本书介绍了数值方法的理论及实用知识，并讲述了如何利用MATLAB软件实现各种数值算法，以便为读者今后的学习打下坚实的数值分析与科学计算基础。教师可以根据不同的学习对象和学习目的选择相应章节，形成理论与实践相结合的学习策略。书中每个概念均以实例说明，同时还包含大量习题，范围涉及多个不同领域。通过这些实例进一步说明数值方法的实际应用。本书强调利用MATLAB进行数值方法的程序设计，可提高读者的实践能力并加深对数值方法理论的理解。本书适合作为大专院校计算机、工程和应用数学专业的教材和参考书。根据作者在网站上公布的勘误表，中译本已做了相应修改。采用本书作为教材的教师，可联系te_service@phei.com.cn获取相关教辅资料。

作者简介

　　John H. Mathews 美国加利福尼亚州立大学富勒顿分校数学系教授，出版过多本数学著作。

第1章预备知识
1．1 微积分回顾
1．1．1 极限和连续性
1．1．2 可微函数
1．1．3 积分
1．1．4 级数
1．1．5 多项式求值
1．1．6 习题
1．2 二进制数
1．2．1 二进制数
1．2．2 序列与级数
1．2．3 二进制分数
1．2．4 二进制移位
1．2．5 科学计数法
1．2．6 机器数
1．2．7 计算机精度
1．2．8 计算机浮点数
1．2．9 习题
1．3 误差分析
1．3．1 截断误差
1．3．2 舍入误差
1．3．3 舍去和舍入
1．3．4 精度损失
1．3．5 O(hn)阶逼近
1．3．6 序列的收敛阶
1．3．7 误差传播
1．3．8 数据的不确定性
1．3．9 习题
1．3．10算法与程序
第2章非线性方程f(x)=0的解法
2．1 求解x=g(x)的迭代法
2．1．1 寻找不动点
2．1．2 不动点迭代的图形解释
2．1．3 考虑绝对误差和相对误差
2．1．4 习题
2．1．5 算法与程序
2．2 定位一个根的分类方法
2．2．1 波尔查诺二分法
2．2．2 试值法的收敛性
2．2．3 习题
2．2．4 算法与程序
2．3 初始近似值和收敛判定准则
2．3．1 检测收敛性
2．3．2 有问题的函数
2．3．3 习题
2．3．4 算法与程序
2．4 牛顿拉夫森法和割线法
2．4．1 求根的斜率法
2．4．2 被零除错误
2．4．3 收敛速度
2．4．4 缺陷
2．4．5 割线法
2．4．6 加速收敛
2．4．7 习题
2．4．8 算法与程序
2．5 埃特金过程、斯蒂芬森法和
米勒法（选读）
2．5．1 埃特金过程
2．5．2 米勒法
2．5．3 方法之间的比较
2．5．4 习题
2．5．5 算法与程序
第3章线性方程组AX=B的数值解法
3．1 向量和矩阵简介
3．1．1 矩阵和二维数组
3．1．2 习题
3．2 向量和矩阵的性质
3．2．1 矩阵乘
3．2．2 特殊矩阵
3．2．3 非奇异矩阵的逆
3．2．4 行列式
3．2．5 平面旋转
3．2．6 MATLAB实现
3．2．7 习题
3．2．8 算法与程序
3．3 上三角线性方程组
3．3．1 习题
3．3．2 算法与程序
3．4 高斯消去法和选主元
3．4．1 选主元以避免a(p)pp=0
3．4．2 选主元以减少误差
3．4．3 病态情况
3．4．4 MATLAB实现
3．4．5 习题
3．4．6 算法与程序
3．5 三角分解法
3．5．1 线性方程组的解
3．5．2 三角分解法
3．5．3 计算复杂性
3．5．4 置换矩阵
3．5．5 扩展高斯消去过程
3．5．6 MATLAB实现
3．5．7 习题
3．5．8 算法与程序
3．6 求解线性方程组的迭代法
3．6．1 雅可比迭代
3．6．2 高斯赛德尔迭代法
3．6．3 收敛性
3．6．4 习题
3．6．5 算法与程序
3．7 非线性方程组的迭代法：赛德尔法和牛顿法（选读)
3．7．1 理论
3．7．2 广义微分
3．7．3 接近不动点处的收敛性
3．7．4 赛德尔迭代
3．7．5 求解非线性方程组的
牛顿法
3．7．6 牛顿法概要
3．7．7 MATLAB实现
3．7．8 习题
3．7．9 算法与程序
第4章插值与多项式逼近
4．1 泰勒级数和函数计算
4．1．1 多项式计算方法
4．1．2 习题
4．1．3 算法与程序
4．2 插值介绍
4．2．1 习题
4．2．2 算法与程序
4．3 拉格朗日逼近
4．3．1 误差项和误差界
4．3．2 精度与O(hN+1)
4．3．3 MATLAB实现
4．3．4 习题
4．3．5 算法与程序
4．4 牛顿多项式
4．4．1 嵌套乘法
4．4．2 多项式逼近、节点和中心
4．4．3 习题
4．4．4 算法与程序
4．5 切比雪夫多项式(选读)
4．5．1 切比雪夫多项式性质
4．5．2 最小上界
4．5．3 等距节点
4．5．4 切比雪夫节点
4．5．5 龙格现象
4．5．6 区间变换
4．5．7 正交性
4．5．8 MATLAB实现
4．5．9 习题
4．5．10算法与程序
4．6 帕德逼近
4．6．1 连分式
4．6．2 习题
4．6．3 算法与程序
第5章曲线拟合
5．1 最小二乘拟合曲线
5．1．1 求最小二乘曲线
5．1．2 幂函数拟合y=AxM
5．1．3 习题
5．1．4 算法与程序
5．2 曲线拟合
5．2．1 y=CeAx的线性化方法
5．2．2 求解y=CeAx的非线性最小
二乘法
5．2．3 数据线性化变换
5．2．4 线性最小二乘法
5．2．5 矩阵公式
5．2．6 多项式拟合
5．2．7 多项式摆动
5．2．8 习题
5．2．9 算法与程序
5．3 样条函数插值
5．3．1 分段线性插值
5．3．2 分段三次样条曲线
5．3．3 三次样条的存在性
5．3．4 构造三次样条
5．3．5 端点约束
5．3．6 三次样条曲线的适宜性
5．3．7 习题
5．3．8 算法与程序
5．4 傅里叶级数和三角多项式
5．4．1 三角多项式逼近
5．4．2 习题
5．4．3 算法与程序
5．5 贝塞尔曲线
5．5．1 伯恩斯坦多项式的性质
5．5．2 贝塞尔曲线的性质
5．5．3 习题
5．5．4 算法与程序
第6章数值微分
6．1 导数的近似值
6．1．1 差商的极限
6．1．2 中心差分公式
6．1．3 误差分析和步长优化
6．1．4 理查森外推法
6．1．5 习题
6．1．6 算法与程序
6．2 数值差分公式
6．2．1 更多的中心差分公式
6．2．2 误差分析
6．2．3 拉格朗日多项式微分
6．2．4 牛顿多项式微分
6．2．5 习题
6．2．6 算法与程序
第7章数值积分
7．1 积分简介
7．1．1 习题
7．2 组合梯形公式和辛普森公式
7．2．1 误差分析
7．2．2 习题
7．2．3 算法与程序
7．3 递归公式与龙贝格积分
7．3．1 龙贝格积分
7．3．2 习题
7．3．3 算法与程序
7．4 自适应积分
7．4．1 区间细分
7．4．2 精度测试
7．4．3 算法与程序
7．5 高斯勒让德积分（选读）
7．5．1 习题
7．5．2 算法与程序
第8章数值优化
8．1 单变量函数的极小值
8．1．1 分类搜索方法
8．1．2 利用导数求极小值
8．1．3 习题
8．1．4 算法与程序
8．2 内德米德方法和鲍威尔方法
8．2．1 内德米德方法
8．2．2 鲍威尔方法
8．2．3 习题
8．2．4 算法与程序
8．3 梯度和牛顿方法
8．3．1 最速下降法(梯度方法)
8．3．2 牛顿方法
8．3．3 习题
8．3．4 算法与程序
第9章微分方程求解
9．1 微分方程导论
9．1．1 初值问题
9．1．2 几何解释
9．1．3 习题
9．2 欧拉方法
9．2．1 几何描述
9．2．2 步长与误差
9．2．3 习题
9．2．4 算法与程序
9．3 休恩方法
9．3．1 步长与误差
9．3．2 习题
9．3．3 算法与程序
9．4 泰勒级数法
9．4．1 习题
9．4．2 算法与程序
9．5 龙格库塔方法
9．5．1 关于该方法的讨论
9．5．2 步长与误差
9．5．3 N=2的龙格库塔方法
9．5．4 龙格库塔费尔伯格方法
9．5．5 习题
9．5．6 算法与程序
9．6 预报校正方法
9．6．1 亚当斯巴什福斯莫尔顿
方法
9．6．2 误差估计与校正
9．6．3 实际考虑
9．6．4 米尔恩辛普森方法
9．6．5 误差估计与校正
9．6．6 正确的步长
9．6．7 习题
9．6．8 算法与程序
9．7 微分方程组
9．7．1 数值解
9．7．2 高阶微分方程
9．7．3 习题
9．7．4 算法与程序
9．8 边值问题
9．8．1 分解为两个初值问题：线性打靶法
9．8．2 习题
9．8．3 算法与程序
9．9 有限差分方法
9．9．1 习题
9．9．2 算法与程序
第10章偏微分方程数值解
10．1 双曲型方程
10．1．1 波动方程
10．1．2 差分公式
10．1．3 初始值
10．1．4 达朗贝尔方法
10．1．5 给定的两个确定行
10．1．6 习题
10．1．7 算法与程序
10．2 抛物型方程
10．2．1 热传导方程
10．2．2 差分公式
10．2．3 克兰克尼科尔森法
10．2．4 习题
10．2．5 算法与程序
10．3 椭圆型方程
10．3．1 拉普拉斯差分方程
10．3．2 建立线性方程组
10．3．3 导数边界条件
10．3．4 迭代方法
10．3．5 泊松方程和亥姆霍茨方程
10．3．6 改进
10．3．7 习题
10．3．8 算法与程序
第11章特征值与特征向量
11．1 齐次方程组：特征值问题
11．1．1 背景
11．1．2 特征值
11．1．3 对角化
11．1．4 对称性的优势
11．1．5 特征值范围估计
11．1．6 方法综述
11．1．7 习题
11．2 幂方法
11．2．1 收敛速度
11．2．2 移位反幂法
11．2．3 习题
11．2．4 算法与程序
11．3 雅可比方法
11．3．1 平面旋转变换
11．3．2 相似和正交变换
11．3．3 雅可比变换序列
11．3．4 一般步骤
11．3．5 使dpq和dqp为零
11．3．6 一般步骤小结
11．3．7 修正矩阵的特征值
11．3．8 消去apq的策略
11．3．9 习题
11．3．10算法与程序
11．4 对称矩阵的特征值
11．4．1 Householder法
11．4．2 Householder变换
11．4．3 三角形式归约
11．4．4 QR法
11．4．5 加速移位
11．4．6 习题
11．4．7 算法与程序
附录A MATLAB简介
部分习题答案
中英文术语对照

前言/序言

本书主要介绍数值分析方面的基础知识，适用于数学、计算机、物理及工程专业的本科生。本书要求读者熟悉微积分知识，并接受过结构化编程的训练。本书提供了丰富的教学内容，可以满足一个学期甚至一个学年的课程量，教师们可以根据自己的需要对内容进行适当的剪裁。

对于各个专业领域的学生而言，数值方法都是非常有用的。这一指导思想贯穿于本书的各个章节中，因此本书提供了丰富的范例与典型问题，帮助读者从理论与实践两方面提高数值分析的技能。本书尽可能地以图形和图表形式显示计算结果，以便读者更好地了解数值逼近的效果。本书利用MATLAB程序实现数值算法。

本书的重点在于帮助读者理解数值方法如何工作以及有哪些限制。由于需要兼顾理论、误差分析以及可读性，达到这个目标并不容易。在本书中，对每种方法都给出了以微积分基本结论为基础的推导，并进行了适当的误差分析，以使读者易于理解。通过这些学习，读者能够更好地理解微积分知识。采用MATLAB编程的计算机习题，为学生提供了锻炼科学计算编程能力的机会。

在本书中，简单的数值练习题可以用计算器或者掌上电脑完成，而较复杂的习题需要借助于MATLAB子程序。如何指导学生上机进行数值计算由各个教师完成，他们可以根据现有的计算机资源布置适当的教学任务。本书鼓励使用MATLAB子程序库，它们可以帮助学生实现计算机实验题中的数值分析组件。

本书的这个版本在第5章最后增加了一节，讨论贝塞尔曲线。对讨论数值优化的第8章也进行了扩充，介绍了单变量和多变量最优函数的直接方法和基于导数的方法。

笔者以前认为，无论使用哪种编程语言都可以学习这门课程。但后来笔者发现大多数学生（除计算机专业的学生外）都需要学习新的编程语言。MATLAB现在已经成为工程和应用数学必不可少的工具，它的最新版本也加强了编程方面的功能。因此笔者希望本书的MATLAB程序能使书中的内容更易掌握，使学习更为有效。

致谢

笔者对参与编辑、出版本书各个版本的所有人员表示感谢！笔者（John Mathews）首先要感谢加利福尼亚州立大学富勒顿分校的学生们。同时，感谢我的同事Stephen Goode，Mathew Koshy，Edward Sabotka，Harris Schultz和Soo Tang Tan在本书第一版中给予的支持；感谢Russell Egbert，William Gearhart，Ronald Miller和Greg Pierce对本书第二版的建议。笔者还要感谢加利福尼亚州立大学富勒顿分校数学系主任James Friel的鼓励。

许多评阅人对本书第一版提出了有效建议，包括兰德学院的Walter M. Patterson, III，中康涅狄格州立大学的George B. Miller，阿克伦大学的Peter J. Gingo，阿拉斯加大学费尔班克斯分校的Michael A. Freedman，加利福尼亚大学洛杉矶分校的Kenneth P. Bube。对于本书的第二版，笔者向罗格斯大学的Richard Bumby，美国陆军的Robert L. Curry，佛罗里达大学的Bruce Edwards以及坦普尔大学的David R. Hill致谢。

关于本书的第三版，笔者向乔治梅森大学的Tim Sauer，俄克拉荷马大学的Gerald M. Pitstick和Victor De Brunner，西弗吉尼亚大学的George Trapp，阿拉巴马大学享茨维尔分校的Tad Jarik，北卡罗莱纳州立大学的Jeffrey S. Scroggs，科罗拉多州立大学的Kurt Georg以及南伊利诺伊大学卡本代尔分校的James N. Craddock表示感谢。

本书第四版的评阅人是阿克伦大学的Kevin Kreider，华盛顿大学圣路易斯分校的Demetrio Labate，弗吉尼亚理工学院的Lee Johnson和路易斯安娜大学拉法叶分校的Azmy Ackleh。笔者对这些评阅人所付出的努力和提出的建议，表示深深的感谢。

恳请读者对本书不吝赐教，联系地址如下：

John H. Mathews

Mathematics Department

California State University

Fullerton，CA 92634

mathews@fullerton.edu

Kurtis D. Fink

Department of Mathematics

Northwest Missouri State University

Maryville，MO 64468

kfink@mail.nwmissouri.edu