前言
第1章矩阵与线性方程组1
1.1矩阵与线性方程组简介2
1.2阶梯形与高斯�苍嫉毕�元法12
1.3相容线性方程组23
1.4应用(可选)32
1.5矩阵的运算37
1.6矩阵运算的代数性质50
1.7线性无关与非奇异矩阵58
1.8数据拟合、数值积分以及数值
微分(可选)66
1.9矩阵的逆及其性质75
第2章二维空间和三维空间中的
向量93
2.1平面上的向量94
2.2空间中的向量104
2.3点积与叉积110
2.4空间中的线和面120
第3章向量空间Rn131
3.1引言132
3.2Rn的向量空间性质134
3.3子空间的例子142
3.4子空间的基153
3.5维数163
3.6子空间的正交基173
3.7从Rn到Rm的线性变换182
3.8不相容线性方程组的最小二乘解
及其在数据拟合中的应用196
3.9最小二乘的理论与实践206
第4章特征值问题222
4.1(2×2)矩阵的特征值问题223
4.2行列式与特征值问题226
4.3初等变换与行列式(可选)233
4.4特征值与特征多项式240
4.5特征向量与特征空间247
4.6复特征值与特征向量253
4.7相似变换与对角化261
4.8差分方程马尔可夫链微分方
程组(可选)272
第5章向量空间与线性变换287
5.1简介288
5.2向量空间289
5.3子空间296
5.4线性无关、基以及坐标301
5.5维数312
5.6内积空间、正交基以及投影
(可选)315
5.7线性变换324
5.8线性变换的运算331
5.9线性变换的矩阵表示338
5.10基变换与对角化347
第6章行列式362
6.1简介363
6.2行列式的代数余子式展开363
6.3初等变换与行列式368
6.4克莱姆法则376
6.5行列式的应用：逆矩阵与朗斯基
行列式381
第7章特征值及其应用391
7.1二次型392
7.2微分方程组400
7.3化海森伯格型407
7.4海森伯格矩阵的特征值414
7.5豪斯霍尔德变换421
7.6QR分解与最小二乘解430
7.7矩阵多项式及凯莱�补�密顿定理438
7.8广义特征向量与微分方程组的解443
附录MATLAB介绍452
A.1基本运算452
A.2输入矩阵453
A.3rref命令453
A.4矩阵手术454
A.5通过手术做初等行变换455
A.6画曲线457
A.7矩阵运算458
A.8转置模逆矩阵459
A.9命令zerosoneseye以及
rand459
A.10MATLAB中的数值程序460
A.11M文件：脚本与函数461
部分奇数编号的习题答案463
索引492

前言/序言

　　线性代数是大学教学的重要组成部分，特别是对于专业为理科、工科以及社会科学的这些学生.从实际层面上来看，矩阵理论和相关的向量空间概念为提出并解决重要问题提供了一种语言和有力的计算框架.除此之外，初等线性代数是对数学抽象和逻辑推理的重要介绍，因为其理论发展是自洽的、相容的并且对大多数学生都是可接受的.因此，这本书既强调实际计算也强调理论基础，并且重点放在了前4章的主要内容上：
　　矩阵理论和线性方程组，向量空间的基本概念，以及特征值问题.这些核心内容可以用于大一下学期或大二的一门简明课程.对于更高级的课程或者时间更充裕的课程，第5～7章有足够多的额外内容.特点为大一新生和大二学生讲授线性代数的经验让我们谨慎地确立了这本教材的特点.我们的方法是基于学生的学习方式，以及他们要在线性代数和相关课程中取得成功所需要的工具.我们发现当内容难度一致的时候，学生学习的效率会更高.因此，在第1章，我们很早就有目的地讨论了诸如线性组合和线性无关这样的话题.这种方法帮助学生顺利地实现了从求解线性方程组到使用基和生成集合这些概念的巨大跳跃.学生需要的工具(当他们需要的时候)下面的例子说明了我们是如何为学生提供他们成功所需要的工具的.特征值的尽早引入.在第3章，我们在熟悉的Rn情形下介绍了向量空间的基本概念(子空间、基、维数等).因此，有可能很早就讨论特征值问题，并且比通常可能的讨论要深入得多.对行列式的一个简明介绍在第4.2节给出，这是为了方便特征值的提早处理.线性组合的尽早引入.在第1.5节，我们注意到矩阵与向量乘积Ax可以表示成A的列的线性组合Ax=x1A1+x2A2+…+xnAn.这个观点导致了线性方程组相关理论的一个简单而自然的发展.例如，方程Ax=b是相容的当且仅当b可以表示成A的列的线性组合.同样，相容的方程Ax=b有唯一解当且仅当A的列是线性无关的.这种方法对诸如子空间、基、维数这样的向量空间概念(在第3章中介绍)给出了一些早先的理由.这种方法还简化了秩和零化度的概念(这些概念随即用适当的子空间的维数自然给出了).在不同研究领域的应用.一些应用是源自差分方程和微分方程.另外一些应用则涉及数据插值和最小二乘逼近.特别地，来自各种不同学科的学生都遇到过画曲线来拟合实验或经验数据的问题.因此，他们可以领会线性代数中能够应用于这些问题的技术.计算机意识.就像影响微积分课程一样，计算机(特别是个人计算机)的不断普及也正在影响着线性代数课程.因此，这本教材有点数值的风格，而且(适当的时候)我们会评述在计算机环境中求解线性代数问题的各个方面.暴风雨中的慰藉我们试图提供给学生的支持是这种类型的：它将促进线性代数学习的成功——这门课程是学生所修的最重要的大学数学课程之一.难度的循序渐近.在典型的线性代数课程中，学生感到高斯消元和矩阵运算非常简单.然后，接踵而至的有关向量空间的概念突然难住了他们.我们做三件事情来减缓中间难度的急剧增长：
　　1.我们在第1.7节很早就引入了线性无关.2.我们包含进了新的第2章，“二维空间和三维空间中的向量”.3.我们在第3章中开始学习诸如子空间、基、维数这些向量空间概念，并且是在熟悉的Rn几何情形下.阐述的清晰性.对于许多学生来说，线性代数是他们自中学几何以来所修的最严格且最抽象的数学课程.我们努力把这本教材写得易懂一些，但同时还要展示出它的几分数学抽象的力量.为了达到这个目的，在内容的安排上，我们从具体的、可实际计算的内容自然而又合乎逻辑地过渡到更加抽象的内容.为了说明概念，我们列举了大量的例子，很多都是非常详尽地提出的.章节也被分成了黑体标题的小节，这样可以使读者在头脑中形成一个内容梗概，并且可以看出细枝末节是如何组成整体的.丰富的习题集.我们提供了大量的习题，范围从常规练习题到有趣的应用和理论性质的习题.困难一些的理论性习题都有非常实质性的提示.计算性习题采用易于计算的数，这样重点就不会被大量繁琐的算术细节掩盖.可靠的习题答案.除了理论性习题，奇数编号习题的解已在教材后面给出.我们花费了大量精力来确保这些解答是正确的.螺旋上升的习题.很多章节都包含了一些习题来提示后面将要探讨的概念.这样的习题有助于学生对已学的内容进行扩展.由此学生可以悟出一点门道.这个特性有利于内容的统一和凝聚.历史评注.书中有许多历史的评注，这可以帮助学生获得线性代数思想和概念的一个历史和数学的视角.补充习题.在每一章的末尾，我们包含了一个补充习题集.这些习题用来检验学生对于重要概念的理解，其中一些是判断题.它们通常需要学生使用几个不同章节的思想.整合MATLAB.我们在每一章的末尾都包含了一些MATLAB课题.对于对计算感兴趣的学生，这些课题提供了MATLAB的实际动手经验.简短的MATLAB附录.许多学生对MATLAB并不熟悉.因此，我们包含了一个非常简明的附录，要让学生自如地运用MATLAB来解决线性代数中出现的典型问题，这个附录已经足够了.通解的向量形式.为了对线性组合和生成集做一个尽早的附加介绍，我们在第1.5节介绍了Ax=b通解的向量形式这一概念.组织为了提供更大的灵活性，第4、5、6章本质上是独立的.读者只要学习完第1章和第3章，这几章就可以按照任意顺序来学.第7章是有关特征值问题的一个大杂烩：二次型、微分方程组、QR分解、豪斯霍尔德变换、广义特征向量，等等.第7章各节可以用各种顺序学习.下面给出了说明章节依赖性的一个示意图.注意到第2章“二维空间和三维空间中的向量”可以不失连贯性地被省略掉.第1章第2章(可选)第3章第4章第7章第5章第6章我们特别注明，第6章(行列式)可以在第4章(特征值)之前学习.但是，第4章包含了对行列式的一个简明的介绍，对于不打算学习第6章的读者，这应该已经足够了.一门对初学者水平的简单而有用的课程可以围绕下面的章节构建：
　　第1.1～1.3，1.5～1.7，1.9节第3.1～3.6节第4.1～4.2，4.4～4.5节整合抽象向量空间的教学提纲.第3章在熟悉的Rn情形中介绍了向量空间的基本概念.我们这样设计第3章是为了尽可能更早的讨论特征值问题，并且比通常可能的讨论更深入.但是，很多教师更喜欢向量空间整合的方式，即把Rn和抽象向量空间结合起来.下面的教学提纲，类似于在一些大学成功使用过的提纲，考虑到了整合抽象向量空间到第3章的课程.这个教学提纲还涉及了行列式的详尽处理：
　　第1.1～1.3，1.5～1.7，1.9节第3.1～3.3，5.1～5.3，3.4～3.5，5.4～5.5节第4.1～4.3，6.4～6.5，4.4～4.7节核心章节的扩展.如果时间和兴趣允许，可以通过包含进下面章节的各种组合，来扩展核心章节1.1～1.3，1.5～1.7，1.9，3.1～3.6，4.1～4.2，4.4～4.5：
　　(a) 数据拟合和逼近：第1.8，3.8～3.9，7.5～7.6节.(b) 特征值应用：第4.8，7.1～7.2节.(c) 向量空间理论的更深入：第3.7节，第5章.(d) 特征值理论的更深入：第4.6～4.7，7.3～7.4，7.7～7.8节.(e) 特征值理论：第6章.为了使尽快接触特征值成为可能，第4章包含了行列式的一个简明介绍.如果时间允许且合乎需要，可以在第3章以后学习一下第6章(行列式).在这样的课程中，第4.1节可以快速学习，而第4.2～4.3节则可以跳过.最后，为了培养学生的数学头脑，我们提供了几乎所有定理的证明.但是，一些非常有技巧性的证明(例如证明det(AB)=det(A)det(B))被推迟到了章节的末尾.一如既往地，时间和课堂教学成熟程度的限制决定了哪些证明可以被省略.

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