本書寫於15歲，多年來對許多數學資優生、數學傢和教育工作者帶來很大啟發。15年後陶哲軒30歲，應英國劍橋大學齣版社之邀進行增補與修訂，再次齣版。

這是一本愛好數學的中學生談怎樣學數學、解數學題的書。陶哲軒用中學生的語言講數學，優遊於數論、代數、歐幾裏得與解析幾何等數學領域，處處可見對他對數學之美的讚嘆與樂趣。他舉齣一個個實際例子，教導大傢從瞭解問題開始，進而分析問題的本質、討論各種解法的優劣、剔除不閤適的方法，後使解題技巧逐漸浮現，並提供許多有趣的練習題。

書中特別著重解題過程的思考，藉由分享自己的經驗、觀察和思考問題的角度，帶領大傢一起享受解題的樂趣，無論是中學生與老師、數學係學生或愛好數學的人，都可得到很大的收穫。

作者簡介

陶哲軒（Terence Tao）

1975年生於澳洲，曾於1986、1987、1988年入選國際數學奧林匹亞競賽澳洲代錶隊，分別獲得銅、銀、金牌，創下年輕（13歲稚齡）獲得數學奧林匹亞競賽金牌的紀錄，至今無人能打破。

他在20歲獲頒普林斯頓大學博士，21歲起任教於加州大學洛杉磯分校（UCLA）數學係，25歲成為正教授，31歲更獲頒有「數學界的諾貝爾獎」之稱的費爾茲獎（Fields Medal），是繼1982年的丘成桐之後獲此殊榮的第二位華人，被喻為「數學界的莫劄特」。

目前與太太和兒子住在洛杉磯。

譯者簡介

於青林

加拿大西濛菲莎大學（Simon Fraser University）博士，現任加拿大湯普森河大學（Thompson Rivers University）數學係教授、南開大學特聘教授。於青林教授是知名數學傢，先後在國際數學期刊發錶30餘篇論文，研究成果受到廣泛應用，曾和加拿大公司閤作開發醫療資料庫管理軟體，於2001年獲頒微軟公司的MEC Award。

審訂者簡介

遊森棚

曾任教於建中數理資優班，現任高雄大學應用數學係副教授。平日喜歡閱讀、看小說、聽音樂、寫書法、摺紙、跑長跑。曾獲十次北市及颱灣區音樂比賽閤唱冠軍，並任中華民國國際數學奧林匹亞競賽領隊。著有《我的資優班》。

序

導讀1
看見解答背後的思路
傅承德

數學究竟該怎麼教？怎麼學？

迴顧我們從小到大的數學課，多半都是一個既定模式：老師教你一些數學工具，然後告訴你某種數學問題要用什麼工具，另一種數學問題又該用什麼工具。例如老師教你排列組閤，然後告訴你三男五女圍著一張圓桌坐要怎麼算；教你三角函數時，告訴你怎麼用正弦定理求三角形的麵積。

考試的時候，學生就依樣畫葫蘆。「老師說這題要用排列組閤來算」，便套用排列組閤的公式。「這題參考書有寫，要用正弦定理」，所以就把正弦定理拿齣來用。碰到沒看過的題目，學生兩手一攤：「我沒學過，我不會。」

於是，學生手握諸多神兵利器，卻對於沒見過的問題一點辦法也沒有，除非老師曾經教過，否則他不知道該如何齣招。

偏偏世界上大多數的問題老師都沒教，也沒辦法教。在這個日新月異的時代，不論是學術界、實務界、數學奧林匹亞競賽乃至於現實人生，我們都不斷地麵對新的問題，全世界沒有人看過，更沒有人知道該如何解答。在這樣的狀況下，我們不能再依靠學校老師給我們解答，因為解答根本還不存在於這個世界上！

因此，我們迫切需要培養「自行尋找解答」的能力。我們需要瞭解，一個解答是如何「想」齣來的：為什麼三男五女的題目要這樣計算？為什麼這個麵積要用正弦定理？當初想齣這些解答的數學傢們麵對這些題目時，究竟是如何抽絲剝繭、逐步分析、找齣適閤的數學工具，並進而求解？

我們需要去看見「解答背後的思路」，纔能瞭解在麵對新的問題時如何創造新的解答。

而這便是本書的精髓所在。10歲便成為數學奧林匹亞國手，現今仍繼續活躍於數學界的「神童」陶哲軒教授，在這本書裡將他的解題思路完完整整地攤在諸位麵前。他不隻告訴各位題目怎麼解，更重要的是，他是如何「想」齣這些解答的。藉由這本書，相信讀者可以很清楚地瞭解到，這些解答不是憑空掉下來的；它是透過逐步分析，一步步歸納齣可行的方案，慢慢鋪陳齣來的。

它是可以「想」齣來的。您也做得到！

本書對於數學的學習與理解幫助甚大，能讓讀者學會如何將課堂上所學到的數學知識轉化為個人的數學能力，故在此推薦給學生、教師、傢長以及社會大眾。相信在閱讀本書後，您會對數學這個大部分人覺得「神祕而難以理解」的學科有全新的理解與體悟，並對您在未來人生中思考問題上（不論是哪一類的問題），有非常正麵的幫助。

（本文作者為中央大學統計研究所講座教授兼所長，中華民國數學奧林匹亞計畫主持人）

導讀2
頂數學傢的年輕熱情
遊森棚

讀者手上這本書，是當代閃亮的頂數學傢陶哲軒在15歲時寫的一本關於如何解題的手冊。書中藉由一些試題，談談解數學題時的思維和方法。

書中的選題多是不難，卻是需要思考的數學競賽試題。但是說實在，關於解「數學難題」或「解數學競賽題」，市麵上已經有太多書，任選一本，內容的深度和蒐羅的廣度大概都超過。如同升學參考書，這類型的書已經發展到有題型整理、有模擬試題、有貼心的重點整理。用這個標準篩選，這本書是排不進來的。

但是如果你真的熱愛數學、關心教育，我要大力推薦陶哲軒的這本書。所有熱愛數學的學生以及有機會教到資優學生的數學老師和傢長，都可以讀一讀。為什麼？

首先，這是解題思路的第*手資料。到底難題是怎麼想齣來的？這可能是所有在數學裡掙紮的人想知道的一點。這本小書中，作者不藏私地分享他在麵對問題時的思緒：怎麼抽絲剝繭、怎麼分析、該選用什麼工具和知識、怎麼找到關鍵點。難得有書這樣寫，所以讀者若能吸收作者的想法，必能在數學的思維上有很多新的領悟和收穫！

再者，普羅大眾都喜歡奇人軼事。陶哲軒的早慧故事讓人津津樂道且目瞪口呆：他齣生於1975年，從小就是有名的「天纔兒童」，8歲時去考SAT（大學入學考試測驗），滿分800分，他考瞭760分；他在11、12、13歲（1986、87、88年）參加國際數學奧林匹亞競賽，分別拿到銅牌、銀牌和金牌，而13歲拿金牌，仍然是目前的紀錄保持人；他20歲拿到普林斯頓大學的博士學位，24歲成為加州大學洛杉磯分校（UCLA）的正教授。

以上這些經歷，可能是現今颱灣父母夢寐以求的想望，一個如此聰明的「天纔兒童」。

但是外行看熱鬧，內行看門道。以上可以當做茶餘飯後的故事，真正值得敬佩的是他接下來的學術成就。截至2011年，陶哲軒已經發錶瞭將近200篇高品質的學術論文。多半學者窮其一生隻能專精一、兩個領域，他卻已經可以同時在數個領域，諸如調和分析、偏微分方程、解析數論、組閤學等等都走在同行的頂，甚至開創瞭幾個新的研究方嚮。

不到40歲，陶哲軒已經得到十多個國際性的學術獎項，包括2000年薩蘭獎（SalemPrize）、2002年博謝獎Salem Prize）（Bocher Prize）、2003年剋萊數學研究獎（Clay Research Award）、2008年沃特曼獎（AlanT.WatermanPrize）、2009Alan T. Waterman Prize）年費薩爾國王國際獎（King Faisal International Prize）、2010 年內默斯獎（Nemmers Prize）和波利亞獎（Polya Prize），以及2006年在國際數學傢大會上榮獲有「數學界的諾貝爾獎」之稱的費爾茲獎（Fields Medal）。說實話，這些成就已經如同遠在天邊的星星，是多少科學傢一輩子無法達到的境界。

因此，不管是學生、老師、傢長或學者，麵對手上這本書，我們都應該有一點點興奮。這不是一本解題報告，也不是教導如何準備數學競賽的參考書，而是一個當今頂數學傢的年輕熱情。這顆年輕的心是如此熱愛數學，熱愛到會想把自己的心得寫成一本小小的冊子，嚮（那時候還不知道在哪裡的）讀者分享他的喜悅。這是有血有肉的年輕歲月紀錄，這是麵對自己熱情的誠實筆記。

我希望讀者能體會我要傳達的意思。藉由這本小書的內容，除瞭吸收陶哲軒對於解題的思路以外，更值得思考的是，這樣的熱情如何能經過陶冶、淬煉成長而成熟。

這幾年我有一些機會參與國際奧林匹亞競賽選手的選拔及培訓工作，也有幸擔任瞭2006和2007年的國傢代錶隊領隊。在頒獎時我總是非常戰慄，打從心底戰慄，因為你知道颱上這些年輕的學生不僅聰明又努力，而且他們很有可能會改變這個世界。

種子要開花結果，需要適當的土壤、肥料、水分和陽光；同樣的道理，在颱灣聰明的學生到處都是，但更需要的是健康的環境與個人的努力。黑葉荔枝怎麼種也不會變成玉荷包，反而應當好好栽培成甜的黑葉。同樣的道理，發掘自己的熱情和資質擅長所在，專精一緻纔是正確的方嚮。

希望這本書的齣版不僅讓我們一窺數學的美妙，也讓我們思考一些關於人纔養成的深刻問題。

（本文作者為高雄大學應用數學係教授，2006、2007年國際數學奧林匹亞競賽國傢代錶隊領隊）

推薦文
體驗以簡馭繁的數學美感
曾俊雄

閱讀本書讓我領略到陶哲軒的思維特性，敏銳的直覺、嚴謹的邏輯和藝術般的解題策略與歷程，令人驚讚連連！

你也可以一起動筆想想看、做做看！或找兩、三好友一起PK討論，再對照書中的解法，看看各有何巧妙之處；也可以將陶哲軒當成傢庭教師，看他述說如何破題，隨他遨遊解題歷程，一起感受數學以簡馭繁的精神與美感，一起享受碰壁、轉彎、柳暗花明、豁然開朗的解題樂趣！

常有人問：那些「數學天纔」解題時的想法果真深奧難懂？他們超凡的洞察力難道來自於神諭？或是解題工具、技巧超乎尋常？我想這位智商220以上、被推崇為聰明科學傢的陶哲軒，已提供瞭他的答案！

（本文作者為颱北市立建國高中數理資優班導師暨數學老師）

探索數學的深度與廣度：精選數學讀物導覽 本導覽旨在為對數學抱有濃厚興趣的讀者，特彆是那些尋求深入理解、拓展思維邊界的學術探索者，提供一個精選的書目推薦。以下介紹的係列著作，旨在構建一個從基礎到前沿的數學知識體係，涵蓋瞭嚴謹的理論基礎、優雅的證明藝術，以及數學在現代科學中的廣泛應用。 --- 第一部分：奠定堅實基礎——微積分與綫性代數的重塑 對於任何深入學習數學的讀者而言，微積分和綫性代數是不可或缺的兩大支柱。本部分推薦的書籍，摒棄瞭傳統教材的枯燥說教，注重培養讀者的直覺理解和嚴謹的邏輯構建能力。 1. 《分析的基石：從實數到勒貝格積分的嚴謹之旅》 目標讀者： 準備進入高等數學（分析學）階段，或對微積分背後的嚴密性有疑問的本科生及自學者。 內容側重： 本書緻力於將讀者從高中階段直觀的微積分概念，引導至現代數學分析的嚴格框架。它不僅僅教授如何計算導數和積分，更深入探討瞭極限、連續性、收斂性的精確定義和基本性質。 實數係統與拓撲基礎： 首先，本書詳盡地構建瞭完備的實數係統（如利用戴德金分割或柯西序列構造），並引入瞭度量空間和拓撲空間的基本概念，為後續的泛化打下基礎。 序列與級數的收斂性： 強調瞭均勻收斂與逐點收斂的區彆，這是理解函數序列和級數行為的關鍵。 黎曼積分的局限與勒貝格積分的引入： 詳細剖析瞭標準黎曼積分在處理不規則函數時的不足，然後以清晰的步驟介紹勒貝格測度和積分理論。這一部分尤其側重於“為什麼”需要這種新的積分概念，以及它如何極大地擴展瞭可積函數的範圍，為泛函分析做鋪墊。 證明的藝術： 書中穿插瞭大量的範例和挑戰題，要求讀者不僅要理解定理的內容，更要能夠獨立構建完整的證明鏈條。 2. 《綫性代數：幾何直覺與矩陣的內在結構》 目標讀者： 計算機科學、工程學、經濟學專業學生，以及希望掌握矩陣理論在數據科學中應用的研究人員。 內容側重： 傳統綫性代數常被簡化為一係列解方程組的算法。本書則強調幾何意義和結構性理解。 嚮量空間與綫性變換的幾何視角： 從嚮量和子空間的直觀幾何意義齣發，理解綫性變換如何作用於空間，如鏇轉、投影和拉伸。 特徵值與特徵嚮量的深層意義： 不僅計算它們，更解釋瞭特徵值代錶瞭綫性變換作用下保持方嚮的“軸綫”，是理解動力係統和穩定性分析的核心。 內積空間與正交性： 探討瞭如何在更高維空間中定義“長度”和“角度”，這是傅裏葉分析、最小二乘法等技術的基礎。 奇異值分解（SVD）： 作為全書的亮點之一，SVD被視為對任意綫性變換最“清晰”的描述。本書詳細闡述瞭SVD在數據降維（PCA）和矩陣近似中的實際應用。 --- 第二部分：抽象與結構——代數與離散數學的探秘 一旦掌握瞭分析的基礎，下一步便是轉嚮數學的抽象結構——代數。這部分讀物旨在培養讀者對對稱性、運算規則和結構保持性的深刻理解。 3. 《抽象代數導論：群、環與域的統一視角》 目標讀者： 數學專業高年級學生，或對數論、密碼學有興趣的理工科背景讀者。 內容側重： 探討代數結構的核心概念，強調從具體例子（如整數、多項式）上升到抽象定義的邏輯過程。 群論的入門與應用： 從對稱群（如二麵體群、鏇轉群）開始建立直覺，隨後過渡到子群、陪集、同態和同構的概念。重點討論拉格朗日定理和Sylow定理的意義。 環與域的結構： 考察整數環、多項式環的性質，引入理想（Ideals）的概念，理解它們如何充當“子結構”的角色。域（Fields）作為沒有零因子的環，是伽羅瓦理論的基礎。 伽羅瓦理論的初探： 雖然是深入主題，但本書會以簡化的方式介紹伽羅瓦理論如何用群論的語言解釋多項式方程的可解性（如五次方程不可解的原因）。 4. 《離散數學：邏輯、集閤與算法的橋梁》 目標讀者： 計算機科學傢、邏輯學愛好者，以及需要紮實組閤計數和圖論基礎的工程師。 內容側重： 關注有限世界中的數學結構，強調嚴謹的邏輯推理和計數方法。 數理邏輯與證明方法： 深入研究命題邏輯和一階邏輯，重點訓練演繹推理、歸謬法、數學歸納法等核心證明技巧。 組閤數學的計數技巧： 涵蓋排列組閤的進階主題，如容斥原理、生成函數在解決復雜計數問題中的應用。 圖論的結構與應用： 不僅介紹連通性、遍曆性（歐拉路、哈密頓環），更深入探討平麵圖、圖著色問題，以及圖論在網絡分析中的建模能力。 關係與函數的性質： 詳細分析等價關係和偏序關係，這對於數據結構和數據庫理論至關重要。 --- 第三部分：前沿與交叉——概率、應用與展望 數學的魅力在於其解決現實問題的能力。本部分的書籍聚焦於不確定性下的建模以及數學與其他學科的交匯點。 5. 《概率論與隨機過程：從貝葉斯推斷到馬爾可夫鏈》 目標讀者： 數據科學傢、金融工程師，以及需要掌握隨機模型進行預測和決策的讀者。 內容側重： 建立在嚴格測度論基礎上的概率論，並將其推廣到隨時間變化的隨機現象。 概率的公理化基礎： 強調樣本空間、事件域和概率測度的嚴格定義。 隨機變量與期望的計算： 區分離散與連續隨機變量，重點介紹矩、矩母函數和中心極限定理的普適性。 隨機過程的構建： 詳細介紹重要的隨機過程模型，包括： 泊鬆過程： 用於描述事件的隨機到達。 馬爾可夫鏈： 闡述“無後效性”原理，用於建模狀態轉移和穩態分布分析。 布朗運動（Wiener過程）： 作為連續時間隨機過程的基石，連接到金融數學中的期權定價。 統計推斷的數學基礎： 引入大數定律和中心極限定理，為參數估計（如最大似然估計）和假設檢驗提供堅實的數學保障。 6. 《微分方程的幾何與物理：從守恒律到混沌》 目標讀者： 物理學、工程學以及生物數學領域的研究者。 內容側重： 將常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）視為描述自然界變化規律的語言。 一階ODE的相平麵分析： 引入相平麵、平衡點、穩定性和不穩定性的概念，即使在無法求解解析解時，也能通過幾何圖形洞察係統的長期行為。 綫性ODE係統與矩陣指數： 利用綫性代數的工具（特徵值分解）係統地求解高階綫性微分方程組。 初值問題與解的存在性/唯一性： 探討皮卡-林德勒夫（Picard-Lindelöf）定理，確立瞭解的可靠性。 經典PDE的物理背景： 重點分析熱傳導方程、波動方程和拉普拉斯方程。講解分離變量法、傅裏葉級數在求解這些邊界值問題中的核心作用。 簡介混沌理論： 通過洛倫茲吸引子等例子，展示確定性係統如何産生看似隨機的復雜行為，以及龐加萊截麵等工具的應用。 --- 總結： 本導覽精選的六本書籍，共同構成瞭一個從嚴格基礎分析到抽象代數結構，再到隨機建模和微分方程應用的完整學習路徑。它們的目標是培養讀者不僅能“計算”，更能“理解”數學的內在邏輯和外在錶現力，從而能夠自信地探索更深層次的學術領域。

評分☆☆☆☆☆

拿到這本繁體字版的書時，首先就被它紮實的裝幀和清晰的排版吸引住瞭。遠流齣版的質量一嚮讓人放心，紙張的手感很好，即使長時間閱讀也不會覺得眼睛疲勞。內容上，雖然書名聽起來有些“功利”，好像是直接灌輸解題技巧，但實際上它探討的是一種更深層次的“聰明”——如何像一個真正的數學傢那樣思考問題。書中的例子選擇非常巧妙，它們既有足夠的深度來挑戰讀者的思維，又不會因為過於偏僻而顯得脫離實際應用。我特彆喜歡它對“反例”的討論，很多時候，理解一個概念的邊界比記住它的定義更重要，這本書在這方麵做得極為齣色。它教會我的不是如何快速得齣答案，而是如何構建一個邏輯嚴密的推理鏈條，即便是麵對從未見過的題目類型，也能迅速抓住問題的本質。這套理念的轉變，對我後續接觸到的一些應用數學領域也産生瞭積極的影響，讓我不再畏懼那些看似無解的難題。

評分☆☆☆☆☆

作為一名理工科學生，我手邊已經堆瞭不少各種版本的微積分和綫性代數的參考書，但老實說，很多都是“救急”用的，看完就忘。這本“陶哲軒”係列（我姑且這麼稱呼它），給我的感覺完全不同，它更像一本思想入門手冊。它並沒有直接給齣大量的習題，而是通過一係列精妙的論證，潛移默化地提升讀者的數學直覺。我曾經在一個非常睏惑的點上卡瞭很久——關於抽象代數中某個群結構的理解。閱讀這本書中的相關章節後，茅塞頓開。作者並沒有直接給齣定義，而是用瞭一種非常“搭積木”的方式，讓你自己去體會為什麼需要這樣的結構存在。這種引導式的教學方法，極大地減少瞭死記硬背的痛苦，讓知識真正內化成瞭自己的能力。對於那些希望從“做題傢”轉型為“思考者”的讀者來說，這本書的價值是無法用做對多少題來衡量的。

評分☆☆☆☆☆

說實話，剛開始接觸這本書時，我有點擔心它是否會過於強調“快”，畢竟“聰明解數學”這個標題挺唬人的。但讀完前幾章後，我發現自己的擔心是多餘的。這裏的“聰明”並非指投機取巧，而是一種更高效率的理解能力。它教你如何跳齣題目的細節，從宏觀角度把握住全局的脈絡。例如，在處理多變量函數優化問題時，這本書提供瞭一種幾何直觀的理解框架，讓我能迅速判斷齣哪個方嚮是梯度上升最快的，而不是機械地套用拉格朗日乘數法。這種思維方式的提升，對於準備研究生考試或未來從事科研工作的人來說，簡直是如虎添翼。它不僅是解答眼前習題的工具書，更是一本可以伴隨你整個學術生涯的思維指南。我已經在推薦給所有低年級學弟學妹瞭，希望他們能盡早領悟到這種更高級的學習方法。

評分☆☆☆☆☆

這本書簡直是為那些想在數學世界裏“開掛”的年輕人量身打造的秘籍！我本來對高等數學這種“高冷”的學科望而卻步，覺得那些復雜的公式和抽象的概念就是天書。但作者（陶哲軒本人或者譯者，我不太確定具體是誰，但絕對是位數學大傢）的敘述方式完全顛覆瞭我的認知。它不是那種枯燥地堆砌定義和定理，而是像一個經驗老到的嚮導，帶著你一步步深入到數學思維的核心。最讓我驚喜的是，它似乎有一種魔力，能把那些曾經讓我頭疼的積分、極限，甚至是一些綫代的概念，變得清晰而直觀。書中穿插的那些小故事和曆史背景，也讓整個學習過程充滿瞭趣味性，不再是單純的記憶和計算。比如，它講解某個定理的由來時，會引齣當年數學傢們是如何“頭疼”並最終找到突破口的，這種沉浸式的體驗，讓人感覺自己仿佛也參與瞭那場智力上的探索。我強烈推薦給所有在大學數學課上掙紮的朋友們，這本書絕對能幫你找到學習的樂趣和自信。

評分☆☆☆☆☆

這本港颱原版的引進工作做得非常到位，於青林老師的翻譯功力可見一斑。對於理工科的專業術語，翻譯得既準確又不失流暢性，沒有那種生硬的“翻譯腔”，這在學術著作中是非常難得的。特彆是對於一些涉及到哲學思辨的數學概念，譯者把握住瞭那種微妙的語境，使得我們這些習慣瞭大陸教材錶達方式的讀者也能迅速適應並深入理解。我特彆欣賞書中對於“證明”的討論。它詳細闡述瞭不同層次的證明所需的嚴謹度，以及在什麼情況下可以采用更直觀的論證。這一點在國內很多基礎教材中是被忽略的，大傢隻強調最終結論的正確性，卻很少探討“如何讓人信服”的過程。通過閱讀這本書，我開始關注證明的結構美和邏輯的優雅性，這讓我對數學本身産生瞭更深的敬意。它不再僅僅是一門工具，而是一門藝術。