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内容简介

　　《泛函分析基础》主要论述泛函分析的基本内容及其在分析及逼近论中的应用。全书共分为五大部分，依次论述度量空间、赋范空间、内积空间、赋范空间中的基本定理及有界线性算子的谱论。《泛函分析基础》可以作为综合性大学工科各专业学生以及没有修过实变函数的理科各专业学生学习泛函分析的教材，也可以作为数学系学生学习泛函分析时的参考书。

内页插图

目录

第1章 度量空间
1．1 度量空间的定义及例子
1．2 开集和闭集
1．3 收敛性、完备性及紧性
1．4 Banach不动点定理及其应用
习题1

第2章 赋范空间
2．1 线性空间和维数
2．2 赋范空间和Banach空间
2．3 有限维赋范空间
2．4 有界线性算子
2．5 有界线性泛函及其表示
习题2

第3章 内积空间和Hilbert空间
3．1 内积空间
3．2 正交补及正交投影
3．3 标准正交集与标准正交基
3．4 Hilbert空间上有界线性泛函的表示
习题3

第4章 赋范空间中的基本定理
4．1 Hahn-Banach定理
4．2 一致有界性原理
4．3 强收敛与弱收敛
4．4 开映射定理和闭图像定理
4．5 在逼近论中的应用
习题4

第5章 线性算子的谱论
5．1 基本概念及例子
5．2 紧算子的谱论
5．3 自伴算子的谱论
习题5

附录1 半序集和Zorn引理
附录2 集合的势与可数集
索引

前言/序言

　　泛函分析是数学的一个抽象分支，它起源于经典分析。人们在研究各种实际数学问题时发现，虽然他们研究的对象不同，有时可能是序列，有时可能是函数，有时可能是欧氏空问中的点，但他们研究这些问题的方法和技巧本质上是一样的。人们根据这个事实，通过对问题的提炼，而获得了解决这些问题有效而统一的途径，形成了一套综合应用代数、分析和几何的理论，这就是泛函分析的起源。泛函分析与数学的几乎所有学科均有内在的联系，在微分方程的现代理论、调和分析、随机过程与随机分析学、计算数学、生物数学以及经济数学等数学分支中有着十分重要的应用。泛函分析在规划与优化、电子信息、控制论、自动化及管理学等方面也有著十分重要的应用，这也是越来越多的大学对工科学生开设泛函分析这门课程的原因。
　　本书是针对工科各专业学生和没有修过实变函数的数学系学生讲授的泛函分析教材。考虑到工科学生一般仅仅掌握高等数学的基本内容，对于较深的数学内容（如拓扑、Lebesgue积分及集合论）所知甚少，我们在本书的编写过程中力图避开应用这些较深的数学内容。考虑到工科学生的数学基础，我们尽量将所编内容细化，在证明的推导过程中尽力给出详细过程。只要了解高等数学基本内容的学生就可以不费力地读懂此书，从而掌握泛函分析的基本内容及其在实际中的应用技巧。我们希望学生们通过对详细推导过程的阅读和理解，不光可以掌握泛函分析的基本内容和应用技巧，也可以同时提高他们的抽象逻辑思维能力。这对他们以后在学习和工作中掌握更加深入的数学知识是十分必要的。
　　本书涵盖了泛函分析的基本内容。第1章讨论度量空间，这是全书的基础。在这一部分中，将给出度量空间的基本例子，研究度量空间的基本性质，包括开集、闭集、内部、闭包、稠密性、序列的收敛性、可分性、完备性、紧性、映射的连续性等，在这一部分里还将介绍著名的Banach不动点定理，它在数学的许多分支均有重要的应用。第2章讲授赋范空间的基本内容，包括线性空间的维数、Hamel基、线性算子、线性泛函以及线性泛甬的表示等。第3章研究内积空间，主要内容包括。Hilbert空间的正交投影、正交分解、标准正交基以及Hilberl空间上有界线性泛函的表示等。第4章是本书的核心内容，将建立赋范空间中的四大基本定理，即Hahn-Banach定理、一致有界性原理、开映射定理和闭图像定理，在这一章里还将给出这些基本定理的几个应用。第5章主要讨论有界线性算子的谱论，首先给出谱论的一般理论，然后研究紧算子的谱论及自伴算子的谱论。
　　由于工科学生更加注重泛函分析的应用，我们在每个重要理论之后力图多给一些此类抽象理论的具体应用。这些应用包括Banach不动点定理在求解线性方程组、微分方程初值问题解的局部存在性、求解函数积分方程及隐函数存在定理方面的应用。在第4章的最后一节，给出了泛函分析在逼近论中的几个应用，包括Chebysbev多项式、最小二乘法及三阶样条函数等。另外在第4章还给出了一致有界性原理在周期函数傅里叶级数收敛性、序列的可求和性以及求数值积分等方面的几个典型应用。为了使所讲授的主要内容紧凑些，将与集合的半序性及势的概念与基本性质安排在附录中，以便于读者自己补充这方面的知识。
　　本书是作者在清华大学多年讲授针对工科研究生的基础泛函分析这门课程的讲义基础上形成的。在本书的撰写过程中，得到了不少专家、同事及这门课程助教们的支持和帮助，作者借此机会一并向他们表示衷心的感谢。对于书中的疏漏之处，也请读者给予批评指正。
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