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内容简介

　　重分形分析是20世纪80年代以来分形几何*重要的成果，已成为分形几何的核心课题之一，它广泛应用于动力系统、湍流、降雨量模型、地震和昆虫数量的空间分布、金融时间序列模型及交通网络模型，《重分形：理论与应用》侧重将重分形分析理论应用予统计，特别是用统计学的观点来估计分形维数是其他书所未涉及的独到的贡献。
　　《重分形：理论与应用》第一部分介绍背景和重分形测度的不同定义，特别是用格覆盖和点中心球覆盖的两种构造。第二部分介绍大偏差下的重分形公式，主要讨论通过大偏差理论得到上述两种构造的“重分形机制”，第三部分讨论Renyi维数的估计、性质及其应用。独特的是将偏差分为内在与外在两类形式，并通过理论及实例指出：内在偏差由概率分布的内在性质引起，外在偏差由取样与所采用的统计方法形成，从而给出了一些实用的方法与技巧，同时给出丰富的应用实例，特别详细讨论了地震位置空间点模型。附录部分概括介绍了各种维数的定义和大偏差理论。
　　这是一本将重分形理论应用于统计的非常好的参考书，可供数学及相关专业高年级本科生、研究生及科研教学人员参考。

内页插图

目录

中文版序
前言
符号表
插图列表
第一部分 引言和预备知识
第1章 动机和背景
1．1 引言
1．2 分形集和重分形测度
1．3 动力系统
1．4 湍流
1．5 降雨量
1．6 地震模型
1．7 其他应用
1．8 重分形概念
1．9 全书概述
第2章 重分形公式
2．1 引言
2．2 广义Renyi维数的发展历史
2．3 广义Renyi格维数
2．4 广义Renyi点中心维数
2．5 重分形谱和重分形公式
2．6 格点情形的基本结论的复习
2．7 点中心情形的结论的复习
第3章 多项分布测度
3．1 引言
3．2 局部性态
3．3 全局平均和Legendre变换
3．4 分形维数
3．5 点中心构造

第二部分 大偏差下的重分形公式
第4章 基于格点的重分形
4．1 引言
4．2 大偏差公式
4．3 均匀空间样本测度
4．4 样本测度组成的族
4．5 Hausdorff维数
第5章 点中心情形的重分形
5．1 引言
5．2 大偏差体系
5．3 一族样本测度
5．4 Hausdorff维数
5．5 格构造和点中心构造之间的关系
第6章 倍增级联过程
6．1 引言
6．2 Moran级联过程
6．3 随机级联
6．4 其他级联过程

第三部分 Renyi维数的估计
第7章 q阶点间距离和内在偏差
7．1 第三部分的引言
7．2 边界效应
7．3 边界的重数
7．4 FY（y）的分解
7．5 可微分布
第8章 点中心Renyi维数估计（q≥2）
8．1 引言
8．2 推广的Grassberger-Procaccia运算法则
8．3 Takens估计
8．4 Hill估计
8．5 自举估计过程
8．6 讨论和例子
第9章 偏差的外在来源
9．1 引言
9．2 强加的边界的影响
9．3 四舍五入的影响
9．4 噪音的影响
第10章 维数估计的应用
10．1 引言
10．2 进一步的估计和诠释
10．3 空间与时间点模式
10．4 动力系统
10．5 一个过程是随机的，还是决定性的？
10．6 具有幂律性质的随机过程
第11章 地震分析
11．1 引言
11．2 数据来源
11．3 引起偏差的影响
11．4 结果
11．5 结果的比较和结论

第四部分 附录
附录A 集合的性质和维数
A．1 自相似集
A．2 Hausdorff维数
A．3 盒维数
A．4 Packing维数
附录B 大偏差
B．1 导论
B．2 Cramer定理
B．3 Gartner-Ellis定理
参考文献
译后记
《现代数学译丛》已出版书目

前言/序言

　　重分形理论本质上根源于概率论，尽管也有很多思想来自于物理、数学、统计，它广泛应用于动力系统、湍流、降雨量模型、地震和昆虫数量的空间分布、金融时间序列模型及交通网络模型。
　　由于起初对地震产生的空间点模型分形维数的计算比较感兴趣，作为统计学家和应用概率学家，我曾经接触过这门学科，由于重分形这门学科吸收了许多学科的理论，并被应用于很多不同的领域，所以不可避免地就会在专业术语、概念、技术水平等方面产生一些困难。我试图把这些领域的思想融合在一起，放在概率和统计的背景中，使用统计学家能够理解并对其有用的语言，特别地，我的目的是为Renyi分形维数估计的统计性质的讨论提供一个框架，
　　不能说这本书只是针对统计学家的，事实上，从统计学的观点来估计分形维数是其他书所未涉及的，我尝试着把偏差的形式分为两类：内在的和外在的，并描述了它们对维数估计的影响。内在偏差是由概率分布的内在性质引起的，而外在偏差是指由取样和其他方法性的困难所形成的特征，将通过已知的数学和统计模型给出这些偏差的例子。
　　这本书的重点是重分形测度。与单尺度的自相似随机过程相比，多尺度随机过程（有时称为“重分形”随机过程）近期的发展是本书内容的次要方面，这些“重分形”随机过程仅作简单的介绍。
　　本书第一部分给出介绍性的内容和重分形测度的不同定义，特别地，是通过格点覆盖和点中心球覆盖的构造给出的，第二部分将证明这两种构造的所谓“重分形机制”可通过标准的概率技术，即大偏差理论来得到。最后一部分是Renyi维数的估计（包含2阶及更高阶）及其性质的讨论，也讨论维数估计的各种应用，详细说明地震位置空间点模型，附录概括介绍维数的一些定义和大偏差理论的结果。
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