　　《普通高等教育“十一五”***规划教材：数学物理方程（第2版）》根据编者在中国科学技术大学多年的教学经验编写而成，通过对三类典型方程的讨论，介绍求解偏微分方程定解问题的通解法，分离变量法，积分变换法，基本解方法和变分方法，以及相关的固有值问题，特殊函数和广义函数简介。《普通高等教育“十一五”***规划教材：数学物理方程（第2版）》还讨论了一阶线性和拟线性偏微分方程的特征线概念和求解方法。对涉及的数学理论，《普通高等教育“十一五”***规划教材：数学物理方程（第2版）》重在理解和应用。全书材料丰富，结构清晰，层次分明，便于不同需求的读者使用。
　　本书适合于高等院校理工科非数学系本科生及有关科研、工程技术人员使用。

作者简介

季孝达, 中国科学技术大学教授，上海加定人氏，长于苏州，1966年毕业于北京大学数学力学系数学专业。　　毕业于革命期间，曾在煤矿劳动锻炼多年，1977年春进入中国科学技术大学数学系工作至今。期间曾去意大利罗马大学物理系进修和访问。写作教材两部，均为国/家/级规划教材。

第二版前言
第一版前言
第1章偏微分方程定解问题
1.1 三个典型方程的导出
1.1.1 弦的横振动
1.1.2 热传导问题
1.1.3 静电场
1.2 定解问题及其适定性
1.2.1 通解和特解
1.2.2 定解条件
1.2.3 定解问题及其适定性
1.3 一阶线性（拟线性）偏微分方程的通解法和特征线法
1.3.1 两个自变量的一阶线性偏微分方程
1.3.2 n个自变量的一阶线性偏微分方程（n≥2）
*1.3.3 一阶拟线性偏微分方程
1.4 波动方程的行波解
1.4.1 一维波动方程的通解和初值问题的达朗贝尔（d’Alembert）公式
1.4.2 半直线上的问题——延拓法
1.4.3 中心对称的球面波
1.5 二阶线性偏微分方程的分类和标准式
1.5.1 特征方程和特征线
1.5.2 方程的分类、化简和标准形
1.6 叠加原理和齐次化原理
1.6.1 线性叠加原理
1.6.2 齐次化原理（冲量原理）
习题1

第2章分离变量法
2.1 两个典型例子
2.1.1 两端固定弦的自由振动
2.1.2 圆柱体稳态温度分布
2.2 一般格式,固有值问题
2.2.1 一般格式
2.2.2 固有值问题的施图姆一刘维尔（Sturin-Liouville）定理
2.2.3 例题
2.3 非齐次问题
2.3.1 齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题
2.3.2 一般的非齐次混合问题
2.3.3 非齐次稳定方程的边值问题
习题2

第3章特殊函数及其应用
3.1 正交曲线坐标系下的变量分离
3.1.1 Helmholtz方程在直角坐标系下的变量分离及高维Fourier展开
3.1.2 Helmholtz方程在柱坐标系下的变量分离及Bessel方程的导出
3.1.3 Helmholtz方程在球坐标系下的变量分离及Legendre方程的导出
3.2 常微分方程的幂级数解
3.2.1 二阶线性常微分方程的解析理论
3.2.2 Legendre方程的幂级数解及Legendre函数
3.2.3 Bessel方程的广义幂级数解及Bessel函数
3.3 Legendre函数
3.3.1 Legendre多项式的表示和性质
3.3.2 Legendre方程的固有值问题及正则奇点情况下的S-L定理
3.3.3 轴对称Laplace方程球面边值问题
3.3.4 伴随Legendre方程和伴随Legendre函数
3.3.5 一般情形下Laplace方程球面边值问题及球函数
3.4 Bessel函数
3.4.1 Bessel函数的表示和性质
3.4.2 Bessel方程的固有值问题
3.4.3 圆柱形区域上的混合问题和边值问题,虚变量Bessel函数
3.4.4 球Bessel函数及其应用
*3.4.5 可以化为Bessel方程的方程
习题3

第4章积分变换法
4.1 Fourier变换法
4.1.1 Fourier变换
4.1.2 用Fourier变换求解无界区间上的定解问题
4.1.3 Fourier正弦、余弦变换和半无界区间上的定解问题
4.1.4 高维问题
4.2 Laplace变换法
4.2.1 Laplace变换
4.2.2 用15aplace变换求解发展方程的定解问题
*4.3 一般积分变换简介
4.3.1 分离变量法和积分变换法
4.3.2 一般积分变换原理和其他积分变换
习题4

第5章基本解方法
5.1 δ函数,广义函数简介
5.1.1 δ函数和广义函数
5.1.2 δ函数和广义函数的性质和运算
5.1.3 高维δ函数和广义函数
5.2 Lu=0型方程的基本解
5.2.1 基本解和解的积分表达式
5.2.2 基本解的求法
5.3 边值问题的Green函数法
5.3.1 场位方程边值问题的Green函数及解的积分公式
5.3.2 Green函数的求法
*5.3.3 Helmholtz方程边值问题及其Green函数
5.4 初值问题的基本解方法
5 4.1 utt=Lu型方程初值问题的基本解
5.4.2 utt=Lu型方程初值问题的基本解
5.4.3 热传导方程的初值问题
5.4.4 波动方程的初值问题
*5.4.5 混合问题的Green函数法
*5.5 广义函数
5.5.1 广义函数的概念:
5.5.2 ε（R”）,ψ（R”）,D（R”）与ε’（Rn）,ψ’（R”）,D’（Rn）
5.5.3 广义函数和广义函数极限的几个例子
5.5.4 广义函数的局部性质及广义函数的支集
5.5.5 广义函数的某些简单运算
5.5.6 广义函数的导数和对参变数的导数
5.5.7 广义函数的FT和F-1T
5.5.8 广义函数的卷积
习题5

第6章微分方程的变分方法
6.1 泛函和泛函极值
6.1.1 泛函和泛函极值
6.1.2 几个例子
6.2 泛函的变分,Euler方程和边界条件
6.2.1 变分法基本引理
6.2.2 一元函数泛函的变分、Euler方程和边界条件
6.2.3 二元函数泛函和多元函数泛函的情况
6.2.4 混合积分型泛函的情况
6.2.5 两个一元函数（y,（x）,z（x））的泛函的情况
6.2.6 泛函中包含二阶导数的情况
6.2.7 两个二元函数泛函的情况
6.2.8 Hamilton原理和例子
6.2.9 活动区间问题和横截条件
6.3 变分问题的直接法及微分方程的变分方法
6.3.1 变分问题的直接法
6.3.2 微分方程的变分方法
6.3.3 微分方程的广义解
6.4 泛函的条件极值
6.4.1 条件极值
6.4.2 等周问题
6.4.3 等周问题和自共轭微分方程的固有值问题
习题6
习题参考答案
参考文献

精彩书摘

本章作为开篇,首先建立物理问题的数学模型,导出三类典型方程的定解问题;继而介绍求一阶线性(拟线性)偏微分方程和某些二阶线性偏微分方程通解的方法,并从数学上对二阶线性偏微分方程分类化简,进一步认识三类典型方程;最后将给出处理一般线性问题的基本原理.
三个典型方程的导出
数学物理研究问题的第一步是将一个物理问题转化成数学问题,即建立数学模型.
我们将从几个具体问题出发,导出三类典型方程,从中了解建立数学模型的一般步骤,认识三类方程的广泛物理背景.
弦的横振动
一根弦在内部张力作用下处于平衡位置,某个微小扰动引起部分质点的位移,内部张力又使邻近的部分随之产生位移,形成称为波的运动.要将这样一个物理过程用数学式子描述,首先要“去粗存精”,对弦及其运动作“理想化”假设,即建立物理模型.

假设弦均匀细长,从而其横截面可忽略而视作线,线密度为常数.又设弦柔软弹性,可任意弯曲,张力满足胡克定律.弦的运动在同一平面进行,每个质点的位移都是横向的,即垂直于弦的平衡位置,且绝对位移和相对位移都很小.这些假设是推导方程过程中自然提出的,在物理问题中也是合理的.

前言/序言

“数学物理方程”是以物理学和工程技术中提出的偏微分方程为主要研究对象,介绍求线性偏微分
方程精确解方法的基础数学课程.中国科学技术大学历来重视学生的数理基础，建校以来一直把“数学物理方程”
作为物理、力学、电子类学生的必修课，且主要由数学系负责开设.最初的讲义由已故的曾肯成先生亲自执笔,
确定了课程的主要内容和结构.改革开放以来,陆续有严镇军、张鄂堂、薛兴恒等教授编写的校内讲义和正式
出版的教材问世,传统上都比较重视数学思想、数学理论的介绍和扎实的基本功训练.特别是严镇军教授的教材,
已在中国科学技术大学沿用20多年,除了经典的分离变量、积分变换方法外,在同类教材中较早地引进了广义函数概念和
基本解方法.多年来的实践证明这样的教学要求使学生有较强的后劲,特别是
从事研究工作的毕业生更感到受益终身.

但是相对于信息时代科学技术的迅猛发展,我们20多年基本未变的教学内容、手段亟待重新审视和
改进.另一方面,学制的缩短,招生人数的增加,毕业生就业渠道的多样化,也需要我们的教学作相应的变化.中国科学技术大学的
校、院、系三级领导都对此事非常重视,近几年来多次召开公共数学教学的研讨会,并提出了重新编写教材的要
求.我们受系领导委托,分工 “数学物理方程”的编写.三年来,在我们多年教授该课程的基础上,经过调研讨论
和教学实践中的探索,逐渐形成了这本教材.

本书的编写,基于公共基础数学课程的定位,确定了“以经典方法为基础,适当融入现代内容;继承科大
理论坚实的传统,适当加强应用”的原则.具体处理如下：

1. 基本保持中国科学技术大学原有教材的内容和结构.由于变分方法在建立数学模型和求解定解问题两个方面的重
要作用,我们将它列入正文.又由于前期数学课程的压缩,在本教材中增添了一阶线性(拟线性)偏微分方程的求解
,加强了常微分方程的有关内容.

2. 将教材分出层次,以适应不同系别不同学生的要求.排列在各章前面的内容是课程的基本要求,以介
绍各种具体解法及解法的思想为主.带$*$号的节、小节为选讲内容,一般是进一步的数学理论和物理应用.穿插在各
章节中的楷体小字为阅读材料,大多是基本内容的延伸及从经典问题向近代问题开的窗口,受篇幅限制,仅点到为止,希望引起部分
学生的兴趣、关注和思考.

3. 适当加强了课程与物理的联系,包括典型例子的物理背景,重要公式的物理解释,及数学用语与物理
用语的联系等.

希望这样的处理能使教师有较大的发挥空间, 学生有较大的选择余地.

由于编者学疏才浅，编写过程中颇有力不从心之感．虽谨慎从事，缺点错误仍在所难免,恳请各位读者
指教指正,以期改进.

严镇军教授的同名教材是本书的重要参考,本书的编写得到严教授的大力支持和帮助.李翊神教授在百忙
中审阅了全稿,提出宝贵意见.成稿过程中还得到张扬、贺劲松等多位物理、数学教授的热情帮助
和数学系、教务处领导的全力支持,在此一并致谢．
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