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內容簡介

　　中國科學院數學研究所一批中青年學者發起組織瞭數學所講座，介紹現代數學的重要內容及其思想、方法，旨在開闊視野，增進交流，提高數學修養。《數學所講座2015》的文章係根據2015年數學所講座9個報告的講稿整理而成，按報告的時間順序編排。具體內容包括：三維復雙有理幾何、圖論、雙哈密頓係統與可積係統、二維共形量子場論、描述集閤論、拓撲量子場論和幾何不變量、圖像恢復問題中的數學方法、湍流、錶示論中的狄拉剋上同調等。

目錄

目錄
1 從形式化的終極奇點的組閤律到復三維精細雙有理幾何 陳猛
1.1 問題的背景 1
1.1.1 序言 1
1.1.2 高維雙有理幾何概述 2
1.1.3 三維代數簇的精細分類問題 3
1.2 奇點籃及其組閤數學 4
1.2.1 三維終極奇點 4
1.2.2 Reid的奇點籃及黎曼-洛剋公式 5
1.2.3 組閤意義下的終極奇點 5
1.2.4 奇點籃的典範序列 7
1.2.5 基本擠壓數2n(B)的計算 8
1.3 加權奇點籃的計算公式和關鍵不等式 9
1.3.1 加權奇點籃與不變量 9
1.3.2 加權奇點籃的擠壓偏序及其性質 9
1.3.3 加權奇點籃的典範序列 9
1.3.4 用歐拉特徵標錶示奇點籃 10
1.4 形式化奇點籃的組閤律的幾何應用 13
1.4.1 幾何奇點籃 13
1.4.2 一般型三維簇的精細雙有理幾何 13
1.4.3 有理法諾三維簇的精細有界性 14
1.4.4 加權完全交三維簇的完整分類 15
參考文獻 15
2 圖論中的若乾問題 範更華
2.1 七橋問題 19
2.2 歐拉圖分解及相關問題 20
2.3 四色問題 22
2.4 哈密頓圈問題 23
2.5 Ramsey數問題 25
2.6 整數流問題 26
2.7 子圖和問題 27
2.8 圖論的應用 29
附記 30
參考文獻 30
3 雙哈密頓上同調與非綫性可積係統 張友金
3.1 引言 32
3.2 KdV方程簇及其雙哈密頓結構 34
3.3 無窮維哈密頓結構及其上同調 38
3.4 雙哈密頓結構及其上同調 44
3.5 流體力學型雙哈密頓結構的拓撲形變 48
3.6 結尾 51
參考文獻 52
4 二維共形量子場論：數學定義和頂點算子代數錶示理論方法 黃一知
4.1 引言 54
4.2 定義、早期結果和猜想 55
4.2.1 定義 55
4.2.2 Verlinde猜想和Verlinde公式 57
4.2.3 Moore-Seiberg多項式方程和猜想 58
4.2.4 Witten的猜想和問題 59
4.2.5 關於Calabi-Yau非綫性西格瑪模型的猜想 59
4.2.6 中心荷為24的亞純有理共形場論的分類猜想 60
4.2.7 早期結果和猜想所提齣的數學問題 61
4.3 一個長期研究綱領和已經解決的主要問題 62
4.3.1 一個構造和研究共形場論的長期綱領 62
4.3.2 頂點算子代數的幾何 63
4.3.3 交錯算子和頂點張量範疇 64
4.3.4 模不變性 66
4.3.5 Verlinde公式、剛性和模性性質 68
4.3.6 全共形場論和開-閉共形場論 70
4.3.7 上同調和變形理論 71
4.3.8 頂點算子代數的扭麯模和不動點子代數 72
4.3.9 關於Schellekens分類猜想的研究進展 73
4.4 有待解決的問題和猜想 74
4.4.1 構造滿足Kontsevich-Segal-Moore-Seiberg公理的有理共形場論 74
4.4.2 階限製頂點代數上同調理論和模的完全可約性 76
4.4.3 共形場論的模空間 77
4.4.4 對數共形場論的構造和研究 78
4.4.5 軌形共形場論 79
4.4.6 月光模頂點算子代數的唯一性和中心荷為24的亞純有理共形場論的分類 80
4.4.7 Calabi-Yau超共形場論 80
4.4.8 頂點算子代數方法和共形網方法的關係 81
參考文獻 82
5 等價關係、分類問題與描述集閤論 高速
5.1 等價關係 92
5.2 作為等價關係的分類問題 93
5.3 等價關係的描述集閤論 96
5.4 不變量描述集閤論 100
5.5 軌道等價關係 103
5.6 非軌道等價關係 105
5.7 結論與前景 106
參考文獻 107
6 拓撲量子場論和幾何不變量 阮勇斌
參考文獻 116
7 圖像恢復問題中的數學方法 董彬瀋佐偉張小群
7.1 緒論 117
7.2 小波框架方法 121
7.2.1 小波框架變換 121
7.2.2 小波框架變換對圖像的逼近 125
7.2.3 小波框架圖像恢復模型與算法 129
7.3 PDE方法 134
7.3.1 全變差 135
7.3.2 廣義全變差 136
7.3.3 Mumford-Shah模型 137
7.3.4 Perona-Malik方程 140
7.4 小波框架和PDE方法的聯係與融閤 141
7.4.1 小波框架模型和變分模型的聯係 142
7.4.2 小波框架迭代算法和PDE模型的聯係 147
7.5 數據驅動稀疏錶達 152
7.5.1 隨機方法 152
7.5.2 K-SVD：基於過完備字典的稀疏錶達 155
7.5.3 數據驅動的緊框架構造 157
7.5.4 用深層神經網絡進行圖像降噪和修補 160
7.5.5 用深層捲積神經網絡實現圖像超分辨 162
參考文獻 166
8 湍流：19世紀的問題，21世紀的挑戰 何國威
參考文獻 184
9 錶示論中的Dirac上同調 黃勁鬆
9.1 引言 186
9.1.1 起源 186
9.1.2 概述 187
9.2 關於Dirac上同調的Vogan猜想 188
9.2.1 實約化群與(g；K)-模 188
9.2.2 Dirac算子的定義 191
9.2.3 Vogan猜想及推廣 192
9.3 Harish-Chandra模的Dirac上同調 194
9.3.1 有限維模的Dirac上同調 194
9.3.2 酉Aq(*)-模的Dirac上同調 195
9.4 Dirac上同調與(g；K)-上同調 196
9.4.1 (g；K)-上同調 196
9.4.2 Dirac上同調與(g；K)-上同調的關係 199
9.5 最高權模的Dirac上同調 200
9.5.1 Kostant立方Dirac算子 200
9.5.2 Oq範疇 202
9.5.3 不可約最高權模的Dirac上同調 205
9.6 Dirac上同調與u-上同調 206
9.6.1 u-上同調 206
9.6.2 p+-上同調、u-上同調與Dirac上同調 208
9.7 Dirac上同調的分步計算 210
9.8 K-特徵標與分歧律 212
9.8.1 最低權模的K-特徵標與Dirac指標 212
9.8.2 On*GLn與Sp2n*GL2n的分歧律 215
9.8.3 GLn*SO2n與GLn*Sp2n的分歧律 217
9.9 橢圓錶示與內窺理論 218
9.9.1 橢圓錶示 218
9.9.2 正交關係與超緩增廣義函數 220
9.9.3 有正則無窮小特徵標的橢圓錶示 221
9.9.4 離散序列錶示的僞係數函數 222
9.9.5 內窺傳遞 223
9.9.6 亞橢圓錶示 226
參考文獻 226
漢英術語對照 232
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