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内容简介

　　《抽象代数1：代数学基础》力求深入浅出、循序渐进，以利于学生掌握抽象代数课程的精髓。
　　《抽象代数1：代数学基础》还特别注意与其他课程，如高等代数与解析几何、微分几何、李代数、有限群表示和抽象代数Ⅱ等的联系，加强学生对数学整体的把握。
　　《抽象代数1：代数学基础》基本逐节配有习题，既可帮助读者巩固和拓广教材讲述的内容，又可进行科学研究能力的初步培养。

内页插图

目录

前言

第1章 基本概念
1．1 二元运算与同余关系
1．2 幺半群群
1．3 子群与商群
1．4 环与域
1．5 同态与同构
1．6 模
1．7 同态基本定理
1．8 循环群

第2章 环
2．1 分式域
2．2 多项式环
2．3 对称多项式
2．4 唯一析因环
2．5 主理想整环与Euclid环
2．6 域上一元多项式
2．7 唯一析因环的多项式环
2．8 素理想与极大理想

第3章 域
3．1 域的单扩张
3．2 有限扩张
3．3 分裂域正规扩张
3．4 可分多项式完备域
3．5 可分扩张本原元素
3．6 代数学基本定理

第4章 群
4．1 群的生成组
4．2 群在集合上的作用
4．3 Sylow子群
4．4 有限单群
4．5 群的直积
4．6 可解群与幂零群
4．7 Jordan-Holder定理
4．8 自由幺半群与自由群
4．9 点群

第5章 模
5．1 自由模
5．2 模的直和
5．3 主理想整环上的有限生成模
5．4 主理想整环上的有限生成扭模
5．5 主理想整环上有限生成模的应用
5．6 主理想整环上的矩阵

第6章 Galois理论
6．1 Galois基本理论
6．2 一个方程的群
6．3 分圆域二项方程
6．4 有限域
6．5 方程的根式解
6．6 圆规直尺作图

参考文献
索引

前言/序言

　　从1984年开始，我为南开大学数学系本科生讲授抽象代数.特别根据陈省身先生的倡议，南开大学于1986年创办了数学试点班，并对该试点班的教学进行了许多改革，其中一个重要的改革是加强抽象代数的教学，教学时间由一个学期改为两个学期，教学内容则要求系统和完整.1992年出版的《代数学基础》和之后出版的《南开大学数学教学丛书》都是这个试点班的教材。
　　《代数学基础》-书除南开大学数学系一直使用外，还有一些其他学校也在使用，有的学校还将其作为研究生课程的教材使用，十多年过去，情况有了很大的不同.虽然我在此书出版后不再讲授这门课程，但书中有一些问题慢慢得到了解答，这些是需要修改和补充的.这本书当时印得很少（复印的不少），现在已经买不到了，但是仍不断有读者来询问何处可以买到，陈良云、史毅茜和白瑞蒲三位老师三四年前就建议、敦促我再版此书，而且主动为书的再版做了大量工作，因此，此书的再版应是他们的功劳，科学出版社一如既往地积极支持我们，愿意出版此书.为了不辜负读者、三位老师和出版社的希望，我决定再版此书，当然新版书是我与陈良云、史毅茜、白瑞蒲三位老师共同合作完成的。
　　由于在学校这门课程的名称是“抽象代数”或“近世代数”，虽然这两个名称未必完全确切，但习惯成自然，也不必去计较，遵从这种习惯，我们将新书命名为《抽象代数》，由于扩充了很多内容，新的《抽象代数》分为两本：第1本是《抽象代数I-代数学基础》，基本保持了原书的结构与内容；第二本是《抽象代数II-结合代数》，包括结合代数、张量代数、Clifford代数和有限群表示等四部分内容，这些内容在代数学中也是基本的，在其他分支中又经常要用，但是在抽象代数课程中往往被“忽略”，实在应该给予它们在抽象代数中相应的地位。
　　源远流长的代数学，历来在整个自然科学基础之一的数学中占有极为重要的地位，今天它仍在蓬勃发展中，它对数学以及整个自然科学和社会科学的影响与日俱增，是数学中最有生机与活力的一个分支，
　　但是，当我们回顾那漫长曲折的历史时，却发现代数学在很长一段时期的发展竟是极其缓慢的.初等代数学是研究数和文字的代数运算（加法、减法、乘法、除法、乘方、开方）的理论和方法，其主要研究对象是多项式方程和多项式方程组的解.其研究方法是高度计算性的.16世纪，复数的引进是数学史一个重要的转折.初等代数学相继解决了2次、3次与4次方程求解问题.这些方程的解都可用系数的四则运算与根式运算来给出，即可用根式解这些方程.初等代数也因此而达到高峰.但是，当时的数学家们继续探索5次与5次以上方程的解，也试图用根式解出这些方程，经过200余年，并无重要进展，这里包括许多著名数学家，如L.Euler（1707～1783），A.T.Vandermonde（1735～1796），J.L.Lagrange（1736～1813），P.Ruffini（1765～1822）等.直到19世纪，代数学的发展才有了转机。
　　1799年，C.F.Gauss（1777～1855）证明了代数学基本定理，因此获得博士学位，他将多项式的根与复平面上的点对应，从而证明了多项式根的存在.这里Gauss将复数与平面上的点一一对应，使用“复数”这个名词，对以后数学都有很大影响.另一个重要的事情是他的方法.与以前不同的是，Gauss不是去计算一个根，而是证明根的存在，这个方法开创了探讨数学中存在性的新途径.1801年，Gauss在《算术研究》中将等分圆周与二项方程（xp-1=0，p为素数）联系起来，并建立了二项方程的理论.1824年，N.H.Abel（1802～1829）解决了用根式求解5次方程不可能性问题.Abel还研究了一类可以用根式解的方程，后人发现这是具有交换的Galois群的方程，但是用根式解高次方程的问题并未完全解决。
　　1829年5月，E.Galois（1811-1832）写出了代数方程可解性的论文，1830年2月修改后交法国科学院，由于审稿人去世，手稿遗失.1831年，他再次修改论文，交法国科学院，这次并未得到应有的公正评价.1832年，Galois在决斗前夕写了绝笔信，整理了他的手稿，概述了他得到的主要成果.Galois不幸死于这场决斗.1846年，即Galois逝世14年后，他的部分论文才得以发表.1870年，C.Jordan（1838～1922）全面介绍了Galois的思想.Galois在探讨可用根式求解的方程时，用了根的置换的概念，实际上，他已提出了群的概念，用此理论彻底解决了用根式求解高次方程的问题，并由此发展了一整套关于群和域的理论-Galois理论。
　　自从19世纪Galois建立群论之后，代数学有了突破性的进展，主要是群、环、域及Galois理论的建立与发展，无疑这些理论当时处于数学发展的前沿，人们就把它们称为“近世代数（modernalgebra）”.这些理论与以往的代数，即初等代数相比，抽象性更为突出，如更着重于数学体系结构的研究，因而又被称为“抽象代数（abstractalgebra）”。
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这是三本里面最难的一本了，看起来很吃力，很难带得动，得慢慢学

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