陶哲轩实分析 第3版 数系的结构和集合论引向分析基础幂级数多元微分学傅里叶分析勒贝格积分 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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• 幂级数
• 多元微分学
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店铺： 南京中译图书专营店

出版社： 人民邮电出版社

ISBN：9787115480255

商品编码：27891269555

出版信息

书 名陶哲轩实分析（第3版）

系列书名图灵数学·统计学丛书

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书 号978-7-115-48025-5

定 价99.00 元

页 数470

印刷方式单色

开 本16开

出版状态正在排版

2018.5

本书特色

本书源自华裔天才数学家、菲尔兹奖得主陶哲轩在加州大学洛杉矶分校教授实分析课程的讲义，自版出版以来一直深受读者喜爱。原书分为两卷，中译本将其合并出版。

全书从分析的源头——数系的结构和集合论开始，然后引向分析基础，再进入幂级数、多元微分学和傅里叶分析，后介绍勒贝格积分，几乎完全是以具体的实直线和欧几里得空间为背景，结合了严格性和直观性。另外，课程材料和习题配合无间，便于读者学习。

第3版对之前的版本进行了修订，接受了前两版读者的一些修正意见，并增加了部分习题。

目录

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作者介绍

陶哲轩 1975年出生，享誉世界的澳籍华裔天才数学家，智商超过220，被誉为“数学界的莫扎特”。12岁获得国际数学奥林匹克竞赛（这项纪录至今无人打破），2006年获得数学界的诺贝尔奖——菲尔兹奖，2007年当选英国皇家学会会士。曾与本?格林合作解决了2300年前由欧几里得提出的与“孪生质数”相关的猜想，在调和分析、偏微分方程、组合数学、解析数论、算术数论等多个重要数学研究领域都取得了成果。陶哲轩15岁时所著的Solving Mathematical Problems是一本数学解题思路科普书，中文版《陶哲轩教你学数学》已经由人民邮电出版社出版。

李馨 毕业于北京理工大学数学与统计学院，具有多年高等数学、线性代数及概率论授课经验。

经典实分析教材//强调逻辑严谨和分析基础

本书主要介绍了数学分析中的内容，以构造数系和集合论开篇，逐渐深入到级数、函数等高等数学内容，举例详实，每部分内容后的习题与正文内容密切相关，有利于读者掌握所学的内容。本书在附录部分还介绍了数理逻辑基础和十进制，突出了严格性和基础性。

好的，这是一本专注于介绍现代数学基础、分析学核心概念和相关应用领域的教材的简介。 《现代数学基础与分析导论》 作者： [此处可留空或使用虚拟作者名，以符合不提及特定书名的要求] 译者： [此处可留空或使用虚拟译者名] 版次： [此处可留空] 简介： 本书旨在为有志于深入探索数学分析、集合论基础以及相关高级主题的学生和研究人员提供一套严谨、全面且富有洞察力的导引。全书结构紧凑，逻辑清晰，从最基本的数学结构出发，逐步构建起整个现代分析学的宏伟蓝图。 本书的编排打破了传统分析教材的线性叙述模式，通过多条相互关联的主线，展示数学概念之间的内在联系和演化路径。我们尤其注重对“结构”的强调，这不仅体现在对数系（自然数、整数、有理数、实数）的公理化构建上，更贯穿于集合论基础的引入，为后续所有分析学的论证提供坚实的逻辑基石。 第一部分：数系的公理化构建与集合论的基石 本部分是全书的逻辑起点。我们不将实数视为既定事实，而是通过严格的公理系统，从自然数的皮亚诺公理出发，构造出整数、有理数，并最终通过完备性公理（例如，戴德金割或柯西序列的等价性）精确定义实数域 $mathbb{R}$。这一过程的详尽阐述，旨在揭示我们日常使用的数系是如何从最原始的逻辑公理中“生长”出来的，从而培养读者对数学严谨性的深刻理解。 随后，我们引入必要的集合论概念。这部分内容并非冗余的理论堆砌，而是为了支撑后续分析中遇到的所有对象——函数、序列、空间——的定义。我们涵盖了集合的基本运算、笛卡尔积、函数的定义与性质，并适度探讨了基数、选择公理的初步概念，为理解无限性提供必要的工具箱。 第二部分：基础分析与拓扑预备 在确立了坚实的数系和集合论基础后，本书立即转向基础分析的核心内容：极限、连续性、微分和积分。我们采用了一种强调拓扑思想的视角来处理这些经典概念。 极限与连续性： 使用 $epsilon-delta$ 语言进行精确的定义和证明，但同时，我们将这些概念置于更广阔的拓扑空间背景下进行初步探讨，例如度量空间的概念，即使我们暂时只在 $mathbb{R}^n$ 上工作。 导数与微分： 对一元函数和多元函数的微分学进行深入探讨。在多元微分学部分，我们将详细分析偏导数、方向导数、梯度、链式法则，并引入雅可比矩阵的概念。我们着重于探讨可微性的本质，区别于直观上的“光滑”，并为后续的隐函数定理和反函数定理奠定基础。 第三部分：超越有限维：函数空间与傅里叶分析 本书的第三部分将读者带入无限维空间的分析领域，这是连接经典分析与现代泛函分析的关键桥梁。 幂级数与函数空间： 深入研究幂级数的收敛性、唯一性，以及如何利用它们来表示特殊函数（如指数函数、三角函数）。我们探讨了函数序列的收敛，特别是均匀收敛的概念及其与逐点收敛的区别，这对于保证微分和积分运算的合法性至关重要。 傅里叶分析导论： 本部分是对经典傅里叶分析的严谨介绍。我们首先从周期函数的傅里叶级数展开入手，探讨级数的收敛性问题（例如，狄利克雷条件）。更重要的是，我们引入了对函数空间（如 $L^2$ 空间）的初步认识，理解傅里叶级数本质上是一种正交基展开，这为理解信号处理和偏微分方程的解法提供了强大的分析工具。 第四部分：测度论与勒贝格积分 本书的收官之作是介绍现代积分理论的基石——勒贝格积分。我们认为，只有理解了测度论，才能真正掌握现代分析的深度和广度。 测度论基础： 我们从外测度、可测集和 $sigma$-代数等基本概念开始。这部分内容清晰地展示了如何克服黎曼积分在处理“病态”函数时的局限性，并提供了更强大的积分工具。 勒贝格积分的构造： 构造出简单函数、非负可测函数和一般可测函数的勒贝格积分。我们将详细证明勒贝格积分的主要收敛定理，例如单调收敛定理（MCT）和勒贝格控制收敛定理（DCT）。这些定理是泛函分析、概率论和偏微分方程理论中不可或缺的分析工具。 全书特色： 1. 逻辑的严谨性： 从公理出发，每一步论证都力求清晰、无懈可击。 2. 概念的统一性： 强调数系结构、拓扑概念在整个分析框架中的统一作用。 3. 视角的前瞻性： 尽管内容扎实，但始终保持对更高级领域（如泛函分析、概率论）的展望，为后续学习打下坚实基础。 4. 注重证明的洞察力： 提供的例题和习题旨在帮助读者不仅“知道”定理如何陈述，更“理解”其背后的深层原因。 本书适合作为高等数学分析课程的教材，尤其适合数学、物理学、工程学及计算机科学中需要深厚数学功底的研究生和高年级本科生使用。它不仅教授分析的“技法”，更传授数学家思考问题的“方式”。

评分☆☆☆☆☆

初次接触这本教材时，我最大的感受就是它的逻辑连贯性和结构的精妙布局。作者对整个分析体系的梳理，简直就像一位高明的建筑师在设计一座宏伟的数学殿堂。从最基本的集合论基础开始，每一步的推进都显得水到渠成，毫不牵强。特别是关于拓扑概念的引入，处理得极其细腻，既保证了数学上的严谨性，又没有让初学者感到畏惧。我特别欣赏它在引入新工具，比如幂级数展开时，那种循序渐进的引导方式。它不是简单地给出公式，而是深入探讨了收敛性的本质，这使得我们在应用这些工具时，心中能多一份踏实和自信。这本书在内容上的平衡把握得非常好，既有理论的深度，又不乏实例的支撑，让人感觉读起来既充实又享受。

评分☆☆☆☆☆

说实话，这本书的阅读体验是一种“渐入佳境”的过程。一开始，面对那些看似抽象的定义，可能会有点摸不着头脑，但只要坚持下去，随着章节的深入，你会发现作者早已为你埋下了所有的伏笔。这种精心的设计，在讲解多元微积分部分时体现得尤为明显。作者没有急于展示那些令人眼花缭乱的链式法则或雅可比矩阵，而是先从最直观的线性近似概念入手，一步步升华到真正的微分概念。这种从直觉到形式的完美过渡，极大地提升了对多元函数的理解层次。对于那些期望从二维或三维直觉跳脱出来，进入更高维空间分析的读者来说，这本书的论述方式无疑是提供了最清晰的思维路径。它教会我们的，是如何用最清晰的语言去描述最复杂的数学关系。

评分☆☆☆☆☆

对于致力于打下坚实数学基础的研究生和高年级本科生而言，这本书的价值是毋庸置疑的。它提供的不仅仅是一套知识体系，更是一套分析学家的思考模式。它的语言简洁精准，几乎没有冗余的陈述，每一个定理的证明都力求简洁而富有启发性。我特别欣赏它在处理一些经典难题时，所展现出的不同于传统教科书的视角。例如，它对收敛性理论的阐述，往往能将看似分散的知识点串联起来，形成一个统一的框架。这种宏观的视野，对于培养一个成熟的数学思维至关重要。这本书要求读者投入时间和精力，但它给予的回报，是远远超过付出的。它更像是一位顶级导师，在你身边耐心地引导你，直到你能够独立地探索更广阔的分析世界。

评分☆☆☆☆☆

这本书在傅里叶分析和勒贝格积分这些更前沿的话题上的处理方式，展现了作者非凡的教学功力。尤其是勒贝格积分的引入，处理得异常优雅。它没有被简化成一堆死记硬背的规则，而是紧密地结合了测度论的背景，让读者深刻理解为什么要发展出比黎曼积分更强大的工具。这种对数学“必要性”的阐释，是我在其他教材中很少看到的。我感觉自己不是在学习一个计算方法，而是在参与一场数学思想的革命。读完相关章节后，再回顾过去学习的定积分，会有一种豁然开朗的感觉，明白了为什么有些函数是“不可积”的，以及我们如何能更有效地处理这些“怪异”的函数。这种深刻的认知转变，价值千金。

评分☆☆☆☆☆

这本《陶哲轩实分析 第3版》确实是数学学习者心中的一座丰碑，尤其是它在基础理论上的构建，令人印象深刻。我记得刚开始翻阅这本书时，就被它那种严谨而又富有洞察力的笔触所吸引。它不像一些教材那样仅仅罗列定义和定理，而是非常耐心地引导读者去理解每一个概念背后的深刻含义。比如，在处理极限和连续性的讨论时，作者似乎总能找到最恰当的比喻和例子，让人感觉复杂的数学概念一下子变得触手可及。这种对数学思想的深入挖掘，而非停留在表面的技巧展示，是这本书最宝贵的地方。它不仅仅是教你如何“做”分析，更是教你如何“思考”分析。对于那些想要真正掌握实分析精髓，而不是仅仅应付考试的人来说，这本书无疑是首选的指南。它在基础上的扎实程度，为后续更高级的数学学习铺设了极其稳固的桥梁。