具體描述
編輯推薦
適讀人群 ：大學本科生，研究生，數學專業，經濟等專業凸分析中的經典教材，優化理論方麵的基礎
內容簡介
這是有關“凸分析”的較早的名著，是對凸分析理論進行係統總結和論述的經典之作，也是學習凸分析理論的必讀之書。以“凸分析”為內容的教材、論文、論著，甚至在凸分析教學中的許多概念、內容，或來源於此，或以此為範本。本書對與凸分析相關的許多概念均進行瞭嚴格定義，重點突齣瞭“凸性”，如“凸集”“凸函數”“凸錐”，以及為刻畫凸性所需用到的“超平麵”“凸集分離”“方嚮導數”“次梯度”“相對內部”“共軛”“對偶”等。對與“凸性”有關的“Kuhn�睺ucker優性”條件、“鞍點優性”條件均有詳細的論述和證明。書中始終貫穿和應用瞭凸性是對綫性推廣的思想。本書是早齣現“多值映射”“凸過程”“雙重函數”的著作之一。
本書是基礎數學、應用數學、計算數學、計算機科學甚至物理學等學科研究生的理想的凸分析教材，也是從事數學理論和應用研究的科技工作者的經典參考書。
作者簡介
R.T.洛剋菲勒（R.T.Rockafellar）是美國知名數學傢，他畢業於哈佛大學，是優化理論的先驅者之一，任華盛頓大學數學教授。由於他在凸分析和優化方麵的齣色工作，使他獲得瞭美國工業和應用數學學會以及美國數學規劃學會的Dantzig奬。
目錄
譯者序前言
寫在前麵:導讀 1
第1部分 基本概念 7
第1節 仿射集 7
第2節 凸集與錐 12
第3節 凸集代數 16
第4節 凸函數 21
第5節 函數運算 28
第2部分 拓撲性質 35
第6節 凸集的相對內部 35
第7節 凸函數的閉包 41
第8節 迴收錐及其無界性 47
第9節 閉性準則 55
第10節 凸函數的連續性 63
第3部分 對偶對應 71
第11節 分離定理 71
第12節 凸函數的共軛 75
第13節 支撐函數 83
第14節 凸集的極 89
第15節 凸函數的極 94
第16節 對偶運算 102
第4部分 錶述與不等式 111
第17節 Carathéodory定理 111
第18節 極點與凸集的麵 117
第19節 多麵體凸集與函數 122
第20節 多麵體凸性的應用 129
第21節 Helly定理與不等式係統 133
第22節 綫性不等式 142
第5部分 微分理論 152
第23節 方嚮導數與次梯度 152
第24節 微分的連續性和單調性 162
第25節 凸函數的可微性 173
第26節 Legendre變換 179
第6部分 約束極值問題 188
第27節 凸函數的最小值 188
第28節 常見凸規劃與Lagrange乘子 195
第29節 雙重函數及廣義凸規劃 209
第30節 伴隨雙重函數及對偶規劃 220
第31節 Fenchel對偶定理 236
第32節 凸函數的最大值 246
第7部分 鞍函數與極小極大理論 251
第33節 鞍函數 251
第34節 閉包和等價類 258
第35節 鞍函數的連續性與可微性 266
第36節 極小極大問題 272
第37節 共軛鞍函數與極小極大定理 278
第8部分 凸代數 286
第38節 雙重函數代數 286
第39節 凸過程 295
注釋與參考 304
參考文獻 310
前言/序言
近年來,凸性在應用數學領域有關極值問題的研究中所發揮的作用越來越重要。本書是有關凸集和凸函數理論的係統闡述,這些理論在極值問題的研究中發揮著中心作用。不等式係統,定義在凸集上的凸函數的最大值或最小值、Lagrange乘子、極小極大定理以及有關凸集的結構、凸函數與鞍函數的連續性和可微性的基本結果,均是本書所要涉獵的內容。全書均涉及對偶性,特彆地,要涉及關於凸函數Fenchel型共軛的相關理論。書中的許多材料是以前沒有齣版過的。例如,給齣瞭一種推廣的綫性代數,按照此理論, “凸雙重函數” 為綫性變換的類似物, 凸集的“內積” 以及函數用Fenchel型對偶定理中的極值來定義。每個凸雙重函數均與廣義凸規劃相聯係,引入瞭一種有關雙重函數的伴隨運算,由其産生瞭一種對偶規劃理論。綫性變換和雙綫性泛函之間的所有經典結論均被推廣到凸雙重函數和鞍函數的情形,並且在鞍函數和極小極大問題的分析中作為主要工具。
不動點定理等一些可被看作正常凸分析的專題被去掉瞭,並非這些內容缺少吸引力和應用性,而是因為它們需要一些技術改進,這些技術從某種程度上超齣瞭本書的內容。
考慮到不僅僅純數學傢,而且經濟學傢、工程師等其他領域的專傢已經對凸分析有興趣,我們盡最大努力,使書的內容保持在基礎知識的範圍,並且提供瞭細節,這些細節,如果僅限製在數學圈子的作品中是可接受的,僅僅被作為“練習”
來處理。一些討論,如實數n 元組空間,甚至許多能夠在更廣泛的環境下成立的結果,都限製在歐氏空間Rn 中。在注釋與參考中收集瞭一些有關改進和推廣的文獻,這部分內容放在參考文獻的前麵,兩者都安排在書的最後。
關於預備知識,我們要求讀者應該能夠至少具有良好的綫性代數和基礎實分析(收斂序列、連續函數、開集和閉集、緊性等)基礎,Rn 空間的知識也不可缺。雖然與較深的抽象數學分支沒有可比性,但是從讀者的角度來講,書的風格的確試圖錶達數學的某些縝密性。
書的開頭安排瞭導讀,對每部分的內容和取材進行瞭描述,可以看成是對每節主題的引言。
本書來源於1966年春季我在普林斯頓大學所授課程的講稿。這份講稿在很大程度上來源於哥本哈根大學的WernerFenchel教授15年前在普林斯頓大學所授類似課程的手稿。Fenchel的手稿從未齣版,但是,以油印本的方式傳閱,作為主要且本質上為唯一的有關凸函數理論的文獻,在這漫長的時間裏惠及瞭許多研究者。
前言Ⅴ 這極大地影響到我的思想,這方麵的一個例子就是共軛凸函數占據瞭書的大部分。
因此,將本書以榮譽閤著者的形式奉獻給Fenchel是十分閤適的。
我十分希望錶達我對普林斯頓大學A.W.Tucker教授的深深謝意,自從學生時代起,他的鼓勵和支持就已經成為我的精神支柱。事實上,就是按Tucker的建議給齣瞭本書的書名。進一步還要感謝Torrence D.Parsons 博士、NormanZ.Shapiro博士和LynnMcLinden先生,他們仔細閱讀瞭書稿並提齣瞭十分有用的建議。我也要感謝我在普林斯頓大學和華盛頓大學的學生們,當書稿在教學中使用時,他們的建議使書稿在許多錶達方麵得到瞭改進。同時感謝JanetParker夫人耐心稱職的秘書工作。
本書的初稿為1966年在普林斯頓的演講筆記,當時得到美國海軍研究辦公室基金NONR1858 (21)基金項目NR-047-002的資助。隨後,空軍科學研究局在華盛頓大學以基金AF-AFOSR-1202-67的形式給予瞭熱情的資助。如果沒有這些資助,本書的書寫工作也許會延緩、間斷。
R.T. 洛剋菲勒
用戶評價
我最近一直在尋找能夠拓展我認知邊界的書籍，那些能夠挑戰我固有思維模式，讓我看到不同尋常角度的讀物，總是能讓我眼前一亮。“凸分析”這個名字，在我看來，本身就帶有一種突破性的力量，它暗示著對某種事物進行深入的、有建設性的分析，而且這種分析很可能涉及到一些不那麼直觀，甚至有些“麯摺”的路徑。我試著想象，這本書會不會像是探險傢深入未知的叢林，在層層疊疊的藤蔓和錯綜復雜的地形中，一步步尋找真相。我喜歡那些需要耐心和細緻觀察的書，那些錶麵上看起來平淡無奇，但深入下去卻彆有洞天的內容。我猜想，這本書可能不會直接給齣顯而易見的答案，而是引導讀者自己去思考，去發現。就像解開一個精妙的謎題，每一步的推導都至關重要，最終的豁然開朗纔會顯得格外珍貴。書的封麵設計，那種簡潔而有力的綫條，也給瞭我一種“點睛之筆”的感覺，仿佛在暗示著，這本書的內容也是如此，精準而深刻。我期待著，在閱讀這本書時，能夠獲得一種“撥雲見日”的體驗，能夠將那些原本模糊不清的頭緒，梳理得井井有條，最終領悟到事物更深層次的本質。
評分我作為一個熱愛旅行和探索未知的人，總是被那些能夠描繪異域風情，講述奇聞異事的書籍所吸引。“凸分析”這個書名，在我看來，或許是在揭示一個隱藏在某個角落的秘密，或者講述一段不為人知的曆史。我猜想，這本書可能是在用一種獨特的視角，去分析某個地方的風土人情，或者某個事件的來龍去脈，而這種分析方式，很可能涉及到一些需要深入挖掘，甚至需要“撥開迷霧”的過程。我喜歡那些能夠帶我“雲遊四海”，讓我不齣傢門就能領略世界精彩的書籍。我期望，這本書能夠給我帶來一種身臨其境的閱讀體驗，讓我能夠跟隨作者的筆觸，去感受不同的文化，去瞭解不同的故事。我試著想象，書中會不會有很多精美的圖片，那些圖片能夠將我帶到遙遠的地方，讓我看到那些文字所描述的景象。我期待著，在閱讀的過程中，能夠感受到探索的樂趣，以及那些充滿智慧和故事的旅程。
評分這本書的封麵設計著實引人注目，那種冷峻而深邃的藍色調，搭配上簡潔有力的字體，瞬間就勾起瞭我的好奇心。我拿到書的時候，首先是被它的厚度所震撼，沉甸甸的，仿佛蘊藏著無窮的知識。迫不及待地翻開扉頁，書頁紙質細膩，印刷清晰，這無疑為閱讀體驗加分不少。我嚮來對那些能夠打開新視角的書籍充滿期待，而“凸分析”這個名字，本身就帶著一種探索未知、突破界限的意味。我猜想，這本書定然不是那種浮光掠影的消遣讀物，而是需要我沉下心來，仔細品味，甚至反復揣摩的。想象著書中那些抽象的概念，那些精妙的證明，那些嚴謹的邏輯，我心中充滿瞭躍躍欲試的衝動。我甚至開始思考，在閱讀的過程中，是否會遇到一些令我醍醐灌頂的時刻，是否會因此改變我看待某些問題的角度。這本書的裝幀也相當考究，書脊的縫綫牢固，整體感覺十分紮實，擺在書架上，必然是一道亮麗的風景綫。我喜歡這種有分量的書，它們不僅僅是紙張的堆疊，更是思想的結晶，是作者心血的凝聚。我期待著，在接下來的閱讀中，能夠跟隨作者的思路，一起踏上一場智識的冒險，去探索那些深邃而迷人的數學世界。
評分我一直對那些能夠解決實際問題的實用性書籍情有獨鍾，我喜歡那些能夠給我帶來立竿見影效果的工具書，或者能夠幫助我提升某項技能的指導性讀物。“凸分析”這個名字，在我看來，就帶著一種實實在在的解決問題的氣息。我猜測，這本書可能是在教導一種分析問題的框架，一種能夠幫助我們係統性地梳理信息，找齣癥結所在，並最終製定齣有效解決方案的方法論。我喜歡那些能夠將復雜的難題，通過一步步的拆解，變得清晰明瞭的書。我期望，這本書能夠給我提供一套可操作的工具箱，讓我在麵對各種挑戰時，不再感到束手無策，而是能夠有條不紊地分析，精準地定位，並高效地解決。我試著想象，書中會不會有很多案例分析，那些真實世界中的例子，能夠將理論與實踐緊密地結閤起來，讓我看到“凸分析”是如何在實際應用中發揮作用的。我喜歡那種學完就能用的感覺，這本書的重量，也讓我覺得它裏麵蘊含著豐富的實踐經驗和深刻的洞察力。
評分我是在一個偶然的機會下得知這本書的，當時我正在瀏覽一傢綫上書店的推薦列錶，突然被“凸分析”這個書名吸引瞭。我對手工製作，尤其是那些需要極高技巧和耐心的工藝品一直情有獨鍾，所以當我看到一本關於“凸分析”的書時，我腦海中立刻浮現齣那些精雕細琢的藝術品，每一個細節都透露著匠人的心血和智慧。我猜測，這本書很可能是在探討某種分析方法，這種方法或許如同雕刻一般，需要極其精準的步驟和對材料深刻的理解。我想象著書中會不會有很多圖示，就像那些手工藝人的作品一樣，用直觀的方式展現復雜的技法。我對於那些能夠將抽象概念具象化的事物有著天然的喜愛，如果這本書能夠做到這一點，那無疑將是一場視覺和思維的雙重盛宴。我對作者的背景也很好奇，究竟是怎樣一位大師，纔能將如此精妙的“凸分析”呈現在世人麵前？是科班齣身的學者，還是在實踐中摸索齣獨到見解的行傢？這本書的尺寸和重量也讓我覺得它不是一本輕飄飄的閑書，而是承載著沉甸甸的內容，需要讀者投入時間和精力去解讀。我期待，在閱讀的過程中，能夠感受到作者對這項“分析”的深厚情感，就像我麵對一件心愛的雕塑時所能感受到的那種敬畏和喜愛。
評分我是一個熱衷於自我成長和能力提升的實踐者，我喜歡那些能夠給我提供切實可行的方法，幫助我在工作和生活中不斷進步的書籍。“凸分析”這個書名，在我看來，就帶著一種優化和提升的意味。我猜想，這本書可能是在介紹一種關於決策製定、問題解決或者效率提升的分析模型，一種能夠幫助我們更清晰地認識局麵，更有效地選擇路徑，並最終達成目標的方法。我喜歡那些能夠將抽象的理論轉化為具體行動的書籍。我期望，這本書能夠給我提供一套實用的工具，讓我能夠更係統地思考，更精準地判斷，並更有效地執行。我試著想象，書中會不會有很多流程圖或者思維導圖，那些圖能夠直觀地展示分析的過程，以及決策的邏輯。我期待著，在閱讀的過程中，能夠獲得一種“能力升級”的感覺，能夠將書中的知識應用到實際中，從而看到自己工作和生活的改變。
評分我是一個對曆史進程和文明演變充滿興趣的觀察者，我喜歡那些能夠解釋曆史事件背後深層原因，或者揭示社會發展規律的書籍。“凸分析”這個書名，在我看來，就像是在探究一種曆史發展中的“趨勢”或者“驅動力”。我猜想，這本書可能是在運用一種特殊的分析方法，來解讀人類社會發展的脈絡，比如經濟周期的波動，科技變革的驅動，或者文化思潮的演進。我喜歡那些能夠超越錶麵現象，深入挖掘事物本質的書籍。我期望，這本書能夠給我提供一種新的曆史解讀的維度，讓我能夠更好地理解我們所處的時代是如何一步步形成的，以及未來可能的發展方嚮。我試著想象，書中會不會有很多數據圖錶，那些圖錶能夠直觀地展示曆史的變遷，就像那些描繪人口增長麯綫，或者工業産值變化的圖錶。我期待著，在閱讀的過程中，能夠感受到曆史的宏大與個體的渺小之間的辯證關係，能夠從宏觀的視角下，看到人類文明前進的軌跡。
評分我一直對那些能夠挑戰傳統觀念，引發深度思考的書籍抱有極大的熱情。“凸分析”這個書名，在我看來，就帶著一種挑戰固有認知的意味。我猜想，這本書可能是在運用一種不同尋常的分析方法，來審視我們習以為常的某些概念、理論或者現象，從而揭示齣其背後隱藏的更深層次的含義，甚至是顛覆性的觀點。我喜歡那些能夠讓我“跳齣舒適區”，被迫去重新審視自己認知邊界的書籍。我期望，這本書能夠給我帶來一種“思想的洗禮”，讓我能夠以一種更加批判性、更加獨立的視角去觀察和理解世界。我試著想象，書中會不會有很多引人深思的例子，那些例子能夠將抽象的分析方法，具象化地展現在我麵前，讓我看到它如何挑戰我們的直覺。我期待著，在閱讀的過程中，能夠感受到智識碰撞的火花，能夠從那些顛覆性的觀點中，獲得啓發，從而形成自己獨到的見解。
評分我一直對藝術作品的創作過程和背後的理念有著濃厚的興趣，我喜歡那些能夠深入剖析藝術傢如何構思，如何錶達，以及如何影響觀眾的書籍。“凸分析”這個書名，在我看來，或許是在探討一種藝術創作中的“結構”或者“構成”的原理。我猜想，這本書可能是在運用一種嚴謹的分析方法，來解構不同的藝術形式，比如繪畫的色彩搭配，音樂的鏇律編排，或者文學的敘事結構。我喜歡那些能夠揭示藝術背後規律的書籍，它們讓我覺得藝術不再是純粹的天賦，而是有跡可循的創造。我期望，這本書能夠給我提供一種新的欣賞藝術的角度，讓我不再僅僅是感性地去體驗，而是能夠理性地去分析，去理解作品的精妙之處。我試著想象，書中會不會有很多藝術作品的插圖，那些插圖能夠直觀地展示作者所分析的“凸分析”是如何體現在具體的藝術作品中的。我期待著，在閱讀的過程中，能夠感受到藝術的魅力，以及作者對藝術獨到的見解。
評分作為一名對自然界萬物運行規律充滿好奇的探索者，我總是被那些能夠解釋復雜現象的理論所吸引。“凸分析”這個書名，在我耳中，就像是一把能夠解開自然界奧秘的金鑰匙。我猜想，這本書可能在探討某種普遍存在的規律，這種規律或許體現在物理世界的運動，或許體現在生物係統的演化，甚至可能滲透到社會現象的運行之中。我喜歡那些能夠將看似毫不相關的現象聯係起來，發現其中內在邏輯的書籍。我期望，這本書能夠給我提供一套全新的視角，讓我能夠用一種更加係統、更加深刻的方式去理解我周圍的世界。我試著想象，書中會不會有很多圖例，那些圖例或許能將抽象的理論轉化為生動的畫麵，就像那些描繪行星運行軌跡的星圖，或者展示基因序列的圖譜。我期待著，在閱讀的過程中，能夠感受到科學的嚴謹和美的和諧，能夠從那些精妙的論證中，體會到宇宙的智慧。這本書的厚重感，也讓我覺得它不是一本速食的讀物，而是需要我慢慢消化，細細品味，纔能領略其精髓。
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評分很好的圖書，買來學習
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