用数学奥林匹克精神解数论问题 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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• 数论
• 数学奥林匹克
• 解题技巧
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• 问题解决
• 数学思维
• 进阶学习
• 挑战

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560369136

版次：1

商品编码：12318755

包装：平装

开本：16开

出版时间：2018-03-01

用纸：胶版纸

内容简介

Reprint form the English languare edition：

Problem-Solving and Selected Topics in Number Theory

In the Spirit of the Mathematical Olympiads

by Michael Th. Rassias

目录

Contents

Foreword by Preda Mithailescu

A cknowledgments

1 Introduction

2 Arithmetic functions

3 Perfect numbers,Fermat numbers

4 Congruences

5 Quadratic residues

6 The π-and li-functions

7 The Riemann zeta function

8 Dirichlet series

9 Special topics

10 Problems

11 Solutions

12 Appendix

References

Index of Symbols

Index

数学思维的进阶之路：从理论到实践的探索 图书名称：用数学奥林匹克精神解数论问题 图书简介 本书并非一本常规的数论教材，它更像是一次深入数学思维殿堂的探险之旅。我们不满足于对数论概念的简单罗列和定理的机械证明，而是致力于培养读者一种独特的、富有创造力的解决问题的能力——我们将这种能力称为“数学奥林匹克精神”。 本书的核心理念在于，数论问题，尤其是那些看似晦涩难懂的竞赛级题目，往往隐藏着深刻而优雅的数学结构。要解开这些谜题，需要的不仅仅是扎实的代数或分析基础，更需要一种敏锐的洞察力、灵活的思维转换能力以及一种勇于质疑和探索未知的好奇心。 第一部分：构建思维的基石——数论的“奥赛视角” 在本书的开篇，我们将抛开传统的章节划分，而是着重于建立一种看待数论问题的全新视角。我们认为，优秀的数论解法往往源于对基本概念的深刻理解和巧妙运用。 我们首先回顾了数论中的几个核心概念，如整数的唯一分解定理、同余关系、狄利克里抽屉原理等。然而，我们的重点不在于重复教科书中的标准证明，而是探讨如何将这些工具“武器化”。例如，如何将看似简单的抽屉原理与复杂的代数结构相结合，以揭示隐藏在数列或集合中的规律。 整除性的艺术与代数结构的渗透： 我们会深入探讨整除性在不同数学背景下的表现。从最基础的裴蜀等式（Bézout's Identity）出发，我们将引导读者思考：当我们将这种线性组合的思想推广到多项式环或高维向量空间时，它会带来怎样的新的洞察？我们将展示如何利用代数工具，例如高斯整数环（$mathbb{Z}[i]$）或爱森斯坦整数环（$mathbb{Z}[omega]$），来解决原本属于标准整数范围内的丢番图方程问题。这种跨领域的思维迁移，正是奥赛精神的体现。 同余关系的灵活运用与周期性思维： 同余关系不仅仅是模运算，它更是一种强大的周期性分析工具。我们将展示如何通过构造合适的模，将一个复杂的算术问题转化为周期性现象的观察。这包括但不限于：利用二次互反律（Quadratic Reciprocity Law）来确定一个数是否为某个素数的二次剩余，以及如何利用中国剩余定理（CRT）来解决涉及多个模的大型系统问题。我们着重强调的是“选择合适的模”这一创造性步骤，这往往是解题的关键所在。 第二部分：解题的技艺——策略、技巧与灵感闪现 本部分是本书的实战演练场，我们将聚焦于解题过程中那些至关重要的“灵光一现”的时刻。我们相信，好的解题者不仅知道“做什么”，更知道“如何开始”以及“何时转向”。 特殊化与普遍化的辩证统一： 数学奥林匹克的精髓在于从特殊案例中发现普遍规律，再用普遍规律反推特殊案例的必然性。我们会展示一系列问题，这些问题初始时看似无从下手，但通过构造一个“极端的”或“简单的”特殊情况（如$n=1, 2$或考虑质数$p$），可以迅速揭示问题的本质结构。随后，我们将展示如何将从特殊情况中获得的猜想，通过严格的归纳或代数构造，推广到一般情况。 构造与反例的艺术： 有时候，解决一个问题最好的方法不是证明它，而是构造出一个满足特定条件的例子。我们将探讨构造法在数论中的应用，例如，如何构造一个满足特定性质的素数序列，或如何构建一个反例来推翻一个错误的猜想。这要求读者跳出既定的框架，以一种“设计师”的心态来创造数学对象。 不变量与势函数的威力： 在解决涉及迭代过程或动态变化的问题时，寻找不变量（Invariants）或构造势函数（Potentials）是至关重要的。我们将深入讲解如何识别那些在操作过程中保持不变的量，或者如何构造一个可以衡量问题复杂度的函数，使得每一步操作都能使该函数朝某个特定方向（通常是减小）变化，最终导向终止状态。这是一种深刻的、基于函数分析的思维方式，在解决复杂的组合数论问题时尤为有效。 第三部分：超越标准框架——现代数论的萌芽 本书的第三部分旨在拓宽读者的视野，展示现代数论的一些初步思想，这些思想往往是奥林匹克题目灵感的来源。 解析数论的初探（超越初等方法）： 虽然本书主要基于初等数论，但我们会引入一些解析数论的初步概念，例如对素数分布的直觉理解，以及如何利用诸如狄利克里级数（Dirichlet Series）之类的工具来分析算术函数的平均性质。我们不会深入复杂的分析细节，而是展示如何将解析的工具（如收敛性、函数逼近）的概念“借用”到初等问题的分析中，以获得更强大的界限估计。 代数数论的影子： 我们将简要介绍代数数论中的一个核心思想——“因子分解的非唯一性”。通过对高斯整数的简单介绍，我们会展示在扩展的数域中，整数的唯一分解不再是铁律。这种对“公理”的质疑和对更广阔数学世界的探索，是培养创新精神的关键一步。 结语：持续的求索 本书的最终目的，并非让读者成为数论解题的“机器”，而是激发他们对数学内在美的热爱，培养他们独立思考、勇于挑战难题的勇气。我们希望，读者在合上此书后，能够带着一种“奥林匹克精神”——那种不畏复杂、善于变通、追求简洁优雅的思维模式——去面对未来的任何数学挑战。真正的学习，始于掌握工具，而终于创造工具。

评分☆☆☆☆☆

《用数学奥林匹克精神解数论问题》这本书，给我带来的不仅仅是数论知识的增长，更是一次深刻的数学思维的洗礼。我一直觉得，那些来自数学奥林匹克竞赛的题目，就像是一扇扇紧闭的大门，里面隐藏着智慧的光芒，但往往被复杂的表象所遮蔽。而这本书，就像是一把精巧的钥匙，带领我逐一推开了这些大门。作者没有选择平铺直叙的理论讲解，而是巧妙地将那些经典的、富有启发性的数论竞赛题目作为贯穿全书的主线。 通过对这些题目的深入剖析，我不仅理解了诸如素数分布、丢番图方程、同余方程等核心数论概念，更重要的是，我学会了如何用一种“奥林匹克”式的思维去“思考”问题。这种思维，是一种不拘泥于形式、善于化繁为简、追求数学上的优雅和效率的思维。书中对于每个题目的讲解，都不仅仅是给出结论，而是着重于思路的启发和方法的探索，引导读者去发现解题过程中的“灵感火花”。我仿佛置身于一个数学的实验室，在作者的引导下，亲手进行着一次次精彩的实验。这种体验，让我对数论产生了前所未有的兴趣，也让我对数学的理解上升到了一个新的高度。这本书，绝对是那些渴望在数论领域有所建树，并希望培养强大数学思维能力的读者不容错过的一部佳作。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我拿到这本书的时候，心里是抱着试试看的心态的。我一直觉得自己数学基础不算差，但在数论这个领域，总感觉隔着一层窗户纸，难以真正领会其精髓。《用数学奥林匹克精神解数论问题》这本书，却意外地给了我很大的惊喜。它并没有采用教科书式的线性讲解，而是通过大量的、精选的奥林匹克数学竞赛题目，来串联起数论的知识点。这种“以题带点”的方式，真的非常高效。 我感觉自己像是在玩一场精彩的数学解谜游戏，每一道题目都像是一个新的关卡，需要我运用前面学到的知识和奥林匹克精神去攻克。作者在讲解题目时，非常注重思路的启发性，而不是简单地给出答案。他会引导读者思考“为什么会想到这个方法？”，“有没有其他可能的角度？”，这种互动式的讲解方式，极大地激发了我的主动思考能力。我发现，通过解决这些精心设计的题目，我不仅巩固了同余、整除、素数等基本概念，还掌握了诸如构造性证明、反证法、抽屉原理等在数论问题中常见的解题技巧。这本书的价值，远不止于传授知识，更在于它培养了一种灵活、深刻的数学思维方式，让我能够更自信地面对未来的数论挑战。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，真正的数学学习，不仅仅是记忆公式和定理，更在于培养一种解决问题的能力和独特的视角。《用数学奥林匹克精神解数论问题》这本书，恰恰做到了这一点。作者巧妙地将奥林匹克数学竞赛的精髓融入到数论的学习中，让我得以从一个全新的角度去理解和解决数论问题。这本书的编写风格非常独特，它没有选择枯燥乏味的理论铺陈，而是以一系列引人入胜的奥林匹克数学竞赛题目为载体，逐步引导读者深入数论的殿堂。 我非常欣赏作者的讲解方式，他不仅仅是给出解题步骤，更重要的是，他会深入剖析解题思路的产生过程，教会我们如何去“思考”一个数论问题。例如，在处理一些看起来非常复杂的整除性问题时，作者会引导我们关注模运算的性质，或者如何通过构造特定的数列来简化问题。这种“奥林匹克精神”，在我看来，就是一种不畏艰难、勇于探索、追求最优解的态度。通过阅读这本书，我不仅掌握了许多重要的数论知识，例如费马小定理、欧拉定理等，更重要的是，我学会了如何将这些知识灵活地运用到实际问题中，并且培养了一种举一反三、触类旁通的能力。这本书为我打开了数论学习的新大门，让我对数学的理解更加深刻和立体。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我带来的最大震撼，在于它打破了我对于数论学习的固有认知。我曾经以为数论是抽象、枯燥、与现实生活相距甚远的学科，但《用数学奥林匹克精神解数论问题》彻底改变了我的看法。作者以数学奥林匹克竞赛中的经典题目作为切入点，将原本可能晦涩难懂的数论概念，变得生动有趣且充满挑战。我感觉自己不是在被动地接受知识，而是在积极地参与到一场场精彩的数学智力博弈中。 书中对于每个题目的解析，都充满了智慧和匠心。作者不仅仅提供了一个标准答案，更重要的是，他会引导读者去思考“为什么会想到这个方法？”，“有没有更简洁的解法？”，“这个题目背后蕴含了哪些重要的数论思想？”。这种引导性的讲解，让我受益匪浅。我学会了如何运用诸如同余的性质、中国剩余定理、二次剩余等工具，去解决一些看似无从下手的问题。更重要的是，我从中体会到了奥林匹克精神所强调的“创新”、“严谨”和“坚持”在数学解题中的重要性。读这本书，我感觉自己不仅在学习数论，更是在锻炼一种解决问题的能力，一种在压力下保持冷静、在复杂中寻找规律的思维方式。这本书绝对是数论学习者，特别是那些希望在数学竞赛中有所突破的学子们的必备读物。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直就是一本为数论爱好者量身打造的宝藏！我一直对数论的迷人世界充满好奇，但很多时候，那些看似高深的定理和复杂的证明让我望而却步。直到我翻开这本《用数学奥林匹克精神解数论问题》，才发现原来数论可以如此生动有趣。作者并没有直接罗列那些枯燥的定义和公式，而是巧妙地将奥林匹克竞赛中那些充满智慧的题目融入讲解之中。通过解析这些题目，我不仅理解了数论的核心概念，例如同余、丢番图方程、模运算等，更重要的是，我学会了如何用一种“奥林匹克”式的思维去审视和解决问题。 这种思维模式，在我看来，就是一种“以小见大”的智慧。它教导我们不要被问题的表面所迷惑，而是要深入挖掘其内在的数学结构，找到最简洁、最优雅的解题路径。书中的每一个例子都像是一次精彩的头脑风暴，引导我一步步地剥离问题的复杂性，最终找到那颗璀璨的数学珍珠。我特别喜欢作者对于一些经典难题的解读，那些曾经让我头疼不已的题目，在作者的引导下，变得豁然开朗。这种成就感，是任何其他方式都无法比拟的。这本书不仅仅是一本讲解数论的书，更是一本激发数学思维、培养解题能力的绝佳读物，我强烈推荐给所有热爱数学，特别是对数论有兴趣的朋友们。