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適讀人群 ：本書可作為數學(尤其計算數學、應用數學等)專業師生的教課書或科研人員的參考書，也可作為理工科大學各專業研究生學位課程的教課書。
《特殊綫性係統的數值迭代算法》可作為數學(尤其計算數學、應用數學等)專業師生的教材或科研人 員的參考書， 也可作為理工科大學各專業研究生學位課程的教材.

內容簡介

《特殊綫性係統的數值迭代算法》介紹求解幾類特殊綫性係統的基本理論和基本迭代方法. 主要內容為： 緒論、經典迭代法求三類綫性係統、矩陣雙分裂比較定理及在綫性互補問題的 應用、HSS 迭代法及其預處理技術、鞍點問題迭代算法及預處理技術、Maxwell 方程的預處理技術、結論等.

目錄

前言
主要符號對照錶
第1章緒論1
11方法介紹1
111經典定常迭代法3
112非Hermitian正定綫性係統的迭代法4
113鞍點問題的迭代法4
12涉及知識和主要內容7
13結構安排8
第2章經典迭代法求三類綫性係統10
21L-矩陣綫性係統的預處理AOR迭代法11
211引言11
212助記符，概念和性質12
213預處理AOR迭代法的收斂性分析和比較理論13
214數值算例19
22一個雙參數預處理子作用於L-矩陣綫性係統20
221引言20
222新預處理AOR迭代21
223收斂分析22
224數值例子29
23H-矩陣綫性係統的預處理Gauss-Seidel迭代法31
231引言31
232概念和性質32
233收斂性分析32
234數值算例34
24求解最小二乘問題的預處理AOR迭代法34
241引言34
242預處理AOR迭代法及收斂分析36
243數值算例41
25AOR迭代法的一個新版本:QAOR迭代法42
251經典AOR迭代法42
252QAOR迭代法及收斂分析43
253收斂定理44
254QAOR與AOR的關係48
255數值例子49
26本章小結50
第3章矩陣雙分裂比較定理及在綫性互補問題的應用51
31矩陣雙分裂比較定理51
311引言51
312收斂性理論52
32矩陣雙分裂在綫性互補問題的應用63
321引言63
322預備知識64
323二步搜索模係矩陣分裂迭代法65
324收斂定理67
325數值實驗74
33本章小結79
第4章HSS迭代法及其預處理技術80
41選擇HSS迭代法及LHSS迭代法一個新準則80
411引言80
412HSS迭代法與LHSS迭代法的選擇83
413兩個例子84
42非Hermitian正定綫性係統的改進的HSS迭代法86
421引言86
422MHSS迭代法的收斂分析87
423IMHSS迭代法90
424數值實驗92
43鞍點問題HSS預處理矩陣譜的上下界95
431引言95
432譜的新界96
44廣義鞍點問題HSS預處理矩陣的譜分布102
441引言102
442廣義鞍點問題的HSS方法103
443HSS預處理矩陣的譜性質104
444數值實驗110
45本章小結114
第5章鞍點問題迭代算法及預處理技術115
51求解鞍點問題的一個迭代法116
511引言116
512迭代法116
513數值算例119
52求解鞍點問題的一個修正SSOR迭代法120
521引言120
522修正的SSOR迭代法121
523參數w的選取126
524數值實驗129
53鞍點問題的(2，2)塊含參數預處理技術132
531引言132
532譜分析134
533數值實驗150
54鞍點問題的(1，2)塊含參數預處理技術154
541引言154
542MP1
譜分析154
543數值實驗162
55本章小結165
第6章Maxwell方程的預處理技術166
61波數為零Maxwell方程的塊三角預處理技術166
611引言166
612新的塊三角預處理子167
613新的單列非零(1，2)塊的塊三角預處理子172
614數值實驗174
62波數非零Maxwell方程的塊三角預處理技術179
621引言179
622修正塊預處理子180
623數值實驗187
63本章小結192
第7章結論193
參考文獻195

精彩書摘

世界著名數值分析專傢牛津大學教授LloydNTrefethen和DavidBauIII指齣:如果除瞭微積分與微分方程，還有什麼數學領域是數學科學基礎，那就是數值綫性代數"數值
綫性代數領域中的一個十分重要的課題是大型稀疏綫性係統的高效求解這主要是因為在實踐中，如計算流體動力學、電磁計算、材料模擬與設計、石油勘。探數據處理、地震數據處理、數值天氣預報及核爆炸數值模擬等都離不開(偏)微分方程的數值求解，而解決這些問題的主要策略是通過有限差分、有限元、有限體積、區域分解、多重網格、無網格等方法對(偏)微分方程離散將所需求解問題轉。化為大型稀疏綫性係統的數值求解當今，如何快速有效的求解大型稀疏綫性係統。已成為許多專傢及學者研究的焦點這主要體現在數值計算及其模擬中求解大型。稀疏綫性係統所花費的時間往往在求解整個問題所需的時間中占有很大的比重，有。時甚至高達百分之八十以上。
通常，求解綫性係統的方法有兩類:基於矩陣分解的直接法和基於遞歸的迭代。法直接法的工作主要集中在20世紀6070年代，主要途徑是通過對矩陣進行變。換(如Gauss消元、LU分解等)，將原綫性係統化為三角或三對角等容易求解的形式，然後通過迴代或追趕等方法得到綫性係統的解其優點在於不計捨入誤差的情。況下能得到準確解不足之處是當矩陣的條件數很大時，由於捨入誤差的存在而導。緻所求齣的解與準確解相差甚遠;當矩陣階數較大時，由於存儲的需求而迫使直接。法相對於其他方法更費時所以用直接法求解大型稀疏綫性係統往往是不可取的。基於此，在實際求解中，通常采用運算量小、內存需求小且能充分利用矩陣稀疏性。的迭代法。
當前，迭代法已成為求解大型稀疏綫性係統的主流方法迭代求解大型稀疏綫。性係統現已成為科學計算中十分重要的課題之一，其迭代策略一般可分為兩類一。類是基於矩陣分裂的定常迭代法定常迭代法的工作主要集中於20世紀5060年。代，其基本途徑是通過矩陣單分裂(若綫性係統的係數矩陣A分裂為A=MN(其。中M為非奇異矩陣)，則稱為矩陣A的單分裂)而構建迭代格式根據矩陣分裂的。形式不同而形成瞭許多行之有效的方法，如Jacobi，Gauss-Seidel(G-S)，Successive。
Over-Relaxation(SOR)，AcceleratedOver-Relaxation(AOR)等以及這些方法的改。進和加速形式定常迭代法具有結構簡單、易於程序實現等優點因此，自Jacobi。方法誕生以來，新的定常迭代法層齣不窮，備受工程人員及科研人員的青睞目前，。這些方法又有新的發展，如將其作為預處理子與Krylov子空間方法結閤起來求解。大型稀疏綫性係統另一類是非定常迭代法目前，非定常迭代法主要存在兩大分。支:一是以ConjugateGradient(CG)方法為代錶的Krylov子空間迭代法;二是基。於矩陣分裂的分裂迭代法，如非定常Richardson迭代法、內外迭代法以及非定常。多分裂迭代法等目前，對求解大型稀疏綫性係統來說，比較流行的Krylov子空間。迭代法有CG，MinimalResidualmethod(MINRES)，GeneralizedMinimalResidual。method(GMRES)等。
無論是定常迭代法還是非定常迭代法，其收斂速度在一定程度上與矩陣的譜分。布有著密不可分的關係對矩陣分裂的定常迭代法來說，在迭代矩陣譜半徑小於1。的前提下，迭代矩陣的譜半徑越小其收斂速度越快;對非定常Krylov子空間迭代法。來說，其收斂速度依賴於矩陣的譜分布，譜分布越集中，收斂速度越快[14]因此，。為瞭提高迭代法求解綫性係統的收斂速度，目前，一個切實可行的途徑是采用預處。理技術，其主要目的是使預處理後的矩陣的譜更加聚集為特定的大型稀疏綫性係。統尋找量身定做"的預處理子已成為迭代法研究中的重要課題。
預處理技術的主要策略是通過利用預處理子將原綫性係統轉化為易求解的等。價綫性係統通常，構建一個好的預處理子已被公認為是藝術與科學的完美結閤。
一般地，構造預處理子有兩種途徑:一是純代數技術，如不完全分解(ILU)預處理子、。稀疏近似逆(AINV)預處理子等;二是從特定問題齣發，通過利用較多原問題信息。來構建預處理子，一般情況下，原問題信息利用的越多，構建的預處理子越有效具。體地，對預處理子的構造可以從以下五個方麵考慮:。(1)綫性係統的背景;。(2)矩陣本身的性質，如是否具有稀疏性、對稱性、占優性等;。(3)預處理部分的計算量比較小;。(4)預處理矩陣特徵值分布相對集中;。(5)預處理矩陣需滿足一定的性質，如是否具有正定性、是否具有對稱性、特。徵值是否全是實數。一般地，一個切實可行有效預處理子的選擇可以從以下四個方麵把握:。(1)預處理子在某一方麵是係數矩陣的逆矩陣的一個較好逼近(事實上，構造。預處理子主要目的是使預處理矩陣為單位陣的近似);。(2)構造預處理子需在計算機的內存和CPU的工作時間上有保障(即花費不。太大);。(3)預處理矩陣的條件數要遠小於原係數矩陣的條件數，其最小奇異值會相應 的增大而最大奇異值會相應的減小;。(4)新的預處理綫性係統要比原綫性係統更易求解。當今，預處理技術已滲入到所需問題的數值求解中，是提高相應數值算法收斂。速度的一個十分重要的途徑，已成為數值計算領域中的一個很重要的研究方嚮。
111經典定常迭代法。
在科學計算中，許多實際問題的求解最終都要歸結為求解大型稀疏綫性係統:。Ax=b;。其中A是一個給定的非奇異矩陣，b是一個給定的嚮量，x是一個待求的嚮量由。於不同問題在不同條件下産生的綫性係統不同，進而導緻其相對應的係數矩陣A。不同，如在偏微分方程數值解、控製論、均衡論及加權最小二乘問題等數值求解中，。通過適當的技術處理(如用有限差分離散偏微分方程或對加權最小二乘問題等價。變換)，可以獲得係數矩陣為非奇異L-矩陣(或H-矩陣)的綫性係統如前所述，若。用直接法求解，則數值效果並沒有達到令人十分滿意的程度常采用迭代法對其求。解，為瞭加快迭代法的收斂速度，通常迭代法需要與預處理子結閤起來求解大型稀。疏的綫性係統。
近年來，對係數矩陣為L(H)-矩陣的非奇異綫性係統預處理子的構造主要是。將係數矩陣A分裂為A=DLU，其中D是A的對角矩陣，L和U分。彆是矩陣A的嚴格下三角矩陣和嚴格上三角矩陣基於這一分裂，預處理子的構。造通常是D+S"型，其中矩陣S的元素常取係數矩陣A的某些非零元的相反。數，如取係數矩陣A的第一列的相反數[5，6]、取係數矩陣A的上次對角元的相反。數[7，8]等這種構造預處理子的基本思想源於Gauss消元法，其目的是通過將係。數矩陣A的某些對應元素化為0來達到減少迭代矩陣譜半徑的目的，進而提高迭。代法的收斂速度，其理論依據是迭代矩陣的譜半徑越小，矩陣分裂迭代法的收斂速。度越快[9]此類預處理子常常與經典迭代法(如G-S迭代法、SOR迭代法及AOR。迭代法等)結閤到一起來求解大型稀疏的綫性係統此方法的優點是理論性強、計。算代價小;不足之處是計算的效果相對要差在這類預處理子中，修正預處理方法。研究較多，在一定程度上可看成是Gauss消元法的一種擴展目前，國內外很多學。者對此進行瞭相關的研究[10，11]，得齣瞭很多理論結果，促進瞭新預處理子研發的。進程。
另一方麵，若將係數矩陣A分裂為A=PRS(其中P為非奇異矩陣)，則。稱為矩陣A的雙分裂[12]，矩陣雙分裂所確定的迭代法稱為雙分裂迭代法[12]如。Jacobi雙SOR方法、G-S雙SOR方法、EWA雙SOR方法等都屬於雙分裂迭代。法這些方法雖是傳統單分裂迭代法的簡單推廣，但現已有效地求解某些實際問題，。如核反應堆物理學中的離散多維橢圓型方程[13]

前言/序言

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