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内容简介

　　《现代几何学：方法与应用 第一卷 曲面几何、变换群与场（第5版）》是莫斯科大学数学力学系对几何课程现代化改革的成果，作者之一的诺维可夫是1970年菲尔兹奖和2005年沃尔夫奖得主。
　　《现代几何学：方法与应用 第一卷 曲面几何、变换群与场（第5版）》力求以直观的和物理的视角阐述，是一本难得的现代几何方面的好书。内容包括张量分析、曲线和曲面几何、一维和高维变分法(第1卷)，微分流形的拓扑和几何(第二卷)，以及同调与上同调理论(第三卷)。

内页插图

目录

俄罗斯数学教材选译》序
再版序言
第一版序言
第九章 连续映射(一般理论)
§1．度量空间
1．定义和例子
2．度量空间中的开集和闭集
3．度量空间的子空间
4．度量空间的直积
练习
§2．拓扑空间
1．基本定义
2．拓扑空间的子空间
3．拓扑空间的直积
练习
§3．紧集
1．紧集的定义和一般性质
2．度量紧集
练习
§4．连通的拓扑空间
练习
§5．完备的度量空间
1．基本定义和例子
2．度量空间的完备化
练习
§6．拓扑空间的连续映射
映射的极限
2．连续映射
练习
§7．压缩映像原理
练习

《俄罗斯数学教材选译》序
第2版前言
第1版前言
第一章 空间区域中的几何．基本概念
§1．坐标系
§2．欧氏空间
§3．黎曼和伪黎曼空间
§4．欧氏空间的最简单的变换群
甄弗莱纳公式
§6．伪欧几里得空间
第二章 曲面论
§7．空间曲面的几何
§8．第二基本型
§9．球面的度量
§10．在伪欧氏空间中的类空曲面
§11．几何中的复语言
§12．解析函数
§13． 曲面度量的共形形式
§14．作为Ⅳ维空间中的曲面变换群
§15．高维欧氏空间和伪欧氏空间的共形变换
第三章 张量．代数理论
§16．张量的例子
§17．张量的一般定义
§18．(O，k)型张量
§19．黎曼和伪黎曼空间中的张量
§20．晶体群和平面与空间旋转群的有限子群．不变张量的例子
§21．伪欧氏空间的二阶张量和它们的特征值
§22．在映射下张量的行为
§23．向量场
§24．李代数
第四章 张量的微分学
§25．反称张量的微分
§26．反称张量和积分理论
§27．复空间中的微分形式
§28．共变微分
§29．共变微分和度量
§30．曲率张量
第五章 变分法原理
§31．一维变分问题
§32．守恒定律
§33．哈密顿体系
§34．相空间的几何理论
§35．曲面的拉格朗日函数
§36．测地方程的二阶变分
第六章 高维变分问题．场及几何不变量
§37．最简单的高维变分问题
§38．拉格朗日的例子
§39．广义相对论的最简单概念
§40．群SO(3)和O(3，1)的旋量表示．狄拉克方程和它的性质
§41．具有任意对称性的场的共变微分
§42．度规不变的泛函的例子．麦克斯韦和杨一米尔斯方程．具恒等于零的变分导数的泛函(示性类)
参考文献
索引

前言/序言

　　在准备本书的第2版时，作者考虑了读者的许多意见和要求：从大学生和研究生到知名学者，数学家和物理学家。我们在最大范围内系统地进行了重组章节：处理了相空间的几何理论和哈密顿系统，并系统阐述了无穷维的(场论方式的)广义哈密顿系统；另外，作为反称张量的一个应用，在§18中加进了所谓的反交换变量的积分。系统改进的章节还包括高维变分法。真正的扩充是从第二卷开始的，是为了用初等的方法把读者进一步引进到流形的概念中去。还纠正了关于刘维尔完全可积系统的证明中的某些错误，也清除了另外一些错误以及明显的一些排版错误，并且还扩充了文献的目录量。
　　作者感谢泽勒罗维奇，在我们为本书的英文和法文版作准备时他的一些意见使其中许多地方的叙述得以改进(显然，由于这些改进才构成了现在的这个版本)。作者还要感谢本书修订版的审阅人波哥雷洛娃和雷舍特尼亚克所做出的一系列有益的评注。
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