目錄
序
譯者簡介
前言
第一部分 數 字
第1章 自然數 /2
1.1 自然數的公理化定義 /3
1.2 使用皮亞諾歸納法 /6
第2章 整數 /8
2.1 什麼是整數 /8
2.2 自然地構造整數 /10
第3章 實數 /14
3.1 實數的非正式定義 /14
3.2 實數的公理化定義 /17
3.3 實數的構造性定義 /20
第4章 無理數與超越數 /23
4.1 什麼是無理數 /23
4.2 聚焦無理數 /24
4.3 無理數和超越數有什麼意義,為什麼它們很重要 /26
第二部分 有趣的數字第5章 零 /30
5.1 零的曆史 /30
5.2 一個令人生厭的睏難數字 /33
第6章 e:不自然的自然數 /36
6.1 無處不在的數字 /36
6.2 e的曆史 /38
6.3 e有什麼含義 /39
第7章 φ:黃金比例 /41
7.1 什麼是黃金比例 /42
7.2 荒唐的傳奇 /44
7.3 黃金比例真正存在的地方 /46
第8章 i:虛數 /48
8.1 i的起源 /48
8.2 i是做什麼的 /50
8.3 i有什麼意義 /51
第三部分 書 寫 數 字
第9章 羅馬數字 /56
9.1 進位係統 /56
9.2 這場混亂來自哪裏 /58
9.3 計算很簡單(但是算盤更簡單) /59
9.4 傳統的過失 /63第10章 埃及分數 /66
10.1 一場4000年前的數學考試 /66
10.2 斐波那契的貪婪算法 /67
10.3 有時美勝過實用 /69第11章 連分數 /70
11.1 連分數簡介 /71
11.2 更乾淨,更清晰,純粹是為瞭好玩 /73
11.3 作計算 /75
第四部分 邏 輯
第12章 斯波剋先生與不符閤邏輯 /80
12.1 什麼是真正的邏輯 /82
12.2 一階謂詞邏輯 /83
12.3 展示一些新東西 /88
第13章 證明、真理和樹 /93
13.1 用樹來建立簡單的證明 /94
13.2 零基礎的證明 /96
13.3 傢族關係的例子 /98
13.4 分支證明 /100
第14章 使用邏輯編程 /103
14.1 計算傢族關係 /104
14.2 使用邏輯計算 /109
第15章 時序推理 /118
15.1 隨時間變化的命題 /119
15.2 CTL擅長什麼 /124
第五部分 集 閤
第16章 康托爾對角化:無窮不僅是無窮 /128
16.1 樸素的集閤 /128
16.2 康托爾對角化 /132
16.3 不要保持簡單和直接 /136
第17章 公理化集閤論:取其精華,去其糟粕 /139
17.1 ZFC集閤論公理 /140
17.2 瘋狂的選擇 /147
17.3 為什麼 /150
第18章 模型:用集閤作為搭建數學世界的積木 /151
18.1 構建自然數 /152
18.2 從模型到模型:從自然數到整數,以及超越 /154
第19章 超限數:無限集的計數和排序 /158
19.1 超限基 /158
19.2 連續統假設 /160
19.3 無限何在 /161
第20章 群論:用集閤尋找對稱性 /164
20.1 費解的對稱性 /164
20.2 不同的對稱性 /168
20.3 走入曆史 /170
20.4 對稱性之源 /172
第六部分 機械化數學
第21章 有限狀態機:從簡單機器開始 /178
21.1 最簡單的機器 /178
21.2 實際使用的有限狀態機 /182
21.3 跨越鴻溝:從正則錶達式到機器 /185
第22章 圖靈機 /192
22.1 添加磁帶讓一切都變得不同 /193
22.2 變元:模仿機器的機器 /198
第23章 計算的核心與病態 /204
23.1 BF:偉大的、光榮的、完全愚蠢的 /206
23.2 圖靈完備還是毫無意義 /209
23.3 從莊嚴到荒謬 /210
第24章 微積分:不是那個微積分,是λ演算 /213
24.1 寫λ演算:幾乎就是編程 /214
24.2 求值:運行 /218
24.3 編程語言與λ策略 /221
第25章 數字、布爾運算和遞歸 /224
25.1 λ演算是圖靈完備的嗎 /224
25.2 計算自身的數字 /225
25.3 決定?迴到Church /228
25.4 遞歸 /231
第26章 類型,類型,類型:對λ演算建模 /238
26.1 類型簡介 /239
26.2 證明 /244
26.3 類型擅長什麼 /246
第27章 停機問題 /248
27.1 一個傑齣的失敗 /249
27.2 是否停機 /251
參考文獻 /256
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收起)
一本數學啓濛書!
一場彆開生麵的數學之旅!
如果你曾經對黃金比例、圖靈機或者為什麼圓周率永遠算不完感到好奇,那麼這本書就是為你準備的.....
數學是美麗的,它既有趣又令人興奮,同時也很實用。本書探討瞭兩韆多年的數學發展曆程中一些偉大的突破和有趣的話題:從埃及分數到圖靈機,從數字的真正意義到證明樹、群對稱和機械化計算。如果你想知道高中幾何課中難以完成的證明背後到底隱藏著什麼,或者什麼限製瞭計算機的能力,本書將會帶你找到答案。
作者從數字的基礎開始帶你開啓美麗的數學之旅,首先通過探討一些有趣的和奇怪的數字,如整數、自然數、有理數、超越數、零、黃金比例、虛數、羅馬數字、埃及分數和連分數,帶你領略數字的趣味性、數字之美和數字之用,然後深入研究現代邏輯,包括綫性邏輯、Prolog語言等,以及現代集閤論和現代機械化計算的進展與悖論,帶你感受數學的邏輯性和計算性。