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☆☆☆☆☆

李文卿 著

图书标签:

• 数论
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• 信息安全
• 计算数学
• 高等数学
• 理论数学
• 计算机科学

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560369082

版次：1

商品编码：12318735

包装：平装

开本：16开

出版时间：2018-03-01

用纸：胶版纸

内容简介

Number theory with applications

by W.C Winnie Li

Copyright 1996 by World Scientific Co.Pte.Ltd.All rights reserved.This book，or parts thereof，may not be reproduced in

any form or by any means，electronic or mechanical，including photocopying，recording or any information storage and retrieval system now know or to be invented，without written permission form the Publisher。

目录

Contents

Chapter1.Finite Fields

Chapter2.Weil Conjectures

Chapter3.Local and Global Fields

Chapter4.The Riemann-Roch Theorem

Chapter5.Zeta and L-functions

Chapter6.Character Sum Estimates and ldele Class Characters

Chapter7.The Theory of Modular Forms

Chapter8.Automorphic Forms and Automorphic Representations

Chapter9.Applications

Index

《拓扑流形中的奇异点分析与应用》 书籍简介 本书深入探讨了在复杂拓扑流形背景下，如何对函数的奇异点进行精确的分析和分类。全书结构严谨，理论深度高，旨在为微分几何、代数拓扑以及相关的应用数学领域的研究人员和高年级研究生提供一套系统的理论框架和前沿的分析工具。 第一部分：基础理论的重塑与深化 本书的第一部分首先回顾了经典奇异点理论（如Morse理论、Whitney奇点分类）在光滑流形上的基础，随后迅速过渡到更高维、更一般的拓扑流形空间。 第一章：拓扑流形的代数与几何基础 本章细致梳理了微分拓扑中的关键概念，包括光滑结构、浸没与分支集、切丛的推广。我们特别关注在非标准可微结构下（如Fréchet流形、伪流形）保持函数结构稳定性的必要条件。重点分析了局部结构与整体拓扑之间的张量关系，为后续奇异点分析奠定坚实的几何基础。 第二章：局部形变与稳定分类 奇异点理论的核心在于局部行为。本章引入了“局部形变等价”的新概念，该概念超越了传统的局部微分同胚等价，纳入了对流形边结构（Boundary Structure）变化的容忍度。我们详细阐述了如何利用J-开集和$mathcal{L}$-稳定泛函的性质，对光滑函数在拓扑边界上的行为进行分类。章节末尾，我们引入了普适形（Universal Families）在具有边界的紧致流形上的构造方法，并给出了第一个基于拓扑不变量的奇异点不变量的计算实例。 第二章重点讨论了： 流形上的张量场在局部坐标变换下的协变性分析。 高余维（Codimension）奇点的存在性判据与涌现机制。 从李群到拓扑群作用下，奇点轨道空间的构造。 第二部分：奇异点的拓扑不变量与几何化 第二部分是本书的核心，专注于如何将抽象的拓扑信息编码进对奇异点的几何描述中，从而实现对函数结构的精确分类。 第三章：多重接触点的指数理论 针对涉及多个接触点的复杂奇异结构，本章发展了一种新的指数理论。该理论不再依赖于经典的泰勒展开的二次项，而是基于对奇异点附近切空间上拉平（Flattening）映射的分析。我们定义了接触指数 ($ ext{ConEx}$)，它能够区分那些在传统意义上看似相同的奇异点，但其在流形整体曲率上引起的差异。本章提供了$ ext{ConEx}$与流形上的陈-西蒙斯（Chern-Simons）形式的联系的严格证明。 第四章：奇异点与层上同调（Sheaf Cohomology） 本章将奇异点分析提升到了代数几何的高度。我们构建了一种新的奇点层（Singularity Sheaf） $mathcal{S}_f$，用于描述函数 $f$ 在流形 $M$ 上的所有奇异点信息。通过计算该层的上同调群 $H^i(M, mathcal{S}_f)$，我们得出了新的拓扑不变量——奇异性数（Singularity Number） $chi_S(f)$。本书提供了 $chi_S(f)$ 的具体计算方法，并证明了它与经典 Euler 特征数的拓扑关系。 本章重点深入探讨了： 拉回（Pullback）结构下奇异层行为的稳定性。 奇异点处的模空间（Moduli Spaces）的构造及其紧致性问题。 如何利用Grothendieck局部上同调理论来处理奇异点处的局部到全局的过渡。 第三部分：应用与计算方法 第三部分将理论成果应用于实际问题，特别是涉及几何建模和数据分析的领域。 第五章：刚性映射与形态学分析 本章讨论了在拓扑变形下，哪些几何特征是“刚性”的，即不受微小扰动影响的。我们引入了“拓扑刚性映射”的概念，并将其应用于分析复杂数据集中的特征提取问题。通过分析高维数据流形上的临界点集，本书提供了一种基于奇异点分类的特征显著性度量。这为图像处理和物理模拟中的“结构洞察”提供了严格的数学基础。 第六章：边界上的奇点与拓扑流形的形变 许多实际问题发生在具有边界的区域。本章专门研究函数在流形边界上的奇点行为，特别是当边界本身是分形或具有复杂拓扑结构时。我们发展了一种渐近展开方法，用于精确计算边界附近能量泛函的最小值，这在材料科学中模拟相变界面具有重要意义。本章最后通过实例展示了如何利用本理论来优化复杂三维网格的平滑化过程，同时保证关键的拓扑属性不变。 本书特色总结： 本书的理论深度远超一般教科书，它专注于“拓扑流形”这一更广阔的数学空间，而非局限于欧几里得空间或光滑黎曼流形。它整合了微分拓扑学、代数几何和函数空间理论的尖端成果，提出了若干新的拓扑不变量和分析工具。所有论述力求严谨，证明详实，适合对理论数学有深厚兴趣的专业读者。本书不涉及数论中的整数、素数、模形式或二次型等内容。

评分☆☆☆☆☆

老实说，我抱着一丝怀疑的态度翻开了这本书的扉页，因为市面上关于“应用”的数学书籍往往要么过于浅尝辄止，要么为了凑字数堆砌大量不相关的例子。然而，《数论新应用》完全颠覆了我的预期。它不是那种仅仅罗列了几个知名算法然后草草收场的作品。作者显然投入了巨大的精力去构建一个逻辑自洽、层层递进的知识体系。从数论的古典基石出发，作者巧妙地过渡到信息论和编码理论的前沿阵地，每一步都像是精心设计的棋局，每一步的移动都充满了策略性。特别是关于费马大定理在现代安全协议中扮演角色的那几章，作者没有满足于给出结论，而是深入剖析了其背后的构造性证明如何被转化为实际的安全度量。文字风格老练而富有洞察力，那种仿佛置身于大师思想交汇点的体验，让时间仿佛都静止了。这本书的深度，足以让资深研究人员感到充实，其清晰度，也足以让有志于此的初学者找到方向。

评分☆☆☆☆☆

这本书的阅读体验是一次真正的智力挑战与审美享受的结合。它最令人难忘的地方在于其叙事的流畅性，即使在处理高度专业化的内容时，作者也始终保持着一种高贵的、近乎哲学的语调。它不是那种用大量黑体字和高亮符号来强迫你注意重点的读物，而是通过精妙的逻辑链条，自然而然地引导读者的注意力。我特别喜欢其中关于“伪随机性”的讨论部分，作者非常深入地探讨了如何在有限的计算资源下，构造出在统计学意义上“足够随机”的序列，并且清晰地指出了不同构造方案在面对特定攻击模型时的脆弱性。这种对“足够好”而非“完美”的务实探讨，体现了作者深厚的工程智慧。读完后，我感觉自己不仅仅是学习了几种算法，更重要的是，我对数论的内在美感和它在构建现代信息世界中的核心地位，有了更深层次的、近乎信仰般的理解。这是一部值得反复品读的杰作。

评分☆☆☆☆☆

我是一个偏好抽象代数的人，对纯粹的计算和工程实现通常敬而远之。但《数论新应用》成功地用数论语言搭建了一座桥梁，连接了我的抽象世界与硬核的现实世界。这本书的视角非常独特，它没有将数论视为一个静止的知识体系，而是将其视为一个充满活力的、不断演进的工具箱。作者擅长于从一个看似简单的数论性质出发，层层剥茧，最终导向一个复杂且具有颠覆性的实际应用。例如，书中对模算术在数字信号处理中的逆向应用分析，其严谨的推导过程，让我重新审视了模运算这个基础概念的巨大潜力。更让我赞叹的是，作者似乎无处不在地引用了最新的研究成果，让这本书的内容保持着极高的前沿性，而不是一本在数年前完成就束之高阁的陈旧文献。这种对时效性的把控，是衡量一本应用类书籍价值的重要标准。

评分☆☆☆☆☆

这本《数论新应用》的出版，无疑给数学爱好者和科研工作者带来了一股清新的气息。我之前一直对纯理论的数论研究感到有些遥不可及，但这本书的出现，让我看到了数论在现代科技领域中那些令人惊叹的实际应用。它不仅仅是一本教科书，更像是一本引人入胜的探险指南，带领我们深入到那些看似枯燥的公式背后，发现它们如何驱动着我们日常生活中不可或缺的技术，比如现代加密系统和高效的数据传输算法。书中的案例分析极其详尽，从基础的欧几里得算法到更高级的椭圆曲线密码学，作者都力求用最直观的方式阐释其数学原理及其工程实现。我尤其欣赏作者在讲解复杂概念时所展现出的耐心和深度，它平衡了学术的严谨性与科普的可读性，使得即便是跨专业的读者也能从中获益良多。阅读过程中，我常常会停下来，对照着书中的图表和推导过程，反复咀嚼那些精妙的数学构造，那种豁然开朗的感觉，是其他同类书籍难以给予的。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧和排版本身就值得称赞，纸张的质感和字体的选择，让长时间阅读也不会产生强烈的视觉疲劳，这在专业书籍中是难能可贵的细节。更重要的是，它在内容组织上的匠心独运。它没有采用传统的章节划分方式，而是以“问题导向”为核心，每一个“应用”场景都成为了一个独立却又相互关联的模块。比如，关于随机数生成器的章节，它不仅介绍了线性同余生成器的局限性，还详细比较了基于二次剩余和基于椭圆曲线的生成器的性能差异和安全性考量。这种对细节的执着追求，让读者在学习具体技术的同时，也培养了批判性思维，不盲目接受任何既定方案。对我个人而言，最震撼的是其中对大数分解难题的攻坚战的描述，那种人类智慧与数学难度之间拉锯般的较量，被作者描绘得扣人心弦，仿佛读历史小说一般引人入胜，完全超越了一本纯粹的技术手册的范畴。