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內容簡介

　　 《大學數學》是普通高等教育“十一五”國傢規劃教材“大學數學”係列教材之一，在上海交通大學高等數學課程多年教學實踐的基礎上編寫而成。
《大學數學》注重微積分的思想和方法，重視概念和理論的闡述與分析。結閤教材內容，適當介紹一些曆史知識，指齣微積分發展的背景和綫索，以提高讀者對微積分的興趣和瞭解。重視各種數學方法的運用和解析，如分析和綜閤法、類比法、特殊到一般法、數形結閤法等等。探索在微積分中適度滲入一些現代數學的思想和方法。
《大學數學》內容包括函數、極限與連續、導數與微分、微分中值定理與導數的應用、積分、微分方程等6章。在內容的安排和闡述上力求樸素明瞭，深入淺齣。例題精心選擇，類型豐富，由易到難，解法中融入各種數學基本方法且加以點評，有助於使讀者領會和掌握各種數學思維方法，也有利於讀者自學。同時配以豐富的習題，易難結閤，幫助讀者通過練習鞏固和提高微積分的知識和方法。
《大學數學》適用於高等學校理工類各專業，也可供工程技術人員參考。

內頁插圖

目錄

前言
第1章 函數
1.1 實數集
1.1.1 集閤
1.1.2 邏輯符號
1.1.3 有理數集和實數集
1.1.4 區間和鄰域
1.1.5 不等式
1.1.6 數集的界
1.2 函數
1.2.1 函數的概念
1.2.2 函數的運算
1.2.3 函數的簡單性質
1.2.4 初等函數
1.2.5 雙麯函數
1.2.6 由隱方程、參數方程或極坐標方程錶示的函數
1.2.7 函數圖形的變換
習題1

第2章 極限與連續
2.1 數列的極限
2.1.1 數列
2.1.2 數列極限的定義
2.1.3 無窮小和無窮大
2.2 數列極限的性質和運算法則
2.2.1 數列極限的性質
2.2.2 數列極限的運算法則
2.3 數列極限存在的判彆法
2.3.1 夾逼定理
2.3.2 單調有界數列極限存在定理
2.4 函數的極限
2.4.1 函數極限的定義
2.4.2 函數極限的性質、運算法則和判彆法
2.4.3 兩個重要的函數極限
2.4.4 無窮小的比較
2.5 函數的連續性
2.5.1 函數連續的定義
2.5.2 函數間斷點的分類
2.5.3 連續函數的運算
2.5.4 初等函數的連續性
2.6 閉區間上連續函數的性質
習題2

第3章 導數與微分
3.1 導數的概念
3.1.1 典型例子
3.1.2 導數的定義
3.1.3 可導與連續的關係
3.2 微分
3.2.1 微分的概念
3.2.2 微分與導數的關係
3.2.3 微分的幾何意義
3.2.4 微分應用於近似計算及誤差估計
3.3 導數與微分的運算法則
3.3.1 導數的四則運算法則
3.3.2 復閤函數的導數
3.3.3 反函數的導數
3.3.4 基本導數和微分公式錶
3.4 隱函數與參數方程求導法
3.4.1 隱函數的導數
3.4.2 由參數方程所確定的函數的導數
3.5 導數概念在實際問題中的應用
3.5.1 一些學科中的變化率問題舉例
3.5.2 相關變化率
3.6 高階導數
3.6.1 高階導數的概念
3.6.2 高階導數運算法則和Leibniz公式
3.6.3 隱函數的高階導數和參數方程錶示的函數的高階導數
習題3

第4章 微分中值定理與導數的應用
4.1 微分中值定理
4.1.1 Fermat定理
4.1.2 Rolle定理
4.1.3 Lagrange定理
4.1.4 Cauchy定理
4.2 LHospital法則
4.3 Taylor公式及其應用
4.3.1 Taylor定理
4.3.2 一些簡單函數的Maclaurin公式及其應用
4.4 利用導數研究函數性態
4.4.1 函數的單調性
4.4.2 函數的極值和最值
4.4.3 函數的凸性與拐點
4.4.4 函數圖形的描繪
4.5 平麵麯綫的麯率
4.5.1 麯綫弧長概念及其微分
4.5.2 麯率和麯率公式
4.6 方程的近似解
4.6.1 二分法
4.6.2 Newton切綫法
習題4

第5章 積分
5.1 定積分的概念
5.1.1 典型實例
5.1.2 定積分的定義
5.1.3 函數可積的條件
5.2 定積分的性質
5.2.1 定積分的運算性質
5.2.2 積分中值定理
5.3 微積分基本定理
5.3.1 原函數與變上限積分
5.3.2 Newton．Leibniz公式
5.4 不定積分
5.4.1 不定積分的概念和性質
5.4.2 基本積分錶
5.4.3 第一換元法
5.4.4 第二換元法
5.4.5 分部積分法
5.4.6 幾類常見函數的不定積分
5.5 定積分的計算
5.5.1 定積分的換元法
5.5.2 定積分的分部積分法
5.5.3 定積分的綜閤例題
5.5.4 定積分的近似計算
5.6 定積分的應用
5.6.1 微元法
5.6.2 定積分的幾何應用
5.6.3 定積分的物理應用
5.7 反常積分
5.7.1 無窮區間上的反常積分
5.7.2 無界函數的反常積分
習題5

第6章 微分方程
6.1 微分方程的基本概念
6.2 一階微分方程
6.2.1 可分離變量方程
6.2.2 齊次微分方程和其他可化為可分離變量形式的方程
6.2.3 一階綫性微分方程
6.3 某些可降階的高階微分方程
6.4 綫性微分方程解的結構
6.4.1 二階綫性齊次微分方程解的結構
6.4.2 二階綫性非齊次方程解的結構
6.5 常係數綫性微分方程
6.5.1 常係數綫性齊次方程
6.5.2 常係數綫性非齊次方程
6.5.3Euler方程
6.6 微分方程的數值解
6.7 微分方程的應用舉例
習題6
習題參考答案

精彩書摘

　　極限是微積分的理論基礎，也是貫穿微積分的基本研究方法。
　　極限的思想最早可以追溯到古希臘Archimedes的“窮竭法”和我國魏晉時代劉徽的“割圓術”，即用不斷增加邊數的多邊形麵積來近似計算圓或者封閉麯綫所圍圖形的麵積。Newton（1642-1727）在建立微積分時給齣瞭極限理論的雛形，但發展這理論的主要是法國數學傢Cauchy（1789-1857）和捷剋數學傢Bolzano（1781-1848），而德國的Weierstrass（1815-1897）進一步改進瞭他們的工作，他給齣瞭現在所采用的極限嚴格定義，完善瞭極限理論的嚴密性，這纔真正奠定瞭微積分乃至近代分析數學的基礎。
　　本章首先介紹數列和函數極限的定義、性質和運算法則以及存在判彆準則。在這過程中討論求極限的各種方法，其次介紹與函數極限密切聯係的另一重要概念——函數連續性，並對在閉區間上連續的函數的特殊性質作一些討論。
　　當然它們接近0的方式有所不同：數列（1）是正項數列，它單調減少，越來越接近0；數列（2）並不單調，它在0的左右擺動，但是越來越接近0；數列（3）則不能用“越來越接近0”來描述，事實上它的有些項就是0，而這些項以後卻仍有不為0的項，但隨著n的無限增大，那些不為0的項將越來越接近0，所以，xn仍然可以無限接近0。對這三個數列，我們說它們的極限為0。
　　然而，“無限增大”和“無限接近”畢竟是一種描述性語言，為瞭用更確切的數學術語來錶達極限的意義，我們再通過數列（1）來分析一下數列無限接近一個定常數的含義。
　　有瞭極限理論作為基礎，我們可以展開討論微積分的主體內容——微分學和積分學。
　　促使微積分産生的重要因素是解決17世紀的一些主要科學問題，其中包括瞭求麯綫的切綫、求直綫運動的速度以及求函數的最大最小值。這些問題的解決直接聯係著導數概念的形成及其求法，並進而導緻微積分的創立。在這方麵法國的R.Descartes（1596-1650）和P.de Fermat（1601-1665）、英國的I.Barrow（1630-1677）和一大批數學傢進行瞭探索並作齣過貢獻，而毫無疑問I.Newton（1642-1727）和G.W. Leibniz（1646-1716）位於這貢獻的頂峰。
　　導數和微分是微分學中的最基本的概念。高等數學的主要任務之一就是研究函數的各種性態以及函數值的計算或近似計算，導數和微分是解決這些問題的有效工具。本章先從幾何、物理及經濟等方麵的問題引齣函數的導數概念以及與之密切相關的微分概念，進而給齣導數與微分的計算法則，在此基礎上進一步討論微分學的理論和應用。
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