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内容简介

　　《现代微分几何》是“工业和信息化部‘十二五’规划教材”。《现代微分几何》针对理工科学生的特点和人才培养的需要编写，体现内容的完备性、易懂性、应用性、实践性、文化性和前沿性。全书共6章，主要内容包括：曲线与曲面论，张量代数和外形式，微分流形，切向量场、单参数变换群与切丛，张量场、黎曼流形与列维-齐维塔联络，流形上的积分、微分算子和德拉姆上同调。《现代微分几何》提供配套电子课件、MATLAB程序代码等。

作者简介

　　孙和军，副教授，博士毕业于中国科学院数学与系统科学研究院，现任教于南京理工大学。美国数学会(AMS)会员，美国工业与应用数学会 (SIAM)会员；国际数学刊物美国《数学评论》(Mathematical Reviews)评论员；中国兵工学会会员。长期讲授研究生基础课现代微分几何、黎曼几何导论，本科生公共基础课高等数学、线性代数等。本课程被评为江苏省2010年研究生精品课程“现代微分几何”，“现代微分几何”多媒体课件在教育部举办的第十届全国多媒体课件大赛高教理科组中获得三等奖。

内页插图

目录

第1章 曲线与曲面论
1.1 度量空间与欧氏空间
1.1.1 度量空间
1.1.2 向量空间
1.1.3 仿射空间
1.1.4 欧氏空间
1.1.5 等距变换
1.2 三维欧氏空间中的向量代数和向量分析
1.2.1 三维欧氏空间中的向量及其运算
1.2.2 向量函数和向量分析
1.2 笛卡儿生平及学术贡献
1.3 曲线论概述
1.3.1 曲线的表示
1.3.2 空间曲线的基本三棱形
1.3.3 曲线的曲率、挠率和费雷内公式
1.3 欧拉生平及学术贡献
1.4 曲面论概述
1.4.1 曲面的表示
1.4.2 曲面的定向
1.4.3 曲面的第一基本形式
1.4.4 曲面的第二基本形式
1.4.5 曲面的曲率
1.4 高斯生平及学术贡献
1.5 基于MATLAB的几何图形绘制和数值计算
1.5.1 MATLAB用户环境介绍
1.5.2 基于MATLAB的平面曲线绘制
1.5.3 基于MATLAB的空间曲线绘制
1.5.4 基于MATLAB的曲面绘制
1.5.5 基于MATLAB的微分几何数值计算
习题

第2章 张量代数和外形式
2.1 对偶空间与多重线性函数
2.1.1 对偶空间
2.1.2 多重线性函数
2.2 张量与张量代数
2.2.1 张量及其表示
2.2.2 张量积和张量代数
2.2.3 张量的缩并运算
2.2.4 度量张量、指标的提升和下降
2.3 对称张量和反对称张量
2.3.1 对称与反对称张量
2.3.2 对称化与反对称化算子
2.4 外形式与外代数
2.4.1 外形式
2.4.2 外积
2.4.3 外形式空间和外代数
2.4.4 外形式的性质
2.4 嘉当生平及学术贡献
习题

第3章 微分流形
3.1 拓扑学基本概念
3.1.1 拓扑空间
3.1.2 拓扑空间的子集
3.1.3 拓扑空间的映射
3.1.4 拓扑不变性
3.2 微分流形
3.2.1 拓扑流形
3.2.2 微分流形
3.2.3 微分流形的例子
3.2 黎曼生平及学术贡献
3.3 光滑映射和微分同胚
3.3.1 流形间的光滑映射
3.3.2 微分同胚
3.3 惠特尼生平及学术贡献
3.4 切向量与余切向量
3.4.1 切向量与切空间
3.4.2 余切向量和余切空间
3.4.3 诱导切映射和诱导余切映射
3.5 子流形和带边流形
3.5.1 浸入与嵌入
3.5.2 开子流形和闭子流形
3.5.3 嵌入定理
3.5.4 带边流形和闭流形
3.5 纳什生平及学术贡献
习题

第4章 切向量场、单参数变换群与切丛
4.1 切向量场和泊松括号积
4.1.1 切向量场
4.1.2 李代数与泊松括号积
4.1.3 微分流形上的对合分布
4.1.4 诱导切映射与泊松括号积运算的可交换性
4.2 单参数变换群和李导数
4.2.1 单参数变换群
4.2.2 单参数变换群的诱导光滑切向量场
4.2.3 李导数
4.3 向量丛和切丛
4.3.1 向量丛
4.3.2 切丛和余切丛
4.3 陈省身生平及学术贡献
习题

第5章 张量场、黎曼流形与列维-齐维塔联络
5.1 光滑张量场
5.1.1 光滑张量场
5.1.2 张量场的李导数
5.2 单位分解定理、黎曼流形和伪黎曼流形
5.2.1 单位分解定理
5.2.2 黎曼流形
5.2.3 伪黎曼流形
5.2 爱因斯坦、广义相对论与黎曼几何
5.3 外微分式及外微分
5.3.1 外微分式
5.3.2 外微分
5.3.3 流形间光滑映射的诱导映射
5.4 仿射联络和列维-齐维塔联络
5.4.1 仿射联络和仿射联络空间
5.4.2 挠率张量和挠率形式
5.4.3 列维-齐维塔联络
5.4.4 协变微分
5.4 列维-齐维塔生平及学术贡献
5.5 黎曼曲率和结构方程
5.5.1 平行移动和测地线
5.5.2 仿射联络的曲率张量和曲率形式
5.5.3 黎曼曲率张量、截曲率和常曲率空间
5.5.4 黎曼流形的结构方程
5.5.5 里奇曲率和数量曲率
5.5.6 爱因斯坦流形和卡拉比-丘流形
习题

第6章 流形上的积分、微分算子和德拉姆上同调
6.1 流形的定向、流形上的积分和斯托克斯定理
6.1.1 流形的定向
6.1.2 光滑流形上的积分
6.1.3 黎曼流形上的积分
6.1.4 斯托克斯定理
6.2 黎曼流形上的微分算子
6.2.1 霍奇星算子
6.2.2 散度算子和梯度算子
6.2.3 余微分算子
6.3 霍奇-德拉姆算子、拉普拉斯-贝尔特拉米算子及其特征值
6.3.1 霍奇-德拉姆算子和拉普拉斯-贝尔特拉米算子
6.3.2 拉普拉斯算子的特征值
6.3 贝尔特拉米生平及学术贡献
6.4 德拉姆上同调和霍奇分解定理
6.4.1 德拉姆上同调
6.4.2 霍奇分解定理及其应用
6.4.3 庞加莱对偶定理
6.4 德拉姆生平及学术贡献
习题

名词索引
人名索引
参考文献

前言/序言

　　“微分几何”在我国研究生数学教育课程体系中占据着重要地位，它承担着向研究生普及现代数学知识、培养学生数学思维和创新能力的重要功能。随着我国建设创新型步伐的加快，创新型人才培养的客观需要、学生知识背景和需求的变化都对研究生微分几何课程的教学提出了新的要求。在主持江苏省高等教育学会“十二五”高等教育科学研究规划课题、江苏省研究生教育教学改革研究与实践课题、南京理工大学研究生课程教学模式改革项目、南京理工大学高等教育教学改革研究课题的过程中，第一作者对“现代微分几何”课程的教学内容和教学方法做了一系列的改革尝试。本书是作者在多年讲授的“现代微分几何”课程的教案基础上，结合相关教学改革实践编写而成的。“工业和信息化部‘十二五’规划教材”项目为本书的出版提供了契机。本书可供理工科高等学校的数学、物理、计算机设计、图形处理等专业的研究生和高年级本科生作为学习现代微分几何、微分流形的课程教材使用，也可供数学工作者参考使用。针对理工科学生的特点和人才培养的需要，本书注意体现内容的完备性、易懂性、应用性、实践性、文化性和前沿性。
　　第一，为了增强教材内容的完备性、提高教材的适用性，本书整合了曲线论、曲面论的主干内容和拓扑学的基本概念。本书内容可以分为古典微分几何和现代微分几何两部分：第一部分也就是本书的第1章，着重介绍古典微分几何的曲线和曲面主干理论，还包括公理化方法建立的欧氏空间的概念、向量代数和向量分析内容。第二部分是本书的第2~6章，介绍的是现代微分几何的基本概念、思想和方法，主要内容包括张量、外形式、微分流形、子流形、切向量场、单参数变换群、切丛、张量场、黎曼流形、协变微分、外微分式、流形上的积分、斯托克斯定理、流形上的微分算子、拉普拉斯算子的特征值、德拉姆上同调和霍奇分解定理等。我们希望通过这样的内容安排，能让具有微积分知识基础的读者自然地由古典微分几何进入现代微分几何。考虑到近年来许多理工科数学专业的研究生并没有古典微分几何的知识基础，以及服务于高年级本科生选修的需要，这样的安排还是有所裨益的。事实上，古典微分几何的曲线和曲面是现代微分几何中流形的低维例子，其概念和性质是研究和理解流形有关概念和性质不可或缺的基础。纵观全书，我们也希望通过这样的安排，可以为读者呈现几何学从欧氏几何、空间解析几何、古典微分几何直到现代微分几何的历史发展脉络和理论体系。
　　第二，为了加强教材内容的实践性，本书在第1章中安排了基于MATLAB的几何图形绘制的内容。这既是为了发挥数学软件在绘制几何图形方面的优势，帮助我们理解曲线、曲面和流形等微分几何研究对象的概念和性质，也是为了顺应数学软件普及和使用增加的趋势，提高理工科学生使用数学软件的能力。
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评分☆☆☆☆☆

发货好快。读起来，清晰易懂。包含的数学家的生平故事和背景材料让微分几何理论变得有趣多了。从这本书可以看到从古典到现代几何发展的一些历史和重要的基本知识。

评分☆☆☆☆☆

与陈维桓编写的微分几何相比，后者在曲线论，曲面论方面没有前者论述详尽！

评分☆☆☆☆☆

书言简意赅，难度适中，是本好书，值得推荐

评分☆☆☆☆☆

好好√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√

评分☆☆☆☆☆

书言简意赅，难度适中，是本好书，值得推荐

评分☆☆☆☆☆

好好好

评分☆☆☆☆☆

书还行，但是封面有点脏，而且书角磨损

评分☆☆☆☆☆

与陈维桓编写的微分几何相比，后者在曲线论，曲面论方面没有前者论述详尽！

评分☆☆☆☆☆

与陈维桓编写的微分几何相比，后者在曲线论，曲面论方面没有前者论述详尽！

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