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內容簡介

　　《矩陣論》比較全麵地介紹瞭矩陣理論的基礎知識。全書共分九章，分彆介紹瞭綫性空間與內積空間，綫性變換和矩陣的Jordan標準形，範數與極限，矩陣函數與函數矩陣，矩陣分解，一些特殊矩陣，非負矩陣，Kronecher積與矩陣方程和小二乘問題。附錄簡述瞭一元多項式的有關概念和性質。每一章都配備習題，以便讀者學習與鞏固。
　　《矩陣論》可作為理工科以及財經類院校的研究生和高年級本科生的學習教材，也可作為有關專業教師和工程技術人員的參考書。

內頁插圖

目錄

前言

第一章 綫性空間與內積空間
§1．1 集閤與映射
一、集閤
二、映射
§1．2 綫性空間及其基與維數
一、綫性空間的定義
二、基、維數與坐標
三、基變換與坐標變換
§1．3 綫性子空間
一、綫性子空間
二、子空間的交與和
三、直和
§1．4 綫性空間的同構
§1．5 內積空間
一、歐氏空間
二、標準正交基與Gram-Schmidt正交化過程
三、子空間
四、同構
五、酉空間
習題一

第二章 綫性變換和矩陣的Jordan標準形
§2．1 綫性變換與綫性變換的矩陣
一、綫性變換
二、綫性變換的矩陣
三、綫性變換在不同基下的矩陣
四、正交變換
§2．2 特徵值與特徵嚮量
一、基本概念
二、矩陣對角化的相似條件
三、Hamilton-Caylay定理
§2．3 不變子空間與Jordan標準形
一、值域與核
二、不變子空間
三、Jordan標準形
§2．4 對稱矩陣的相似對角化
§2．5 入一矩陣
一、基本概念
二、標準形
三、不變因子
四、初等因子
§2．6 Jordan標準形的理論推導
一、矩陣的相似性條件
二、Jordan標準形
三、最小多項式
習題二

第三章 範數與極限
§3．1 範數
一、嚮量範數
二、矩陣範數
三、賦範綫性空間
§3．2 矩陣序列與矩陣級數
一、矩陣序列與收斂性
二、矩陣級數
習題三

第四章 矩陣函數與函數矩陣
§4．1 矩陣函數
一、矩陣多項式
二、矩陣函數的解析定義
三、矩陣函數的一般定義
§4．2 函數矩陣及其導數
一、函數矩陣
二、函數矩陣的導數
三、函數矩陣的二階導數與Hessian矩陣
習題四

第五章 矩陣分解
§5．1 約化矩陣
一、Gauss矩陣
二、Householder矩陣
三、Givens矩陣
§5．2 三角分解
一、LU分解
二、平方根分解
§5．3 QR分解
§5．4 Schur分解
§5．5 奇異值分解
§5．6 其他分解
習題五

第六章 一些特殊矩陣
§6．1 正規矩陣
§6．2 Hermite矩陣
一、Hermite矩陣
二、Hermite矩陣的特徵值極性
§6．3 Hermite正定矩陣
§6．4 不可約矩陣和對角占優矩陣
一、不可約矩陣
二、對角占優矩陣
§6．5 投影矩陣
習題六

第七章非負矩陣
§7．1 非負矩陣及其譜半徑性質
§7．2 Perron定理和Frobenius定理
§7．3 隨機矩陣與單調矩陣
一、隨機矩陣
二、單調矩陣
§7．4 M-矩陣
習題七

第八章Kronecker積與矩陣方程
§8．1 Kronecker積
一、矩陣Kronecker積的定義和基本性質
二、矩陣Kronecker積的特徵值
三、矩陣Kronecker積的秩
四、矩陣Kronecker積的冪
§8．2 矩陣方程
一、矩陣的嚮量化
二、綫性矩陣方程
§8．3 矩陣方程AX+XB=C
一、Sylvester方程
二、Sylvester方程解的形式
三、Lyapunoy方程簡介
§8．4 求解矩陣方程的數值解法
一、中小規模Sylvester方程的數值解法
二、Sylvester方程係數矩陣A為大規模矩陣，B為小矩陣
三、Sylvester方程係數矩陣A，B均為大規模矩陣
習題八

第九章最小二乘問題
§9．1 最小二乘問題的基本性質
一、最小二乘問題的基本概念
二、最小二乘問題的數學性質
§9．2 滿秩矩陣的最小二乘問題
一、法方程（Normal equation）
二、麯綫擬閤問題
三、基於Cholesky分解求解的最小二乘解
四、基於QR分解求解的最小二乘解
五、奇異值分解方法
§9．3 秩顯分解和秩虧最小二乘問題
一、帶列選主元的QR分解
二、數值秩顯分解
三、秩虧最小二乘問題
§9．4 廣義逆矩陣
一、廣義逆矩陣
二、廣義逆的應用
習題九

附錄一 元多項式
一、一元多項式及其基本運算
二、整除
三、最大公因式
四、多項式函數

參考文獻

前言/序言

　　上海財經大學於2000年設立應用數學係，2001年開始招收本科生，2005年獲得應用數學專業碩士點授予權。作為該專業的基礎必修課，從2007年起開設《矩陣論》課程，由編者擔任主講教師。
　　傳統意義上《矩陣論》更多地在理工科類學校開設。作為財經類學校，授予學生《矩陣論》中的哪些內容，講到何種程度，一直是我們思考的問題。前幾年，我們主要通過編寫講義給學生們授課，其中一些內容主要參閱瞭[4，3，7]（見“參考文獻”）中的有關章節作為講課綫索，而在非負矩陣和最小二乘問題方麵我們講瞭比較多的內容，這主要是考慮到在財經類院校的數量經濟、統計學（多元統計）等領域用到瞭許多這方麵的知識。2015年底，我們申請到上海財經大學《矩陣論》精品課程建設項目。藉此機會，我們把編寫齣版一本《矩陣論》教材作為該項目的一項主要工作。
　　基於前幾年的授課講義，我們重新整理補充瞭一些內容，以成完整係統。本書共分九章，前七章和附錄由顧桂定編寫，後兩章由張振宇編寫。第一章和第二章介紹綫性空間與內積空間、綫性變換與矩陣的Jordan標準形，這部分內容屬於《高等代數》中的知識，主要是為非數學專業畢業的學生準備。第三章介紹範數與極限，這是矩陣分析運算中所要用到的工具。第四章介紹矩陣函數與函數矩陣，通過矩陣多項式的概念與性質引進瞭矩陣函數的定義。第五章介紹矩陣分解，主要有三角分解、QR分解、Schur分解和奇異值分解。第六章介紹一些特殊矩陣，包括正規矩陣、Hermite矩陣及其正定矩陣、不可約矩陣和投影矩陣。第七章介紹非負矩陣，包括M-矩陣理論。第八章和第九章分彆介紹矩陣方程和最小二乘問題。考慮到一些內容涉及多項式的性質，我們在附錄裏簡述瞭一元多項式的有關概念和性質。此外，每一章都配備一些習題。
　　感謝上海財經大學研究生院以及數學學院對本書齣版給予的支持，感謝上海財經大學齣版社劉光本編輯為本書齣版付齣的辛勤勞動。本書的齣版也得到瞭國傢自然基金項目（No.11371105，No.11671246）的資助，在此一並錶示感謝。由於編者水平有限，書中不妥之處敬請讀者指正。
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