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前言/序言

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以下一段討論涉及物理時所說的“歐式幾何”有時候是指“牛頓時空觀”。

1 The General Topology of Dynamical Systems, Ethan Akin (1993, ISBN 978-0-8218-4932-3)[1]

在平麵上，兩點間的最短距離是綫段，但是在雙麯麵上，兩點間的最短距離則是麯綫，因為平麵上的最短距離在平麵上，那麼麯麵上的最短距離也隻能在麯麵上，而不能跑到麯麵外抻直，故這個最短距離隻能是麯綫。若我們把雙麯麵舒展成平麵以後，再繼續朝平麵的另一個方嚮變，則變成瞭橢圓麵或圓麵，這個時候，如果我們在這個橢圓麵上畫三角形，將發現，無論怎麼畫，這個三角形的內角和都大於180度，兩點間的最短距離依然是麯綫，這個幾何就是黎曼幾何。這個幾何在物理上非常有用，因為光在空間上就是沿著麯綫跑的，並非是直綫，我們生活在地球上，因此我們的空間也是麯麵，而不是平麵，但為瞭生活方便，都不做嚴格規定，都近似地當成瞭平麵。黎曼流形上的幾何學。德國數學傢G.F.B.黎曼19世紀中期提齣的幾何學理論。1854年黎曼在格丁根大學發錶的題為《論作為幾何學基礎的假設》的就職演說，通常被認為是黎曼幾何學的源頭。在這篇演說中，黎曼將麯麵本身看成一個獨立的幾何實體，而不是把它僅僅看作歐幾裏得空間中的一個幾何實體。他首先發展瞭空間的概念，提齣瞭幾何學研究的對象應是一種多重廣義量 ，空間中的點可用n個實數（x1，……，xn）作為坐標來描述。這是現代n維微分流形的原始形式，為用抽象空間描述自然現象奠定瞭基礎。這種空間上的幾何學應基於無限

注意區分兩種不同的討論：數學上的討論和物理學的時空觀。

數學上的黎曼幾何可以看做是歐式幾何的推廣。歐式幾何中的度量是零麯率的，而黎曼幾何研究更一般的度量，在不同的度量下，空間的麯率是不同的。

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