判别式、结式和多维行列式 9787510061455 世界图书出版公司 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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盖尔芬德 著

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店铺： 晚秋画月图书专营店

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510061455

商品编码：28002261807

包装：平装

出版时间：2013-10-01

基本信息

书名：判别式、结式和多维行列式

定价：79.00元

作者：盖尔芬德

出版社：世界图书出版公司

出版日期：2013-10-01

ISBN：9787510061455

字数：

页码：

版次：1

装帧：平装

开本：24开

商品重量：0.699kg

编辑推荐

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内容提要

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目录

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Preface
Introduction
I. GENERAL DISCRIMINANTS AND RESULTANTS
CHAPTER I. Projective Dual Varieties and GeneralDiscriminants
I. Definitions and basic examples
2. Duality for plane curves
3. The incidence variety and the proof of the bidualitytheorem
4. Further examples and properties of projective duality
5. The Katz dimension formula and its applications
CHAPTER 2. The Cayley Method for Studying Discriminants
1. Jet bundles and Koszul plexes
2, Discriminantai plexes
3, The degree and the dimension of the dual
4. Discriminantal plexes in terms of differential forms
5. The discriminant as the determinant of a spectral sequence
CHAPTER 3. Associated Varieties and General Resultants
1. Grassmannians. Preliminary material
2. Associated hypersurfaces
3. Mixed resultants
4. The Cayley method for the study of resultants
CHAPTER 4. Chow Varieties
1. Definitions and main properties
2. 0-cycles, factorizable forms and symmetric products
3. Cayley-Green-Morrison equations of Chow varieties
……

作者介绍

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文摘

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序言

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深入解析线性代数与多项式代数核心概念的理论基石 本书聚焦于线性代数和多项式代数中最为精妙且应用广泛的核心工具——判别式、结式，以及它们在更高维度结构——多维行列式中的体现与联系。全书旨在为读者提供一个严谨、深入且富有洞察力的理论框架，使其能够彻底掌握这些概念的代数本质、几何意义及其在现代数学和工程领域的实际应用价值。 第一部分：判别式的深度剖析 判别式（Discriminant）是衡量多项式根的性质，特别是重根存在的关键代数不变量。它不仅是多项式性质的“晴雨表”，更是理解代数方程解的稳定性和可约性的核心工具。 1. 单变量多项式的判别式： 本章将从最基础的二次、三次和四次方程的判别式入手，系统阐述判别式如何与维埃塔公式（Vieta's formulas）紧密结合。我们将详细推导判别式的精确代数表达式，并探讨其在区分实根、复根以及重根时的决定性作用。重点解析如何利用判别式来判断二次曲线（如圆锥曲线）的类型，例如椭圆、抛物线和双曲线的本质区别，这涉及到将二次型转化为标准形式的几何过程。 2. 判别式的代数性质与Galois理论的联系： 深入探讨判别式作为多项式系数域上函数域的一个函数，其性质如何反映了多项式对应伽罗瓦群的结构。我们将展示判别式在判断一个多项式是否为完全平方或是否在特定域上可约时的重要性。此外，还会讨论判别式如何用于构造域扩张，以及在解决特定三次和四次方程时，判别式在选择正确根分支时的指导作用。 3. 多变量多项式的判别式概念： 将判别式的概念推广到多元多项式的情形。多元判别式，或称为奇异值集合的判别式，描述了多项式零点集合的“奇点”或“自相交”的条件。我们将使用张量方法和环论的工具来定义和计算多变量判别式，特别是针对二元函数，探讨其在代数几何中定义超曲面奇点的地位。 第二部分：结式（Resultant）——根的消除工具 结式是代数几何和消元理论中的核心概念，它提供了一种系统的方法来判断两个多项式是否共有一个共同的根，是线性代数中矩阵秩概念在多项式空间中的延伸。 1. 双变量多项式的结式： 本书将详细介绍结式的定义，主要通过 Sylvester 矩阵来构造。我们将证明 Sylvester 矩阵的行列式恰好就是两个多项式的结式。深入分析结式的代数性质，包括其乘法性和与最大公约式的关系：两个多项式共有一个非零公根当且仅当它们的结式为零。 2. 结式的几何意义与消元理论： 阐释结式在求解多项式方程组中的核心作用。通过将结式视为一个多项式函数的零点集，我们展示了如何利用结式来“消除”一个变量，从而将两个或多个变量的方程组降维为一个变量的方程。这与代数簇的投影密切相关，是理解代数簇在坐标平面上的投影（影子）的关键。 3. 高阶结式与张量表示： 探讨结式如何自然地推广到更高维度的多项式集合。在张量代数框架下，我们将引入多变量结式的推广形式，虽然其代数表达式更为复杂，但其在判定多个多项式零点集合相交性方面的威力巨大。讨论如何通过 Gröbner 基或特定的张量分解来间接处理这些高阶结式问题。 第三部分：多维行列式与结构的统一 本部分将判别式和结式的理论提升到更高的维度，探讨它们在多维数组和张量结构中的自然体现，并引入“多维行列式”的概念。 1. 矩阵行列式的本质回归： 首先回顾标准行列式（二维张量）的定义及其与排列、线性变换的关系。强调行列式作为一组向量线性相关的判据的几何意义。 2. 高阶张量的广义行列式（如永久式与群作用）： 介绍张量（多维数组）的概念，并讨论不同类型的“多维行列式”——例如永久式（Permanent），虽然其代数形式与行列式相似，但其组合意义和应用场景大相径庭。重点探讨在特定对称群作用下，如何定义和计算具有特殊结构张量的行列式，这些结构往往与物理学中的对称性问题相关。 3. 判别式与结式在张量结构中的隐式表达： 论述判别式和结式概念在多维语境下的“退化”或“特征化”作用。例如，一个高阶张量在何种条件下可以被分解为低阶张量的组合（如秩一分解），这种分解条件的代数表述往往可以通过推广的判别式概念来捕获。我们将探讨张量结构的“奇异性”集合，这些集合的边界恰恰由多维判别式或更复杂的张量不变量所界定。 4. 实际应用：多项式系统的求解与稳定性分析： 将前述理论应用于实际问题。讨论如何结合判别式和结式工具来分析非线性动力学系统的平衡点稳定性、控制理论中的可控性/可观测性判定，以及信号处理中盲源分离问题的代数约束条件。多维行列式和张量视角则被用来处理涉及多个变量和多组约束的复杂系统模型。 本书力求通过严谨的数学推导和清晰的几何阐释，帮助读者建立起线性代数、多项式理论与现代代数几何之间的深刻联系，为进一步研究代数方程的解的结构和系统的内在性质打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

购买这本书的初衷是希望能在某些计算代数几何的算法实现上找到更扎实的理论基础，而这本书超出了我的预期，因为它在“可计算性”和“内在结构”之间架起了一座坚固的桥梁。例如，在讨论如何用数值方法逼近判别式时，它不仅指出了理论上的障碍（如浮点误差），还从行列式展开式的结构出发，暗示了某些更稳定的计算路径。它的论述风格非常内敛，但信息密度却极高，你必须放慢速度，才能捕捉到隐藏在每段话背后的深层含义。这本书更像是一位经验丰富的大师，在向你展示一张复杂地形图时，他不会急于指出所有的捷径，而是先让你透彻理解山川河流的走向，让你自己去发现最佳的行进路线。这种培养独立思考而非被动接受的学习体验，才是它最宝贵的价值所在。

评分☆☆☆☆☆

这本书在内容深度上的广度令人咋舌，但更让我印象深刻的是其行文风格的严谨与克制。它很少使用过于口语化或情绪化的表达，全程保持着一种冷静、客观的学术态度。每一个定理的表述都力求精确到每一个词汇的恰当性，这对于需要精确引用和消歧义的学术写作来说，是至关重要的财富。我发现，很多我过去在其他教材中读到似是而非的概念，在这本书里得到了非常清晰、无懈可击的界定。特别是关于多项式零点与行列式秩之间的微妙关系那一部分，作者的论证过程滴水不漏，让人读后对相关概念的理解达到了“了如指掌”的程度。这种对知识准确性的执着，使得这本书成为了我案头常备的“最终参考书”，任何关于判别式理论的疑问，翻阅此书总能得到最权威的解答。

评分☆☆☆☆☆

这本书的内容组织逻辑之精妙，简直是我读过的代数类书籍中的一股清流。作者似乎完全洞察了初学者和进阶者在理解判别式和结式时的常见困惑点，因此在章节的衔接和知识点的递进上做得非常自然流畅。它不是简单地堆砌公式和定义，而是通过一系列精心设计的引例，循序渐进地揭示了这些概念背后的几何或代数直觉。比如，对于多维行列式那个看似抽象的章节，作者首先从低维度的直观感受入手，逐步过渡到高维空间的张量表示，这种“由浅入深，由具体到抽象”的教学方法，极大地降低了理解门槛。我特别赞赏它在证明环节的处理，关键步骤会用不同的字体或颜色进行强调，使得冗长的证明过程也变得有迹可循，而不是一团乱麻，读起来效率极高，让人有一种茅塞顿开的愉悦感。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计简直是教科书级别的典范，封面那深沉的靛蓝色配上烫金的标题字体，光是拿在手里就能感受到一种学术的厚重感。我最欣赏的是它在细节处理上的用心，内页纸张的选择既保证了阅读时的舒适度，又不至于因为反光而影响长时间的专注。排版布局非常清晰，每一个定理的推导过程都被严谨地放置在专门的区域，旁边的空白处留得恰到好处，方便读者随时做笔记和标记关键步骤。这种对阅读体验的极致追求，在现在的很多专业书籍中已经非常罕见了。它不仅仅是一本工具书，更像是一件精美的工艺品，让人愿意反复摩挲、细细品味。尤其是那些复杂公式的印刷效果，线条锐利清晰，即便是最细微的下标和上下标都能准确无误地呈现，这对于学习高度抽象的数学概念至关重要。我可以肯定地说，这本书在视觉上传达的专业性，已经为接下来的深度学习打下了坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

作为一名长期在理论物理领域摸爬滚打的研究者，我深知这类代数工具的实用性和底层重要性。这本书的价值绝非停留在理论探讨层面，它在阐述这些数学结构时，巧妙地融入了它们在现代科学中的实际应用背景。虽然书中没有直接给出大量的工程案例，但它在介绍诸如“根的重数判别”或“代数簇的相交性”时，其背后蕴含的物理或几何意义被阐述得极为透彻。例如，当谈到结式如何解决多项式方程组的解的存在性问题时，作者的论述方式让我对数值分析中的某些迭代方法的收敛性有了全新的认识。这种理论与潜在应用之间的微妙联系，极大地激发了我将这些工具应用于我当前研究课题的兴趣，它提供了一种看待复杂系统的全新数学视角，远超出了纯粹的数学手册范畴。