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编辑推荐

适读人群 ：大学本科生，研究生，数学专业，经济等专业
凸分析中的经典教材，优化理论方面的基础

内容简介

这是有关“凸分析”的较早的名著，是对凸分析理论进行系统总结和论述的经典之作，也是学习凸分析理论的必读之书。以“凸分析”为内容的教材、论文、论著，甚至在凸分析教学中的许多概念、内容，或来源于此，或以此为范本。
本书对与凸分析相关的许多概念均进行了严格定义，重点突出了“凸性”，如“凸集”“凸函数”“凸锥”，以及为刻画凸性所需用到的“超平面”“凸集分离”“方向导数”“次梯度”“相对内部”“共轭”“对偶”等。对与“凸性”有关的“Kuhn�睺ucker优性”条件、“鞍点优性”条件均有详细的论述和证明。书中始终贯穿和应用了凸性是对线性推广的思想。本书是早出现“多值映射”“凸过程”“双重函数”的著作之一。
本书是基础数学、应用数学、计算数学、计算机科学甚至物理学等学科研究生的理想的凸分析教材，也是从事数学理论和应用研究的科技工作者的经典参考书。

作者简介

R.T.洛克菲勒（R.T.Rockafellar）是美国知名数学家，他毕业于哈佛大学，是优化理论的先驱者之一，任华盛顿大学数学教授。由
于他在凸分析和优化方面的出色工作，使他获得了美国工业和应用数学学会以及美国数学规划学会的Dantzig奖。

目录

译者序
前言
写在前面:导读 1
第1部分 基本概念 7
第1节 仿射集 7
第2节 凸集与锥 12
第3节 凸集代数 16
第4节 凸函数 21
第5节 函数运算 28
第2部分 拓扑性质 35
第6节 凸集的相对内部 35
第7节 凸函数的闭包 41
第8节 回收锥及其无界性 47
第9节 闭性准则 55
第10节 凸函数的连续性 63
第3部分 对偶对应 71
第11节 分离定理 71
第12节 凸函数的共轭 75
第13节 支撑函数 83
第14节 凸集的极 89
第15节 凸函数的极 94
第16节 对偶运算 102
第4部分 表述与不等式 111
第17节 Carathéodory定理 111
第18节 极点与凸集的面 117
第19节 多面体凸集与函数 122
第20节 多面体凸性的应用 129
第21节 Helly定理与不等式系统 133
第22节 线性不等式 142
第5部分 微分理论 152
第23节 方向导数与次梯度 152
第24节 微分的连续性和单调性 162
第25节 凸函数的可微性 173
第26节 Legendre变换 179
第6部分 约束极值问题 188
第27节 凸函数的最小值 188
第28节 常见凸规划与Lagrange乘子 195
第29节 双重函数及广义凸规划 209
第30节 伴随双重函数及对偶规划 220
第31节 Fenchel对偶定理 236
第32节 凸函数的最大值 246
第7部分 鞍函数与极小极大理论 251
第33节 鞍函数 251
第34节 闭包和等价类 258
第35节 鞍函数的连续性与可微性 266
第36节 极小极大问题 272
第37节 共轭鞍函数与极小极大定理 278
第8部分 凸代数 286
第38节 双重函数代数 286
第39节 凸过程 295
注释与参考 304
参考文献 310

前言/序言

近年来,凸性在应用数学领域有关极值问题的研究中所发挥的作用越来越重要。本书是有关凸集和凸函数理论的系统阐述,这些理论在极值问题的研究中发挥着中心作用。不等式系统,定义在凸集上的凸函数的最大值或最小值、Lagrange乘子、极小极大定理以及有关凸集的结构、凸函数与鞍函数的连续性和可微性的基本结果,均是本书所要涉猎的内容。全书均涉及对偶性,特别地,要涉及关于凸函数Fenchel型共轭的相关理论。
书中的许多材料是以前没有出版过的。例如,给出了一种推广的线性代数,按照此理论, “凸双重函数” 为线性变换的类似物, 凸集的“内积” 以及函数用Fenchel型对偶定理中的极值来定义。每个凸双重函数均与广义凸规划相联系,引入了一种有关双重函数的伴随运算,由其产生了一种对偶规划理论。线性变换和双线性泛函之间的所有经典结论均被推广到凸双重函数和鞍函数的情形,并且在鞍函数和极小极大问题的分析中作为主要工具。
不动点定理等一些可被看作正常凸分析的专题被去掉了,并非这些内容缺少吸引力和应用性,而是因为它们需要一些技术改进,这些技术从某种程度上超出了本书的内容。
考虑到不仅仅纯数学家,而且经济学家、工程师等其他领域的专家已经对凸分析有兴趣,我们尽最大努力,使书的内容保持在基础知识的范围,并且提供了细节,这些细节,如果仅限制在数学圈子的作品中是可接受的,仅仅被作为“练习”
来处理。一些讨论,如实数n 元组空间,甚至许多能够在更广泛的环境下成立的结果,都限制在欧氏空间Rn 中。在注释与参考中收集了一些有关改进和推广的文献,这部分内容放在参考文献的前面,两者都安排在书的最后。
关于预备知识,我们要求读者应该能够至少具有良好的线性代数和基础实分析(收敛序列、连续函数、开集和闭集、紧性等)基础,Rn 空间的知识也不可缺。虽然与较深的抽象数学分支没有可比性,但是从读者的角度来讲,书的风格的确试图表达数学的某些缜密性。
书的开头安排了导读,对每部分的内容和取材进行了描述,可以看成是对每节主题的引言。
本书来源于1966年春季我在普林斯顿大学所授课程的讲稿。这份讲稿在很大程度上来源于哥本哈根大学的WernerFenchel教授15年前在普林斯顿大学所授类似课程的手稿。Fenchel的手稿从未出版,但是,以油印本的方式传阅,作为主要且本质上为唯一的有关凸函数理论的文献,在这漫长的时间里惠及了许多研究者。
前言Ⅴ 这极大地影响到我的思想,这方面的一个例子就是共轭凸函数占据了书的大部分。
因此,将本书以荣誉合著者的形式奉献给Fenchel是十分合适的。
我十分希望表达我对普林斯顿大学A.W.Tucker教授的深深谢意,自从学生时代起,他的鼓励和支持就已经成为我的精神支柱。事实上,就是按Tucker的建议给出了本书的书名。进一步还要感谢Torrence D.Parsons 博士、NormanZ.Shapiro博士和LynnMcLinden先生,他们仔细阅读了书稿并提出了十分有用的建议。我也要感谢我在普林斯顿大学和华盛顿大学的学生们,当书稿在教学中使用时,他们的建议使书稿在许多表达方面得到了改进。同时感谢JanetParker夫人耐心称职的秘书工作。
本书的初稿为1966年在普林斯顿的演讲笔记,当时得到美国海军研究办公室基金NONR1858 (21)基金项目NR-047-002的资助。随后,空军科学研究局在华盛顿大学以基金AF-AFOSR-1202-67的形式给予了热情的资助。如果没有这些资助,本书的书写工作也许会延缓、间断。
R.T. 洛克菲勒
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