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王树和 著

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出版社： 科学出版社

ISBN：9787030435798

商品编码：29692375198

包装：平装

出版时间：2015-04-01

基本信息

书名：数学志异(修订版)

定价：35.0元

作者：王树和

出版社：科学出版社

出版日期：2015-04-01

ISBN：9787030435798

字数：183000

页码：

版次：1

装帧：平装

开本：16开

商品重量：0.4kg

编辑推荐

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《数学志异》读者对象为中学生、大学生、中小学教师及数学T作者

内容提要

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《数学志异》主要内容包括数学悖论，次、第二次、第三次数学危机，哥德尔不可判定命题、混沌等非平凡问题；离散数学当中的有趣问题；数学思想与数学哲学当中的敏感问题等。如将来数学还会产生悖论与危机吗？尚未解决的数学难题是否为不可判定命题？既然是确定性系统为什么会产生紊动？愚公移山式的穷举法为什么可能无效？牛顿创立的微积分能得100分吗？数学家是些什么人？数学定理为什么要证明？等等。《数学志异》集知识性、思想性和趣味性为一体，说理直观严密，通俗易懂，充分展示数学之美妙，之深刻

目录

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作者介绍

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文摘

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离散篇
离散数学是数学当中美、妙、有人缘也有难度的数学乐园和数学天堂。
1.1神龟龙马，洛书河图
公元前2200年，我国商周时代的《易经》中载：大禹治伏水患之后，洛河上浮出一只巨型神龟，背驮如图1 1所示的“洛书”献给大禹，作为苍天对他治水有功造福百姓的奖励。这幅天书横看、竖看和斜看，每一组由黑点子与白点子合成，总点数皆为15。后来人们把此洛书翻译成如图1-2所示的一个所谓幻方。
所谓幻方，是由1，2，3， ，n2 -1，n2组成的一个数字方阵，每数恰在此阵中出现一次，且每行之和，每列之和和两条对角线上的数字之和皆相等。
1275年，我国宋代数学家杨辉把洛书形象地描写为：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺进，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足。”破译了洛书的玄机，见图1 3。
“九子斜排”是按箭头方向分别把1，2，3；4，5，6和7，8，9排成具有右下方走向的一排，三个斜排组成一个倾斜45。角的正方形阵。
“上下对易”，指1与9对换，1移入下空格，9移入上空格，使得正中的头部戴了一个9的帽子，正中低处穿了一双l字鞋，即“戴九履一”。
“左右相更”，指右边的3与左边的7对调，3移至左侧空格，7移至右侧空格。
至此造成一个四方阵，即“四维挺进”，又2与4分别在右上角（肩）与左上角，6与8分别在右下角（足）与左下角，即“二四为肩”“六八为足”。
杨辉的这种口诀中的关键词是“订2子斜排”“上下对易”和“左右相更”三句。图1 4和图1 5分别给出按杨辉口诀构作的5阶幻方和7阶幻方，任意奇数（大于3）阶的幻方皆可照此制作，但同阶幻方不是的，高阶幻方的个数非常之巨大，例如五阶幻方就有一千多万个！另外，杨辉口诀不适用于偶阶幻方，偶阶幻方的构作十分困难。
“对易“和“相更”时，移动的步数恰为幻方的阶数，例如图1 501
离散篇④
(a)中顶上的1下降7步至33的上方邻格内，图1-5 (a)中的9下降7步至33的下方邻格内，图1-5 (a)中的7左移7步至25的左侧邻格，等等。
洛书对应的幻方史称“神农幻方”。
《易经》上又云，为奖励大禹功绩，一匹龙马从黄河跃出，把如图1 6所示的一张“河图”赠予大禹。
图1- 6(b)是相应位置上“点子”的个数，不过4个10的意思是被虚线联络的10个黑点子视为分布在它们形成的正方形的四个顶处。这样，河图的数学含量就大了：
从中心5向右加上4等于有端的9；
从中心5向左加上3等于左端的8；
从中心5向上加上2等于上端的7；
从中心5向下加上l等于下端的6。
斜着看，7J-9—2J-IO J-4 =16，8+6—3+lO+1—14，9+6—4+10+1=15，8+7—2_--IO+3=15.
洛书和河图出自四千多年前中华民族之手，是世界组合数学的早成果，值得我们白豪；可惜它被后人神化，未能发展成系统的理论；中国几千年的封建君主统治，鼓励乃至强迫知识分子为皇帝歌功颂德，使大多数知识分子成为什么科学知识也没有，只会呼喊×××皇帝万岁的奴才，在这种社会背景之下，中国的许多本应的数学分支和组合数学一样，并没有发展起来。事实上，组合数学不仅是数学科学的重要分支，而且是信息产业和计算机科学的数学基础之一，现代数学教育和数学科研当中，必须给以足够的重视。
1.2 三只鸽子两个窝
三只鸽子出去觅食，晚上归巢柄息，它们共有两个窝，显然必有一个窝里至少住有两只鸽子，不然，即使每巢一只鸽子，还有一只鸽子不能回巢。一般而言，对于自然数n，n+1只鸽子佳在”个巢中，至少有一巢里不少于两只鸽子。
这一结论称为鸽笼原理或抽屉原理。
把m本书放入门个抽屉，m>粗，至少一个抽屉里放了多于本书，其中表示的整数部分。当m=n+1时，即n+l本书放入门个抽屉，至少一个抽屉里放不少于两本书。
事实上，若每个抽屉里放的书都不超过m本，则总的本数不超过m-l，与共有m本书矛盾。所以是有的抽屉里放了多于m-1本书。就是这么一个几乎不证白明的道理却能解千种难题，有万般应用。下面是一些应用鸽笼原理的生动实例。
①某军库每天需一个班保卫，保卫排有六个班，一周内至少有一个班出勤两天。
②13人中必有两人同一个月份Ll生。
③商店里有10双皮鞋放在货架上，有11位顾客同时来购鞋，售货员给每位顾客拿出一只鞋试穿，则顾客们手中必有两只鞋恰是一双。
④从{1，2， ，2000）中选1001个数，其中必有两个，一个是另一个的整数倍。
事实上，取出的每个数可表成2”“，粗是非负整数，“是奇数，故对1到2000的每个数，“是1000个奇数1，3，5． ．1999中的数，可见在所选的1001个数中，有两个数的奇数因数“是一样的，它们是2”-“和2”z“，不妨设粗2>粗l，则2”-a÷21“一2”z-nl，即后者能被前者除尽。
⑤茌正六边形内任放七个点，则至少有两点之间的距离小于或等于该正六边形外接网的半径。连接正六边形的三条对角线如图1 7，由鸽笼原理，在图1 7的六个三角形的某个上面必然有放置的七个点中的两个，它们的距离不大于正六边形外接网的半径。
⑥把m1+m2十 十m，，-州+1个球放人n个盒子，其中m，m， ，7。皆正整数，则下面”件事至少发生一件：个盒子中至少有m，个球，第二个盒子中至少有m球， ，第''个盒子中至少有m。值大于r-l时，mi，m：，事实上，如果m，事实上，若这n件事都不发生，则总球数不会超过(mi -l)+（m。-l）+ +（m。-l）一7T/l+7T/2+ +m。一n，而原来有球7T/l+7T/2+ +m。-n+1，矛盾。
⑦”（r-l）J-I个鸽子进入粗个窝，r是自然数，则至少一个窝里的鸽子不会少于r只。
⑧姐个自然数mi，m。， ，m。的平均 ，m。中至少有一个不小于r，r是自然数。i=l，2， ，加，则71+7T/2+ +m。<加r，与mi，m。， ，m，，的平均值大于r-l矛盾。
⑨任给定粗2+1个不等的实数组成的数列 “l，“2， ，“7 72+1
则此数列中至少存在由n+1个实数组成的单调递增或单调递减的子数列。
事实上，记m。是从“，开始长的单调递增子数列的长度，若存在某个m。≥n+1，则命题⑨已成立。否则，m，a。。> >∞。+．，若不然，例如a，．<“：：，而由a。开始的递增子列的长度m。-m，再把a，，接到此子列前面，则知m，，≥m，+1一m+1，与m，，一m矛盾。至此找到由n+1个数组成的递增子序列“，，，“22， 。
例如17个数组成的数列9，8，18，20.7.5.4.6.11. 15．10. 13. 12. 19. 17. 3， 14，由命题⑨，上述数列中有4J-1=5个数组成的单调子数列，事实上，5，6，11，15，19就是一个。20，7，5，4，3是另一个。

序言

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《数学志异》（修订版） 一个引人入胜的数学世界探险记 《数学志异》（修订版）并非一本普通的数学教材，它是一扇通往数学奇幻国度的神秘之门，一幅描绘数学世界鬼斧神工的壮丽画卷。本书以一种前所未有的视角，将那些隐藏在冰冷符号和抽象概念背后的生动故事、奇妙应用以及深刻哲学娓娓道来，旨在唤醒读者心中对数学最原始的好奇与热爱。作者以其深厚的学术功底和非凡的文学才情，将那些常人望而却步的数学难题，转化为一则则引人入胜的“志异”故事，让读者在轻松愉悦的阅读过程中，不知不觉地沉浸在数学的魅力之中。 穿越时空的数学传说 本书的第一部分，宛如一个穿越时空的数学探险。我们将跟随作者的笔触，重返古希腊的阳光海岸，聆听毕达哥拉斯学派对数的迷恋，感受他们如何将数字视为宇宙的终极奥秘。我们会走进古埃及的金字塔工地，探寻勾股定理在建筑奇迹中的应用，了解古人如何凭借朴素的数学智慧创造伟大的文明。我们还会拜访阿基米德，惊叹于他如何运用几何原理测量地球的周长，以及他在战争中展现出的惊人创造力。从欧几里得的《几何原本》中，我们能看到数学逻辑的严谨之美，它如何成为后来一切科学发展的重要基石。 随后，笔锋一转，我们抵达了充满神秘色彩的中世纪。在中国，我们惊叹于祖冲之如何以惊人的精度计算圆周率，又如何将秦九韶的“大衍求一术”发展成解决复杂问题的强大工具。在阿拉伯，我们见证了代数这门新学科的诞生，它如何摆脱了几何的束缚，为解决更抽象的问题提供了全新的视角。菲波那契数列的奇妙出现，将数学的踪迹延伸到了自然界中的螺旋、花瓣甚至海岸线的排列，展现了数学无处不在的规律性。 进入文艺复兴时期，数学的光芒更加耀眼。哥白尼的日心说，离不开天文学家对数学模型的精妙运用；伽利略的落体实验，则以精密的测量和数学公式证明了物理定律。笛卡尔的坐标系，如同一把钥匙，开启了代数几何的大门，将几何的直观与代数的计算完美结合，为后来的微积分奠定了基础。牛顿和莱布尼茨共同创立的微积分，更是数学史上的里程碑，它以“无穷”的力量，解决了许多经典力学和几何学中的难题，成为现代科学技术发展的灵魂。 “不可思议”的数学奇观 本书的第二部分，则深入探索那些令人惊叹、甚至可以说是“不可思议”的数学奇观。这里，我们将接触到一些超越日常直觉的数学概念。 例如，无穷的悖论。在现实世界中，“无限”似乎是一个遥不可及的概念，但在数学中，它却有着严谨的定义和丰富的内容。本书将通过各种生动的例子，如泽诺悖论的哲学思考，希尔伯特旅馆的奇幻故事，以及康托尔的集合论，向读者揭示无穷的“分层”和“大小”之别，让读者对这个看似矛盾的概念产生全新的认识。 然后，我们将踏入数论的神秘殿堂。素数的分布，如同一张随机却又充满规律的星空图，它的奥秘至今仍困扰着数学家。本书将介绍一些著名的数论猜想，如哥德巴赫猜想，以及与素数相关的各种奇妙性质，例如费马小定理、欧拉定理等，展现出数字之间令人着迷的内在联系。 接下来，我们还将领略到几何的奇幻维度。非欧几里得几何的出现，挑战了人们对空间的固有认知，它揭示了三角形内角和不一定等于180度的奇妙可能性，为爱因斯坦的相对论提供了重要的数学基础。分形几何的出现，则让我们看到了复杂性如何在简单的规则下产生，海岸线、雪花、闪电等自然现象的 fractal 特征，将数学的触角延伸到了混沌与无序的美丽之中。 概率论与统计学的奇妙融合，则将我们带入不确定性世界的探索。从掷骰子到基因的传递，概率无处不在。本书将解释概率如何帮助我们理解随机事件，预测未来趋势，并将在统计学中揭示大数据背后隐藏的规律，让读者看到数学如何指导我们做出更明智的决策。 数学的“未解之谜”与哲学思考 在《数学志异》（修订版）的第三部分，我们将目光投向那些尚未解决的数学难题，以及数学本身所蕴含的深刻哲学意义。 本书将挑选一些著名的未解之谜，例如黎曼猜想、P/NP问题等，用通俗易懂的语言介绍它们的背景、意义以及对数学和科学可能产生的深远影响。这些未解之谜，如同数学世界的珠穆朗玛峰，吸引着一代又一代的数学家前赴后继，它们的存在本身就展现了数学探索的无尽魅力。 此外，本书还将深入探讨数学与哲学之间的深刻联系。数学的抽象性是否反映了宇宙的终极真理？数学的普适性是否意味着存在一个独立于人类意识的数学现实？我们还会讨论数学公理系统的完备性与一致性问题，如哥德尔不完备定理所揭示的数学局限性，它让我们对知识的边界有了更深的理解。 数学作为一种思维方式，其严谨性、逻辑性和抽象性，对人类的认识世界和改造世界产生了不可估量的影响。本书将通过对数学发展史的回顾，以及对各种数学概念的深入剖析，展示数学如何塑造了我们的思维模式，如何成为科学探索的强大工具，以及它如何渗透到我们生活的方方面面，即使是那些我们常常忽略的角落。 为何要读《数学志异》（修订版）？ 《数学志异》（修订版）是一次智力的冒险，一次心灵的启迪。它不要求读者具备深厚的数学功底，但它会激发你对数学的无限兴趣。无论你是学生，渴望从枯燥的公式中看到数学的生命力；还是成年人，希望重新认识这个看似遥远却又至关重要的学科；抑或是对知识充满好奇的探索者，本书都将为你打开一扇全新的窗户。 通过阅读本书，你将： 摆脱对数学的恐惧： 将复杂的数学概念转化为生动的故事和形象的比喻，让你在轻松愉悦的氛围中理解数学。 发现数学的魅力： 感受数学的逻辑之美，它的抽象之深邃，以及它在现实世界中的广泛应用。 拓展思维的边界： 接触那些挑战直觉的数学概念，锻炼你的逻辑思维能力和抽象思维能力。 理解科学的基石： 认识到数学作为科学的语言，是如何驱动着人类科技的进步。 激发探索的欲望： 了解数学世界的未解之谜，也许你的灵感就此点燃，成为未来的数学家。 《数学志异》（修订版）是一本集知识性、趣味性和启发性于一体的数学读物。它如同一位睿智的向导，引领你在广袤的数学星空中漫游，探索那些隐藏在数字背后的古老传说、奇妙规律以及宇宙的奥秘。读完这本书，你或许会发现，数学并非冰冷的符号，而是充满生命力的思想，是构建我们理解世界框架的最重要基石。它将让你以一种全新的视角看待世界，并可能改变你对科学和宇宙的看法。这是一场不容错过的数学之旅，一场属于所有好奇心灵的盛宴。

评分☆☆☆☆☆

从头到尾，我都被《数学志异(修订版)》深深吸引。它不像市面上许多科普读物那样，为了迎合读者而牺牲内容的深度，也没有因为追求学术的严谨而变得晦涩难懂。这本是罕见的将两者完美结合的典范。作者的功力体现在他能够以一种近乎艺术化的方式，将复杂的数学概念呈现出来。我特别欣赏书中关于“悖论”的探讨，那些看似自相矛盾却又合乎逻辑的论述，让我对事物的本质产生了更深的思考。它迫使我跳出固有的思维模式，去审视那些我们习以为常的“真理”。阅读过程中，我时常会惊叹于数学的精妙和逻辑的力量，它如同一个无形的框架，支撑着我们对现实世界的理解。这本书也让我看到了数学的包容性，它不仅仅是逻辑和计算，更是想象力和创造力的结晶。我强烈推荐给任何想要拓宽思维边界、体验智慧之美的人。它会让你对“学习”这件事本身，产生全新的认识。

评分☆☆☆☆☆

作为一名多年潜心研究数学史的学者，我一直苦于找不到一本既能触及深层思想又能兼顾趣味性的著作。而《数学志异(修订版)》的出现，无疑填补了这一空白。本书的修订版在保留原有的深刻洞见的基础上，加入了更多 contemporary 的研究成果和更具启发性的视角，让这份“志异”更加丰满和立体。作者对于数学发展的脉络梳理得极为清晰，但更难能可贵的是，他并没有止步于事件的罗列，而是深入挖掘了那些在历史长河中闪耀的数学思想是如何孕育、演化，又如何影响了人类文明的进程。书中对于一些著名数学难题的论述，更是引人入胜，仿佛将读者带回到了那个群星璀璨的时代，亲历了那些伟大的思想家们是如何在智慧的碰撞中，一步步逼近真理的。我尤其赞赏作者在处理一些哲学层面的探讨时，能够做到既严谨又不失灵动，让抽象的数学哲学变得触手可及。这本书不仅仅是给数学专业人士的，更是给所有对人类智慧的光辉充满向往的人们。它像一本精美的百科全书，每一页都蕴藏着令人惊叹的发现，每一次翻阅都能带来新的思考。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是数学爱好者的宝藏！我一直以来对数学的印象都比较刻板，总觉得它充斥着枯燥的公式和抽象的概念。但《数学志异(修订版)》彻底颠覆了我的认知。作者的笔触如同探险家的指南，带领我穿越到一个充满奇思妙想的数学世界。书中没有冰冷难懂的定理推导，而是用生动有趣的故事、引人入胜的谜题，将那些看似遥不可及的数学概念变得鲜活起来。我尤其喜欢关于“无穷”的章节，作者通过各种意想不到的比喻和现象，让我对这个古老又迷人的概念有了全新的理解，甚至开始对它产生了一种敬畏之情。阅读过程中，我时不时会停下来，回味作者的描述，甚至拿出纸笔尝试书中提出的一些小练习。那种拨开云雾见月明的顿悟感，简直妙不可言！这本书不只是知识的传递，更是一种思维的启迪，它让我看到了数学隐藏的美丽和智慧，仿佛打开了一扇通往更广阔认知空间的大门。我强烈推荐给任何对世界充满好奇、喜欢探索未知领域的朋友，即使你自认为数学不好，这本书也会让你刮目相看。

评分☆☆☆☆☆

《数学志异(修订版)》给我的感觉，就像是在一个寂静的夜晚，抬头仰望星空，突然发现那些遥远的星辰，原来都按照某种奇妙的规律在闪烁。作者在这本书中，展现了数学作为一门“宇宙语言”的独特魅力。我一直以来都对那些试图理解宇宙运行法则的学科充满好奇，而数学，正是其中最根本、最普适的工具。本书的叙述方式非常具有画面感，作者善于将复杂的数学概念，通过具象化的描述和生动的类比，转化为可以被感知的存在。例如，他对于“维度”的探讨，就让我不再局限于三维空间的认知，而是开始想象更高维度的世界是何种模样。更让我惊喜的是，书中还穿插了一些关于数学家们的生活逸事，这些细节让冰冷的数字背后，跃动着鲜活的灵魂，也让我更加理解了伟大的数学思想是如何在人类的探索和创造中诞生的。这本书让我对数学有了更深层次的理解，不再仅仅将其视为一门工具，而是将其看作是认识世界、探索真理的一种深刻而美丽的方式。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我拿起《数学志异(修订版)》的时候，并没有抱太高的期望，毕竟“数学”两个字，总让人联想到那些头痛的公式和定理。但是，这本书完全刷新了我的三观！它就像一位技艺高超的魔术师，用最意想不到的方式，将枯燥的数学知识变成了一场场精彩绝伦的表演。我最喜欢的部分是那些关于“数学的误解”和“数学的非主流应用”的章节。作者用幽默的笔调，揭示了我们生活中可能存在的对数学的种种误解，并展示了数学在艺术、音乐、甚至日常决策中的神奇作用。读到那些关于博弈论和概率的例子时，我仿佛看到了自己曾经犯过的那些“数学错误”，然后恍然大悟，又觉得非常有趣。这本书的语言风格非常平易近人，一点也没有学术的架子，读起来轻松愉快，但内容却又极其深刻。它不是那种看完就忘的书，你会时不时地回想起书中的某个比喻，某个故事，然后用新的视角去看待周围的世界。我感觉自己变得更聪明了，也更愿意去思考生活中的各种现象背后的逻辑了。