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內容簡介

　　本書介紹分形集及其分析，主要包括三部分內容。第一部分介紹各種各樣常見的分形集，如自相似集（包括pcf集）、隨機分形、Julia集和Mandelbrot集，同時也介紹反問題、拼貼定理、L-係統。該部分所涉及的理論很少，主要是壓縮映像原理。所有分形圖像都是利用Matlab程序實現，每個圖像後麵都附上Matlab代碼。第二部分介紹研究分形集幾何性質所常用概念，如Hausdorff測度、自相似測度和Hausdorff維數，同時給齣一類常見分形集Hausdorff維數的計算方法，該部分所涉及的理論主要是測度論的基本知識。第三部分介紹分形集上的分析，如Sierpinski墊上狄氏型構造、定義域刻畫以及對應的熱核估計等，該部分所涉數學理論知識較多，但不超齣數學係研究生範圍。本書前兩部分內容可作為初學者或工程專業人士參考，第三部分內容主要麵嚮數學係高年級本科生、研究生或相關專業人士。

內頁插圖

目錄

《現代數學基礎叢書》序
前言
符號說明
第1章 自相似集
1．1 壓縮映像原理
1．2 Hausdorff度量
1．3 自相似集
1．4 自相似集的例子
1．4．1 自相似集的例子
1．4．2 自仿集的例子
1．4．3 後臨界有限自相似集
1．5 Karl Weierstrass和Georg Cantor簡介
1．6 練習題

第2章 分形
2．1 羊齒葉
2．2 樹
2．3 花邊圖案和花環
2．4 Koch麯綫
2．5 滲流叢
2．6 分形與確定分形
2．7 練習題

第3章 Julia集、Mandelbrot集和反問題
3．1 Julia集
3．2 Mandelbrot集
3．3 拼貼定理及反問題
3．4 Beno*t Mandelbrot和Gaston Julia簡介
3．5 練習題

第4章 L—係統
4．1 不含X，Y的確定L—係統
4．2 含X，Y的確定L—係統
4．3 含中括弧的確定L—係統
4．4 含其他字母的確定L—係統
4．5 L—係統
4．6 練習題

第5章 Hausdorff測度和Hausdorff維數
5．1 測度
5．2 自相似測度
5．3 Hausdorff測度
5．4 Hausdorff維數
5．5 Hausdorff維數的計算
5．6 Felix Hausdorff和Waclaw Sierpiński簡介
5．7 練習題

第6章 熱半群和狄氏型
6．1 自伴算子和譜分解
6．2 半群
6．3 熱半群
6．4 狄氏型
6．5 Lejeune Dirichlet簡介
6．6 練習題

第7章 Sierpiński墊上的狄氏型
7．1 Sierpiński墊上狄氏型的構造
7．2 調和函數
7．3 有效阻抗
7．4 Green函數
7．5 Laplace算子
7．6 練習題

第8章 Sierpiński墊上狄氏型定義域的刻畫
8．1 度量空間上Sobolev型空間
8．2 狄氏型定義域的刻畫
8．3 練習題

第9章 熱核理論
9．1 熱核的定義
9．2 熱核估計的意義
9．2．1 測度的正則性
9．2．2 熱核的狄氏型
9．3 從屬熱核
9．3．1 捲積半群和從屬熱核
9．3．2 Laplace變換
9．3．3 完全單調函數
9．3．4 Bernstein函數
9．4 從屬熱核的估計
9．5 練習題

第10章 Sierpiński墊上的熱核估計
10．1 拋物極大值原理
10．2 半群的超壓縮性
10．3 Sierpiński墊上熱核上界估計
10．3．1 熱核上對角估計
10．3．2 Poisson型方程
10．3．3 PBt1B估計
10．3．4 尾部Pt1Bc的指數估計
10．3．5 熱核非對角上界估計
10．4 Sierpiński墊上熱核下界估計
10．4．1 下對角估計
10．4．2 近似下對角估計
10．4．3 非對角下界估計
10．5 練習題

參考文獻
索引
《現代數學基礎叢書》已齣版書目

前言/序言

　　對於數學研究與培養青年數學人纔而言，書籍與期刊起著特殊重要的作用。許多成就卓越的數學傢在青年時代都曾鑽研或參考過一些優秀書籍，從中汲取營養，獲得教益。
　　20世紀70年代後期，我國的數學研究與數學書刊的齣版由於文化大革命的浩劫已經破壞與中斷瞭10餘年，而在這期間國際上數學研究卻在迅猛地發展著。1978年以後，我國青年學子重新獲得瞭學習、鑽研與深造的機會。當時他們的參考書籍大多還是50年代甚至更早期的著述。據此，科學齣版社陸續推齣瞭多套數學叢書，其中《純粹數學與應用數學專著》叢書與《現代數學基礎叢書》更為突齣，前者齣版約40捲，後者則逾80捲。它們質量甚高，影響頗大，對我國數學研究、交流與人纔培養發揮瞭顯著效用。
　　《現代數學基礎叢書》的宗旨是麵嚮大學數學專業的高年級學生、研究生以及青年學者，針對一些重要的數學領域與研究方嚮，作較係統的介紹。既注意該領域的基礎知識，又反映其新發展，力求深入淺齣，簡明扼要，注重創新。
　　近年來，數學在各門科學、高新技術、經濟、管理等方麵取得瞭更加廣泛與深入的應用，還形成瞭一些交叉學科。我們希望這套叢書的內容由基礎數學拓展到應用數學、計算數學以及數學交叉學科的各個領域。
　　這套叢書得到瞭許多數學傢長期的大力支持，編輯人員也為其付齣瞭艱辛的勞動。它獲得瞭廣大讀者的喜愛。我們誠摯地希望大傢更加關心與支持它的發展，使它越辦越好，為我國數學研究與教育水平的進一步提高做齣貢獻。
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