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编辑推荐

　　

　　《点集拓扑与代数拓扑引论》是作者结合科研工作和多年教学经验编著的一本拓扑学方面的入门教材，有两大特点：
　　1、综合介绍了点集拓扑的主要内容和代数拓扑的入门知识，使得学生在学完之后能对现代拓扑学的全貌有一个初步的了解。
　　2、采用了类似于课堂讨论的讲述风格，条理清晰而又浅显易懂，并且提供了丰富具体的例子以及难度适中的配套习题，并附有习题答案。
　　本书可作为综合大学和高等师范院校数学系的拓扑课教材，也可供有关的科技人员和拓扑学爱好者作为自学的入门读物。

内容简介

　　

　　《点集拓扑与代数拓扑引论/21世纪数学规划教材·数学基础课系列》是高等院校数学系本科生拓扑学的入门教材。全书共分五章。第一章介绍拓扑空间和连续映射等基本概念。第二章介绍可数性、分离性、连通性、紧致性等常用点集拓扑性质。第三章从几何拓扑直观和代数拓扑不变量两个角度，综合地介绍了闭曲面的分类。第四章介绍了基本群的概念以及应用。第五章介绍复迭空间的技术。本书的特点是叙述浅显易懂，并给出了丰富具体的例子，主干内容（不打星号的节）每节均配有适量习题，书末附有习题的提示或解答。
　　《点集拓扑与代数拓扑引论/21世纪数学规划教材·数学基础课系列》可作为综合大学、高等师范院校数学系的拓扑课教材，也可供有关的科技人员和拓扑学爱好者作为课外学习的入门读物。

内页插图

目录

引言
拓扑学的直观认识
预备知识
集合论的公理系统

第一章 拓扑空间与连续性
1.1 拓扑空间
1.2 拓扑空间中的一些基本概念
1.3 集合的基数和可数集
1.4 连续映射与同胚
1.5 乘积空间
1.6 子空间
1.7 商映射与商空间
1.8 商空间的更多例子

第二章 常用点集拓扑性质
2.1 可数公理
2.2 分离公理
2.3 Urysohn度量化定理
2.4 连通性
2.5 道路连通性
2.6 紧致性
2.7 度量空间中的紧致性
2.8 维数

第三章 闭曲面的拓扑分类
3.1 拓扑流形
3.2 单纯复形
3.3 闭曲面的分类
3.4 Euler示性数
3.5 可定向性
3.6 同调和Betti数

第四章 基本群及其应用
4.1 映射的同伦
4.2 同伦等价
4.3 关于群的常用知识
4.4 基本群的定义
4.5 连续映射诱导的基本群同态
4.6 范畴和函子
4.7 有限表出群
4.8 Van Kampen定理
4.9 基本群的应用举例
4.10 Jordan曲线定理

第五章 复迭空间
5.1 群作用与轨道空间
5.2 纤维化与复迭映射
5.3 复迭空间的基本群
5.4 泛复迭空间的存在性
5.5 映射提升定理
5.6 复迭变换

名词索引
习题提示与解答
参考文献

前言/序言

　　引言

　　什么是拓扑？

　　在数学家的圈子以外，当被问到拓扑一词时，人们最有可能想到的，大概是计算机科学中提到的“拓扑”概念：当我们把许多计算机相互连接在一起构成网络时，会有很多种不同的连接方式，小到可以是一台服务器挂很多客户端的集中式网络，大到可以是很多子网络通过路由器连接在一起的网际网络，这些连接方式都被叫做网络拓扑．虽然计算机的型号性能和网络连接的速度质量可能有千差万别，但是当网络拓扑相同时，网络运行的基本原理和算法是相通的．反过来当网络拓扑不同时，计算机之间搜索位置和传送信息的方法则往往会有本质差别．

　　其实这个概念是从数学中借用过去的，不过在一定程度上，这种借用确实反映了拓扑学中一些最朴素最直观的想法．数学家发明拓扑的初衷，正是要去寻找这样的一些几何形状上的特征，它们虽然也都看得见摸得着，但是却比长度和角度等传统几何性质更加“本质”：这些特征不会因为研究对象的某些细节上的改变而发生改变．一个通俗（但是并不准确）的说法是：拓扑学研究的是一个对象在连续形变下保持不变的性质．

　　这种性质有吗？当然有．早在1736年，Euler（欧拉）解决K?nigsberg（哥尼斯堡）七桥问题的时候，就发现了一些这样的奇妙性质，并认为应该有一种“关于相对位置的几何”来专门研究此类古典几何无法解释的奇妙性质．这就是拓扑学的起源．Euler称“位置几何”这个词源于Leibniz（莱布尼茨）．近年来人们对数学史的研究发现，Leibniz的想法可能来源于比他更早的Descartes（笛卡尔）的一篇未发表的手稿．

　　Gauss（高斯）和Maxwell（麦克斯韦）出于研究电磁学的目的，也都先后思考过关于位置几何的问题．不过“拓扑”这个词却是Gauss的学生Listing从希腊文中表示位置的词τοπο?（topos）和表示原理的词λ?γο?（logos）造出来的．1847年，Listing发表了著名的论文《VorstudienzurTopologie》（关于拓扑学的初步研究），这就是历史上的第一篇关于拓扑学的数学论文．

　　当然，真正实用的拓扑学还要等到1874年Cantor（康托尔）发明集合论之后才算开始，因为集合的语言才是表达拓扑思想最合适的语言．沿着这条线索发展出来的，研究最一般的集合上的拓扑的学科，被称为点集拓扑学（point-settopology）或一般拓扑学（generaltopology）．

　　另一方面，对于一些结构比较好的拓扑空间，来自代数和微分方程的思想和方法则可以发挥巨大作用．在1895年Poincaré（庞加莱）发表了一篇长达一百多页的著名论文《AnalysisSitus》（位置分析），这篇论文包含了很多创造性的新思想，或者说提出了一系列重要的、有待严格证明的研究方法和结论，并在此后三十年间主导了拓扑学界的大部分研究．这些想法被发展起来后，就形成了今天的代数拓扑学（algebraictopology）和微分拓扑学（differentialtopology）．

　　有趣的是，Poincaré的工作导致后来的很多数学家都习惯用“位置分析”或“位置几何”称呼这个学科，拓扑学（topology）这个名称直到二十世纪三十年代才开始被数学界普遍使用．

　　国内的第一本拓扑书是江泽涵教授在抗战时期翻译的一本德文教材．最初他把这门学科称为“形势几何学”，后来他取了一个具有延伸扩展之意的“拓”字，又取了一个具有拍打挤压之意的“扑”字，合起来既接近西文的发音又提示了这门学科的特点，即它关心的是几何形体在连续形变下保持不变的性质，这样才将该学科的中文名称正式确定为“拓扑学”．

　　拓扑学的直观认识

　　为了能够让大家初步理解拓扑学都研究些什么，让我们拿欧氏几何来对比一下．所谓的欧氏空间，无非是一个点集附加上一些额外的信息．每一套完整的附加信息称为一个欧氏结构，人们可以通过读取这些信息来判断点的共线或共面关系，以及计算距离、夹角、面积、体积等欧氏几何能计算的量．依现代几何学的理解来看，这些量中距离是最基础的，欧氏空间到欧氏空间的保持距离的映射称为等距变换，而欧氏几何所关心的，基本都是些不会被等距变换所改变的性质．

　　与之类似，拓扑空间（topologicalspace）也是一个点集附加上一套额外的信息．这套附加信息称为拓扑结构（topologicalstructure），它的主要作用则是帮助我们定义连续性（或者说把“上的连续函数”这一概念推广到一般的集合上去）．拓扑空间到拓扑空间的保持连续性定义方式不变的映射称为同胚（homeomorphism），而拓扑学研究的，正是那些在同胚下保持不变的性质，即拓扑性质（topologicalproperty）．下表列出了两者的类似之处．

　　概念

　　特点

　　概念

　　特点

　　欧氏空间

　　具有欧氏结构

　　拓扑空间

　　具有拓扑结构

　　欧氏结构

　　用于刻画距离

　　拓扑结构

　　用于刻画连续性

　　等距变换

　　保持距离不变

　　同胚

　　保持连续性不变

　　欧氏性质

　　等距变换下不变

　　拓扑性质

　　同胚下不变

　　“保持长度不变地把一个图形变到另一个图形”是一种很容易理解的操作，但是“保持连续性定义方式不变地把一个空间变到另一个空间”是一种什么样的操作呢？考虑闭区间，按照数学分析中学过的标准方式定义连续性．很显然这条线段可以进行收缩或者拉伸，然后在新得到的空间中按相应方式（而不是数学分析中的标准方式）定义连续性．我们还可以在线段不同的部位进行不同程度的局部收缩和拉伸，甚至是弯曲，只要变形不剧烈，都不难在得到的空间上相应地定义连续性．这些变形都是同胚的例子，而且正因为有这些例子，科普文章中经常出现的一种关于拓扑学的通俗（但并不准确）的解释就是：拓扑学专门研究几何形体的那些在连续形变下不会被改变的性质．

　　下面让我们通过几个具体的例子来体会一下，会有些什么样的性质是在连续形变下不发生改变的．当然，这里入选的拓扑性质都是一些早期的初等例子，证明也不求严格，只是为了找找感觉．更深入的例子要等我们正式定义了拓扑结构之后才能讨论．

　　K?nigsberg七桥问题（K?nigsbergbridgeproblem）这个问题被公认为现代图论及拓扑学的开端．K?nigsberg（哥尼斯堡）是条顿骑士团在中世纪建立的一个古老的城市，后来一直是东普鲁士的首府，不过现在归属于俄罗斯，称为Калинингрáд（Kaliningrad）．著名的K?nigsberg七桥问题是：流经该城的Pregel河上有七座桥（参见图1），能否设计一条散步的路线，使得在一次散步中恰好可以经过每座桥各一次？

　　1736年，Euler在他的论文《Solutioproblematisadgeometriamsituspertinentis》（一个关于位置几何的问题的解）中对该问题作出了完美的解答．答案是不能，理由如下．

　　K?nigsberg被河流分割成了城南、城北、城东和中央区域四个地理区域，如图1所示．假如满足要求的散步路线存在，那么对于路线起终点所在区域之外的每个区域，与之相连的桥一定恰好有偶数座，因为每次经过该区域都需要一座进来的桥和一座离开的桥．但实际上四个区域都只和奇数座桥相连，这就导出了矛盾．□

　　在这篇论文中Euler对K?nigsberg的地形图进行了一个重要的变形，把它变成了一个由顶点（vertex）以及连接顶点的边（edge）构成的几何结构，称为图（graph）．被河流分开的每个区域被收缩成了一个点，而每座桥则被拉长拉细成了一条弧线．显然K?nigsberg七桥问题的解法也可以推广到一般的图上，用来回答一个图能不能被“一笔画出”的问题．

　　一个图上如果有一个顶点和边交替出现的序列

　　V1,e1，V2，e2……,Vn

　　（要求第一个和最后一个都是顶点），使得每条边的两个端点恰好是和，并且的每条边在这个序列中恰好出现一次，则称这个序列为图的一条Euler路径（Eulerianpath）．于是“能被一笔画出”就可以数学上很严格地解释成“存在Euler路径”．虽然是否存在Euler路径也是一个关于几何图形的问题，但是却和古典几何所在意的那些事情（比如边的长度以及边是如何弯曲的等等）都完全无关．Euler论文标题中的“位置几何”一词正是想表达此意．对于一个图来说，“是否存在Euler路径”就是一个拓扑性质．

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