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王婷婷 编

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• 学习参考

出版社： 陕西师范大学出版社

ISBN：9787561395097

版次：1

商品编码：12290194

包装：平装

开本：16开

出版时间：2017-09-01

用纸：胶版纸

页数：230

字数：350000

正文语种：中文

内容简介

　　《大学生数学竞赛指南》由西北农林科技大学理学院王婷婷副教授主编，内容主要针对全国大学生数学竞赛预赛（非数学专业），对基础知识点、竞赛考点一一分析，并给出例题详解。例题主要取材于往年竞赛初赛和决赛的试题，并且收集了一些典型的或自编的问题。为方便读者学习掌握解题的方法技巧及知识点的精髓，全书分为6章，分别是函数与极限、导数与微分、积分学、微分方程、无穷级数和向量代数与空间解析几何。书中各章节的编写不同于日常教材内容的次序，覆盖了教材的所有内容，且对适用于不同题型较为通用的方法着力侧重，从而使结论更具有普遍意义。
　　在选材和指导方面，《大学生数学竞赛指南》精心设计，深入浅出。比如，数论学科的研究与数学竞赛的发展之间都一直有着密不可分的联系。许多竞赛题目和数论题目有着异曲同工之处，它们都看似很简单，可是人手时却有一种无处下手的感觉。其原因就在于这类题目既考查做题人知识基础的牢固程度，又充满了技巧性，与我们平日的期末考试完全不同。期末考试考查的往往是单一知识点，而竞赛中的题目则更注重多个知识点之间的综合应用。譬如求极限的题目，教学大纲要求我们掌握基本的求极限的方法，相信很多同学都能够掌握一些常用方法，例如洛必达法则、等价无穷小的替换等；但是竞赛类的题目技巧性、综合性强，要求学生对解题方法不仅要掌握，更要熟练应用。同学们在看真题、例题的时候，就会发现竞赛中如果遇到求极限的题目，绝不可能只用洛必达法则就能解决，而是需要对所求的式子进行各种变形，多种方法相互作用才能达到效果。所以我们在编写过程中，除了对基础知识的复习之外，更加注重分析题目的思路和技巧，使同学们在解答基础题目时就进行能力提升，对知识的掌握也就更加深入，这方面我们采取的策略是对问题的分析和解题后的评注。

作者简介

　　王婷婷，副教授，硕士生导师，博士师从我国著名数论专家张文鹏教授。现任全国大学生数学竞赛陕西赛区组织委员会副主任。（国家“985工程”和“211工程”重点建设高校）西北农林科技大学理学院应用数学系应用数学教研室主任。近年来，在《SCIENCE CHINA Mathematics（Series A）》《Acta Arithmetica》等学术期刊上发表SCI检索论文30余篇。主持国家自然科学基金青年项目和陕西省自然科学基础研究计划。

内页插图

目录

第1章 函数与极限
一、基础知识点
二、考点解析
三、例题详解
四、练习题

第2章 导数与微分
一、基础知识点
二、考点解析
三、例题详解
四、练习题

第3章 积分学
一、基础知识点
二、考点解析
三、例题详解
四、练习题

第4章 微分方程
一、基础知识点
二、考点解析
三、例题详解
四、练习题

第5章 无穷级数
一、基础知识点
二、考点解析
三、例题详解
四、练习题

第6章 向量代数与空间解析几何
一、基础知识点
二、考点解析
三、例题详解
四、练习题

历届决赛真题
第一届全国大学生数学竞赛决赛试题
第二届全国大学生数学竞赛决赛试题
第三届全国大学生数学竞赛决赛试题
第四届全国大学生数学竞赛决赛试题
第五届全国大学生数学竞赛决赛试题
第六届全国大学生数学竞赛决赛试题
第七届全国大学生数学竞赛决赛试题
第八届全国大学生数学竞赛决赛试题

练习题参考答案
第1章
第2章
第3章
第4章
第5章
第6章

历届决赛真题参考答案
第一届
第二届
第三届
第四届
第五届
第六届
第七届
第八届

附 全国大学生数学竞赛（预赛非数学类）考试大纲

前言/序言

　　本书是与《全国大学生数学竞赛预赛（非数学类）竞赛大纲》紧密配套的学习辅导书，旨在指导参赛学生的数学竞赛学习，提升数学竞赛技能。
　　自2009年10月中国数学会普及工作委员会举办首届全国大学生数学竞赛，至今该竞赛已成功举办了8届，这项全国性高水平学科竞赛极大地激发了大学生学习数学的兴趣，对培养数学科学素质，提高大学数学教学水平，推动教学改革，发现和选拔数学创新人才起着重要的作用。
　　全国大学生数学竞赛预赛（非数学类）的知识内容主要为高等数学。对于学习高等数学课程的学生来说，不仅要掌握微积分的基本概念、基本理论和基本方法，更要通过学习，培养熟练的运算能力和运用数学知识分析和解决问题的能力。高等数学是高等院校极其重要的一门基础课，是几乎所有理工科专业后继课程的基础，在培养具有良好素养的数学及其应用人才方面起着非常重要的作用，而且满足学有余力的学生学习数学的愿望，发展他们的数学才能，因此，“全国大学生数学竞赛”吸引力极强，全国众多高校的本科生和青年教师积极参与、踊跃投入，每年参赛数万人，随着大学生数学竞赛被越来越多的院校教师、学生所重视，我们不断地收到反馈意见——希望能够有一本更加适合同学们赛前强化复习的配套参考书。正是广大学生的这一要求，促使我们编写了这本《大学生数学竞赛指南》。
　　本书由西北农林科技大学理学院王婷婷副教授主编，内容主要针对全国大学生数学竞赛预赛（非数学专业），对基础知识点、竞赛考点一一分析，并给出例题详解，例题主要取材于往年竞赛初赛和决赛的试题，并且收集了一些典型的或自编的问题。为方便读者学习掌握解题的方法技巧及知识点的精髓，全书分为6章，分别是函数与极限、导数与微分、积分学、微分方程、无穷级数和向量代数与空间解析几何。书中各章节的编写不同于日常教材内容的次序，覆盖了教材的所有内容，且对适用于不同题型较为通用的方法着力侧重，从而使结论更具有普遍意义。

深入解析高等数学核心概念：现代微积分与线性代数前沿 导读：驾驭现代数学的基石 本书旨在为具备一定微积分基础的理工科学生、研究生以及希望夯实理论基础的数学爱好者，提供一套系统、深入且紧密结合现代应用需求的高等数学学习资源。我们摒弃了传统教材中过于繁琐的历史叙述和低效的机械计算练习，而是聚焦于数学思想的精髓、概念的严谨定义，以及工具的强大应用潜力。本书的结构力求体现现代数学分析的逻辑统一性，将经典微积分理论提升至更抽象、更具普适性的视角。 第一部分：分析学的严谨构建——从极限到测度 本部分致力于重建读者对微积分理论的理解，使其从直观的“无穷小/无穷大”概念过渡到严格的$varepsilon-delta$语言，并进一步扩展到更高级的分析工具。 第一章：实数系统的完备性与拓扑基础 目标： 理解实数系统的内在结构，为后续的分析奠定逻辑基础。 实数域的构造与性质： 深入探讨戴德金割或柯西序列构造法，强调有序域的完备性公理（LUB/GLB性质）在分析学中的核心地位。 拓扑初步： 引入邻域、开集、闭集、聚点、紧致集等基本拓扑概念。特别关注$mathbb{R}^n$上的拓扑性质及其与序列收敛的关系。 连续性的新视角： 运用拓扑语言重新定义连续函数，探讨函数空间的性质，而非仅仅停留在点集上的极限定义。 第二章：序列与级数的收敛性进阶 目标： 掌握函数序列和函数项级数的收敛类型，特别是均匀收敛。 标准收敛性判据的深化： 对比点态收敛与均匀收敛的本质区别。阐述为什么均匀收敛是交换极限（如求导、积分）顺序的必要条件。 完备性空间： 引入巴拿赫空间（Banach Space）的概念，探讨度量空间中的柯西序列与完备性。这为泛函分析的深入学习埋下伏笔。 幂级数与函数逼近： 讨论泰勒级数的收敛半径与收敛域，重点分析非初等函数（如误差函数、贝塞尔函数）的幂级数展开，并引入Weierstrass逼近定理的思想框架。 第三章：勒贝格积分的理论基石 目标： 从黎曼积分的局限性出发，系统学习现代分析中不可或缺的勒贝格积分理论。 测度论基础： 构造$sigma$-代数，定义外测度和勒贝格测度。理解可测集与不可测集的概念，认识测度论对几何测量的突破。 简单函数与勒贝格积分： 通过简单函数逼近可测函数，建立勒贝格积分的定义。对比黎曼可积与勒贝格可积的条件。 核心收敛定理： 详述单调收敛定理（MCT）、法图引理（Fatou's Lemma）和支配收敛定理（DCT）。重点展示DCT在处理级数项间积分与求导交换时的绝对优势。 第四章：多元微积分的几何与分析统一 目标： 将单变量分析提升到高维空间，侧重于微分的几何意义和积分的广义形式。 微分的推广： 介绍多变量函数的偏导数、方向导数，并深入理解雅可比矩阵作为最佳线性逼近的本质。引入微分形式与外微分（Differential Forms）的概念预备。 隐函数与反函数定理的深度解析： 强调其在局部反演和坐标变换中的关键作用，从线性代数角度理解其判定条件（雅可比行列式的非零性）。 线面积分的广义定理： 统一格林公式、斯托克斯公式和高斯散度定理。重点在于理解这些定理是更一般的高维“边界积分定理”在特定流形上的特例。 第二部分：线性代数的代数结构与应用 本部分侧重于从抽象代数的视角理解向量空间，并将其理论应用于现代计算科学和微分方程。 第五章：向量空间的抽象结构 目标： 掌握线性代数的核心概念，并将其置于更广阔的代数框架内。 公理化定义： 严格定义向量空间、子空间、线性无关、基与维数。强调基选择的任意性与维度定义的唯一性。 线性映射与同构： 深入研究线性变换的核（Kernel）与像（Image），阐述秩-零化定理的内在逻辑。探讨向量空间间的同构关系，理解同构意味着“结构上等价”。 商空间与对偶空间： 引入商空间（Factor Spaces）的概念，理解它如何“模去”一个子空间来构造新的、更简洁的空间。初步介绍对偶空间的元素——线性泛函。 第六章：特征值问题的深入分析 目标： 理解特征值问题的几何含义，并掌握对角化和矩阵的规范形。 特征值与特征向量： 探讨特征值的物理意义（不变方向），并分析特征值问题的解的稳定性。 相似性与对角化： 讨论矩阵可对角化的充要条件（特征子空间维数之和等于空间维数）。 若尔当标准型（Jordan Canonical Form）： 针对不可对角化的情况，系统介绍若尔当块的结构。理解JCF在求解常微分方程组和分析动力系统稳定性中的关键作用。 第七章：内积空间与谱理论 目标： 引入度量（内积），从而赋予向量空间几何结构，并学习谱理论。 内积、范数与正交性： 在任意向量空间上定义内积，导出范数。重点讨论施密特正交化过程及其在投影理论中的应用。 矩阵的范数与奇异值分解（SVD）： 介绍矩阵的各种算子范数。SVD作为矩阵分解的终极形式，详细解析其在数据压缩、最小二乘解中的应用，并展示其与特征值分解的联系。 谱理论基础： 聚焦于自伴随（或称厄米特）矩阵，证明其特征值必为实数，特征向量可正交化。这是量子力学和大量数值计算算法的理论基础。 结语：数学的桥梁 本书的编写目标是为读者架设起从经典微积分到现代数学分析与代数结构的桥梁。它不提供应试技巧，而旨在培养一种严谨的数学思维：如何从基本公理出发，通过逻辑推导构建出宏伟的理论体系，并理解这些体系在现代科学前沿（如偏微分方程、优化理论、机器学习的理论基础）中的不可替代性。掌握了这些内容，读者便能更自信地进入更专业领域的学习与研究。

评分☆☆☆☆☆

作为一名在数学竞赛领域摸爬滚打多年的“老油条”，我深知一本好的参考书对竞赛复习的重要性。而这本《大学生数学竞赛指南》，在我看来，绝对是其中的佼佼者。它的内容设计非常全面，涵盖了数学竞赛所需的绝大多数核心知识点，而且每一个知识点的讲解都深入透彻，既有理论的严谨性，又不失实践的指导性。我特别欣赏作者在处理一些复杂问题时的思路。比如，在讲解某个数论定理时，作者并没有仅仅给出定理的陈述和证明，而是花了大量的篇幅去分析这个定理的起源、发展以及在不同场景下的应用，这让我对知识的理解更加深刻。书中的例题选取也十分考究，既有经典的老题，也有一些近几年的新题，并且每道题的解析都详尽到位，甚至会提供多种解题思路，让我们能够拓宽视野，掌握不同的解题策略。此外，书中还穿插了一些关于学习方法和心态调整的建议，这对于正在备战竞赛的同学们来说，也是非常宝贵的精神食粮。总而言之，这本书是我近年来遇到的最值得推荐的数学竞赛辅导书之一，它不仅能帮助我巩固知识，更能激发我对数学的热情，让我更有信心地迎接挑战。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我带来的最深刻的感受，是它在理论深度和实践应用之间找到了一个绝佳的平衡点。我曾尝试过一些其他的数学竞赛书籍，要么过于理论化，阅读起来枯燥乏味，让人望而却步；要么过于偏重技巧，缺乏理论支撑，学到的东西浮于表面，难以触类旁通。而这本《大学生数学竞赛指南》却巧妙地规避了这些问题。它在讲解每一个知识点时，都先深入浅出地阐述了其背后的数学原理，让我们明白“为什么”，而不是仅仅记住“怎么做”。然后，作者紧接着会给出大量的例题，这些例题的设计非常精妙，能够有效地检验我们对理论知识的掌握程度，并且通过不同的解题角度，拓展我们的思路。我特别欣赏书中对解题方法的归纳和总结，它不仅仅是罗列各种技巧，更重要的是帮助我们理解这些技巧的适用范围和内在逻辑。比如，在讲到代数不等式时，作者不仅介绍了常见的放缩法、均值不等式等，还详细分析了在不同条件下如何选择最优的方法，以及如何避免常见的错误。这种由浅入深、由点及面的讲解方式，极大地提升了我的学习效率，让我能够举一反三，触类旁通。

评分☆☆☆☆☆

一本数学竞赛的入门宝典，让我这个对数学竞赛一窍不通的“小白”也燃起了斗志！我一直觉得数学竞赛离我好遥远，那些高深的理论、巧妙的解题技巧，对我来说就像天书一样。然而，当我翻开这本书，那种感觉瞬间消失了。作者用极其通俗易懂的语言，循序渐进地讲解了数学竞赛涉及到的各个核心概念，从基础的代数、几何，到稍微进阶的数论、组合数学，都一一涵盖。而且，最让我惊喜的是，这本书的例题选取非常有代表性，既有经典的例题，也有一些近年来竞赛中出现的新题型，并且对每道题的解题思路和步骤都进行了详尽的分析，让我能真正理解“为什么这么做”。我尤其喜欢书中那种鼓励探索的精神，作者并没有直接给出答案，而是引导读者一步步思考，培养独立解决问题的能力。书中的一些小贴士和“陷阱”提示，更是及时纠正了我的一些思维误区，让我少走了不少弯路。虽然我还没完全掌握所有技巧，但这本书已经为我打开了一扇通往数学竞赛世界的大门，让我充满了信心去继续探索和学习。它就像一位循循善诱的良师益友，让我觉得数学竞赛并非高不可攀，而是充满了趣味和挑战，值得我去努力尝试。

评分☆☆☆☆☆

我一直觉得，学习数学竞赛，不仅仅是掌握一套题库，更重要的是培养一种数学思维方式。这本书在这方面做得非常出色。它不仅仅是教你“怎么做题”，更注重引导你去思考“为什么这么做”。作者在分析例题时，总是会深入剖析解题思路的来源，挖掘隐藏在题目背后的数学思想，让我们不仅仅是机械地模仿，而是能够真正理解和掌握。我尤其喜欢书中关于“数学思想方法”的讨论，比如如何运用模型思想解决组合问题，如何通过构造函数来分析不等式等等。这些方法论的讲解，让我感觉自己不再是孤立地学习一个个知识点，而是能够将它们串联起来，形成一个有机的知识体系。而且，书中还提供了大量的拓展性思考题，这些题目往往能够引导我们从不同的角度去审视问题，发散思维，这对于培养创新能力和解决难题的能力非常有帮助。可以说，这本书为我提供了一个学习数学竞赛的“内功心法”，让我不仅仅是学会了“招式”，更重要的是领悟了“道”。

评分☆☆☆☆☆

作为一个长期在考场边缘徘徊的学生，我对数学竞赛一直抱着一种又爱又怕的心态。爱的是它能激发智力，挑战自我，怕的是它的难度和不确定性。然而，当我拿到这本《大学生数学竞赛指南》之后，这种矛盾的心情得到了极大的缓解。这本书的编排逻辑清晰，就像一张精心绘制的地图，为我规划了一条清晰的学习路径。从基础概念的梳理，到专题的深入剖析，再到模拟练习的强化，每一步都显得那么自然而然。作者在讲解过程中，并没有使用晦涩难懂的术语，而是尽可能地用生活化的比喻和生动的例子来阐释抽象的数学思想，让我这个数学基础相对薄弱的学生也能轻松理解。我特别喜欢书中关于“思维误区”的提示，这些内容往往是许多学生容易犯错的地方，而作者却能提前预判并给出解决方案，这真的是太贴心了！它让我知道，原来许多难题是可以被分解的，许多看似复杂的问题背后，隐藏着简单的数学逻辑。阅读这本书的过程，与其说是学习，不如说是一种智力探险，我从中不仅学到了数学知识，更重要的是培养了对数学的兴趣和解决问题的信心。